Para hacer divertido nuestro desarrollo crearemos dos personajes que con su personalidad nos dejaran analizar las distintas maneras de hacer matemática. El escarabajo es netamente sintáctico y mecánico, no le gusta pensar los conceptos matemáticos imaginando los objetos involucrados en los mismos, simplemente quiere avanzar (sin mucho pensamiento) aplicando reglas sintácticas que le permitan obtener nuevas ecuaciones o expresiones matemáticas. Vive en el mundo plano de las palabras y ahí se siente apasionado por sus hábiles movimientos mecánicos. El escarabajo es en algún sentido una maravilla de la destreza mecánico-simbólica. La mariposa es todo lo contrario, le interesa pensar en los objetos matemáticos como si fueran reales dentro de su imaginación fantástica y, con su habilidad de volar, contempla el universo matemático desde un punto de vista conceptual e independiente de la manipulación sintáctica. Reconoce como objetos reales de su universo matemático no solo a los objetos finitarios (palabras, números enteros, etc) sino también a toda la gama de objetos sofisticados transfinitos que se pueden describir desde lo conceptual con la imaginación y la especulación matemática. Mantiene este universo matemático en su imaginación dándole existencia y coherencia mas allá del mundo limitado de los objetos sintácticos que usa para expresarse. La mariposa es en algún sentido una maravilla de la imaginación matemática coherente.
A modo de ejemplo, al escarabajo la matemática orientada a objetos descripta en la sección anterior no le hace mucha gracia ya que es perezoso para imaginar los objetos asociados a los símbolos. Al contrario, la mariposa solo concibe la matemática orientada a objetos, los cuales piensa e imagina con un grado de realidad exacerbado.
En general la matemática se enseña con un estilo muy escarabajo y aun en las universidades esto persiste, manifestándose mas en las carreras de ciencias de la computación que en las vinculadas a la matemática clásica. Es natural que esto suceda ya que los informáticos manipulan constantemente objetos sintácticos usando reglas mecánicas y a veces los objetos subyacentes (semántica) pasan a un segundo plano.