En el Capítulo Estructuras Algebraicas Ordenadas nos focalizamos en aprender álgebra con la intención de volvernos lo mas "algebristas profesionales" que podamos. Para esto fuimos exigentes a la hora de delimitar y manejar nuestro lenguaje matemático y también a la hora de hacer pruebas pusimos mucha atención en hacerlas "perfectas" en el sentido de que sean similares a las que haría un algebrista formado.
Pero para que hicimos esto? Muy simple: la lógica matemática es matemática aplicada al estudio de los matemáticos, su lenguaje y sus métodos de demostración, y que mas cómodo para hacer lógica matemática que contar con un matemático dentro de uno mismo para estudiarlo! Tal como
adhocprefix-adhocsufix un biólogo estudia la estructura y funcionamiento de los seres vivos
adhocprefix-adhocsufix un astrónomo estudia los cuerpos celestes
adhocprefix-adhocsufix un físico estudia la materia y su comportamiento
un lógico matemático estudia con herramientas matemáticas a los mismos matemáticos en cuanto a sus características en su rol haciendo matemática. Es decir nos interesa dar un modelo matemático que describa en forma matemática precisa el funcionamiento de un matemático en cuanto a su lenguaje y sus métodos de demostración. Pero algo debe quedar muy claro: haremos matemática aplicada, es decir, no es nuestra intención decirle a un matemático como debe razonar! Todo lo contrario, sabemos que los matemáticos profesionales actuales razonan correctamente y que su estilo de prueba es correcto, dado el avanzado estado actual de la disciplina. Simplemente los estudiaremos con herramientas matemáticas para tratar de dar una descripción matemática de su lenguaje y de sus métodos de demostración.
Por supuesto hacer lógica matemática puede ser muy difícil o escurridizo ya que como todos sabemos los matemáticos tienen métodos difíciles de entender y un lenguaje verdaderamente complicado.
La forma en la que encararemos el problema será la siguiente. En lugar de estudiar a un matemático en su actividad real crearemos un "contexto matemático simplificado" en el cual también tenga sentido hacer matemática profesional y luego estudiaremos a un matemático haciendo matemática en este contexto. Por supuesto esto baja mucho el nivel de nuestra ambición científica como lógicos matemáticos ya que en lugar de estudiar a los matemáticos en su vida real, los estudiaremos en un contexto simplificado. Sin embargo nuestra simplificación no nos hará perder generalidad y los resultados obtenidos darán un modelo matemático fidedigno y completo del quehacer matemático real. Este hecho es uno de los logros mas importantes de la ciencia moderna. Cabe destacar que una ves aprendidos los contenidos de lógica básicos (parte de este capítulo pero no en su totalidad), si agregamos un curso básico de teoría de conjuntos axiomática, estaremos en condiciones de apreciar a pleno el logro intelectual que significa dar un modelo matemático pasmosamente fidedigno de la matemática misma.
Para crear este "contexto matemático simplificado" nos servirán los conceptos de lenguaje elemental y prueba elemental. Mas concretamente fijaremos un tipo de estructura, por ejemplo los reticulados cuaterna, y estudiaremos a un matemático profesional haciendo matemática en este contexto elemental. Es decir le pediremos que realice pruebas de propiedades que valgan en todos los reticulados cuaterna pero lo restringiremos en su lenguaje, es decir le pediremos que se restrinja a usar solo fórmulas elementales de reticulados cuaterna y que las pruebas que realice sean también elementales de reticulados cuaterna. El matemático rápidamente entenderá la consigna y posiblemente refunfuñe un poco porque claramente lo estamos restringiendo mucho en relación a su manera de hacer matemática (por ejemplo no podrá hablar de filtros primos, etc). De todas maneras las posibilidades de hacer matemática profunda e interesante aun con esta restricción son inmensas, es decir hay verdades de reticulados cuaterna que son elementales en enunciado y prueba pero son extremadamente difíciles, ingeniosas y profundas.
En este proyecto de hacer lógica matemática estudiando a un matemático haciendo matemática elemental de reticulados cuaterna hay varias cosas para hacer y las establecemos a continuación.
Programa de lógica matemática sobre reticulados cuaterna
adhocprefix-adhocsufix Dar un modelo matemático del concepto de fórmula elemental de reticulados cuaterna
adhocprefix-adhocsufix Dar una definición matemática de cuando una fórmula elemental es verdadera en un reticulado cuaterna dado, para una asignación dada de valores a las variables libres y a los nombres de elementos fijos de dicha fórmula elemental
adhocprefix-adhocsufix (Plato gordo) Dar un modelo matemático del concepto de prueba elemental de reticulados cuaterna. A estos objetos matemáticos que modelizaran a las pruebas elementales de los matemáticos los llamaremos pruebas formales de reticulados cuaterna.
adhocprefix-adhocsufix (Sublime) Intentar probar matemáticamente que nuestro concepto de prueba formal de reticulados cuaterna es una correcta modelización matemática del concepto intuitivo de prueba elemental de reticulados cuaterna.
Como veremos, los cuatro puntos anteriores pueden ser hechos satisfactoriamente y constituyen el comienzo de la lógica matemática con cuantificadores. Cabe aclarar que la realización del cuarto punto es realmente sorprendente ya que es un caso de una prueba matemática rigurosa de un enunciado que involucra un concepto intuitivo como lo es el de prueba elemental.
Ya que la realización de los 4 puntos anteriores no depende en absoluto de que hayamos elegido el tipo de estructura de los reticulados cuaterna (es decir, el desarrollo que resuelve los 4 puntos anteriores para los reticulados cuaterna puede adaptarse fácilmente para cualquiera de los otros tipos de estructuras descriptos en el Capítulo Estructuras y su Lenguaje Elemental), haremos las cosas con mas generalidad.
Primero, basados en dicho capítulo, generalizaremos el concepto de estructura. La generalización que daremos del concepto de estructura es realmente muy amplia y nos llevara mucho trabajo de entrenamiento poder manejarla con madurez y naturalidad. Luego, estableceremos para un tipo genérico de estructura el programa de lógica arriba escrito para el caso particular de los reticulados cuaterna. En las subsiguientes secciones nos dedicaremos a resolver dicho programa general.
Para generalizar el concepto de estructura es clave primero dar definiciones generales de los conceptos de operación y de relación sobre un conjunto.
Sea \(A\) un conjunto y sea \(n\in\mathbf{N}\). Por una operación \(n\)-aria sobre \(A\) entenderemos una función cuyo dominio es \(A^{n}\) y cuya imagen esta contenida en \(A\). Por una relación \(n\)-aria sobre \(A\) entenderemos un subconjunto de \(A^{n}\). Notar que por la definición anterior una relación 1-aria sobre \(A\) no es ni mas ni menos que un subconjunto de \(A\).
Como venimos viendo, hay una variedad de tipos de estructuras las cuales tienen un sentido o interés matemático claro y todas son de un formato similar, a saber uplas formadas por una primera coordenada que es un conjunto no vacío (llamado el universo de la estructura) y luego ciertas operaciones, relaciones y elementos distinguidos, dependiendo del caso. Otra cosa a notar es que para cada tipo de estructura hay ciertos símbolos fijos que usamos en forma genérica para denotar sus relaciones, operaciones y elementos distinguidos. Por ejemplo:
adhocprefix-adhocsufix Para los posets usamos el símbolo \(\leq\) para denotar su relación 2-aria de orden parcial, en un sentido genérico.
adhocprefix-adhocsufix Para el caso de los reticulados terna usamos en forma genérica los símbolos \(\mathsf{s}\) e \(\mathsf{i}\) para denotar sus operaciones 2-arias de supremo e ínfimo
adhocprefix-adhocsufix Para el caso de los reticulados acotados usamos en forma genérica los símbolos \(\mathsf{s}\) e \(\mathsf{i}\) para denotar sus operaciones 2-arias de supremo e ínfimo y los numerales \(0\) y \(1\) para denotar sus elementos distinguidos, a saber mínimo y máximo respectivamente.
adhocprefix-adhocsufix Para el caso de los reticulados complementados usamos en forma genérica los símbolos \(\mathsf{s}\) e \(\mathsf{i}\) para denotar sus operaciones 2-arias de supremo e ínfimo, el símbolo \(c\) para denotar su operación \(1\)-aria de complementación y los numerales \(0\) y \(1\) para denotar sus elementos distinguidos, a saber mínimo y máximo respectivamente.
adhocprefix-adhocsufix Para el caso de los reticulados cuaterna usamos en forma genérica los símbolos \(\mathsf{s}\) e \(\mathsf{i}\) para denotar sus operaciones 2-arias de supremo e ínfimo y el símbolo \(\leq\) para denotar su relación 2-aria de orden parcial
adhocprefix-adhocsufix Para las median algebras usamos genéricamente el símbolo \(M\) para denotar su operación \(3\)-aria.
adhocprefix-adhocsufix Para los grafos usamos el símbolo \(r\) para denotar en forma genérica su relación 2-aria.
adhocprefix-adhocsufix Para los grafos bicoloreados usamos el símbolo \(r\) para denotar en forma genérica la relación 2-aria del grafo y el símbolo \(R\) para denotar genéricamente la relación 1-aria que determina el bicoloreo
O sea que para cada uno de los tipos de estructuras estudiadas se distinguen tres conjuntos de símbolos:
adhocprefix-adhocsufix Un conjunto \(\mathcal{C}\) formado por los símbolos que denotarán genéricamente los elementos distinguidos de las estructuras
adhocprefix-adhocsufix Un conjunto \(\mathcal{F}\) formado por los símbolos que denotarán genéricamente las operaciones de las estructuras
adhocprefix-adhocsufix Un conjunto \(\mathcal{R}\) formado por los símbolos que denotarán genéricamente las relaciones de las estructuras
Mas concretamente:
adhocprefix-adhocsufix Posets: \(\mathcal{C}=\emptyset\ \ \ \ \ \mathcal{F}=\emptyset\ \ \ \ \ \mathcal{R}=\{\leq\}\)
adhocprefix-adhocsufix Reticulados terna: \(\mathcal{C}=\emptyset\ \ \ \ \ \mathcal{F}=\{\mathsf{s},\mathsf{i}\}\ \ \ \ \ \mathcal{R}=\emptyset\)
adhocprefix-adhocsufix Reticulados acotados: \(\mathcal{C}=\{0,1\}\ \ \ \ \ \mathcal{F}=\{\mathsf{s},\mathsf{i}\}\ \ \ \ \ \mathcal{R}=\emptyset\)
adhocprefix-adhocsufix Reticulados complementados: \(\mathcal{C}=\{0,1\}\ \ \ \ \ \mathcal{F}=\{\mathsf{s},\mathsf{i},c\}\ \ \ \ \ \mathcal{R}=\emptyset\}\)
adhocprefix-adhocsufix Reticulados cuaterna: \(\mathcal{C}=\emptyset\ \ \ \ \ \mathcal{F}=\{\mathsf{s},\mathsf{i}\}\ \ \ \ \ \mathcal{R}=\{\leq\}\)
adhocprefix-adhocsufix Median algebras: \(\mathcal{C}=\emptyset\ \ \ \ \ \mathcal{F}=\{M\}\ \ \ \ \ \mathcal{R}=\emptyset\)
adhocprefix-adhocsufix Grafos: \(\mathcal{C}=\emptyset\ \ \ \ \ \mathcal{F}=\emptyset\ \ \ \ \ \mathcal{R}=\{r\}\)
adhocprefix-adhocsufix Grafos bicoloreados: \(\mathcal{C}=\emptyset\ \ \ \ \ \mathcal{F}=\emptyset\ \ \ \ \ \mathcal{R}=\{r,R\}\)
Por supuesto aquí es muy importante no confundir los símbolos con las operaciones que eventualmente ellos denotan. O sea en todos los ejemplos anteriores los elementos de \(\mathcal{C}\), \(\mathcal{F}\) y \(\mathcal{R}\) son símbolos, es decir su \(Ti\) es PALABRA.
Otra información importante que está implícita en cada uno de los tipos de estructuras estudiadas es la aridad de las operaciones que denotan los símbolos de \(\mathcal{F}\) y la aridad de las relaciones que denotan los símbolos de \(\mathcal{R}\). A esto lo representaremos con una función \(a:\mathcal{F}\cup\mathcal{R}\rightarrow\mathbf{N}\) la cual le asocia a cada símbolo de \(\mathcal{F}\) la aridad de las funciones que dicho símbolo denota y a cada símbolo de \(\mathcal{R}\) la aridad de las relaciones que dicho símbolo denota. Tenemos entonces:
adhocprefix-adhocsufix Posets: \(a=\{(\leq,2)\}\)
adhocprefix-adhocsufix Reticulados terna: \(a=\{(\mathsf{s},2),(\mathsf{i},2)\}\)
adhocprefix-adhocsufix Reticulados acotados: \(a=\{(\mathsf{s},2),(\mathsf{i},2)\}\)
adhocprefix-adhocsufix Reticulados complementados: \(a=\{(\mathsf{s},2),(\mathsf{i},2),(c,1)\}\)
adhocprefix-adhocsufix Reticulados cuaterna: \(a=\{(\mathsf{s},2),(\mathsf{i},2),(\leq,2)\}\)
adhocprefix-adhocsufix Median algebras: \(a=\{(M,3)\}\)
adhocprefix-adhocsufix Grafos: \(a=\{(r,2)\}\)
adhocprefix-adhocsufix Grafos bicoloreados: \(a=\{(r,2),(R,1)\}\)
Lo anterior motiva la siguiente definición de tipo (de estructura). Antes de darla recordemos que si \(\alpha,\beta\) son palabras cualesquiera, decimos que \(\alpha\) es subpalabra (propia) de \(\beta\) cuando (\(\alpha\notin\{\varepsilon,\beta\}\) y) existen palabras \(\delta,\gamma\) tales que \(\beta=\delta\alpha\gamma\). También recordemos que dado un alfabeto \(\Sigma\) se tiene que \(\Sigma^{+}=\Sigma^{\ast}-\{\varepsilon\}\).
Ahora sí, nuestra definición de tipo: Por un tipo (de primer orden) entenderemos una 4-upla \(\tau=(\mathcal{C},\mathcal{F},\mathcal{R},a)\) tal que:
adhocprefix(1)adhocsufix Hay alfabetos finitos \(\Sigma_{1}\), \(\Sigma_{2}\) y \(\Sigma_{3}\) tales:
adhocprefix(c)adhocsufix \(\mathcal{C}\subseteq\Sigma_{1}^{+}\), \(\mathcal{F}\subseteq\Sigma_{2}^{+}\) y \(\mathcal{R}\subseteq\Sigma_{3}^{+}\)
adhocprefix(b)adhocsufix \(\Sigma_{1}\), \(\Sigma_{2}\) y \(\Sigma_{3}\) son disjuntos de a pares.
adhocprefix(c)adhocsufix \(\Sigma_{1}\cup\Sigma_{2}\cup\Sigma_{3}\) no contiene ningún símbolo de la lista
\(\forall\ \exists\;\lnot\;\vee\;\wedge\;\rightarrow\;\leftrightarrow\;(\;)\;,\;\equiv\;\mathsf{X\;}\mathit{0}\;\mathit{1\;}...\;\mathit{9}\;\mathbf{0}\;\mathbf{1}\ ...\;\mathbf{9}\)
adhocprefix(2)adhocsufix \(a:\mathcal{F}\cup\mathcal{R}\rightarrow\mathbf{N}\) es una función que a cada \(p\in\mathcal{F}\cup\mathcal{R}\) le asocia un número natural \(a(p)\), llamado la aridad de \(p\).
adhocprefix(3)adhocsufix Ninguna palabra de \(\mathcal{C}\) (resp. \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{R}\)) es subpalabra propia de otra palabra de \(\mathcal{C}\) (resp. \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{R}\)).
Nótese que los elementos de \(\mathcal{C}\), \(\mathcal{F}\) y \(\mathcal{R}\) pueden ser palabras y no solo símbolos como en los casos de los tipos de estructuras conocidas. Mas adelante cuando definamos las fórmulas de tipo \(\tau\) se entenderán las restricciones puestas en (1)(c) y en (3).
Algunos ejemplos de tipos:
adhocprefix(E1)adhocsufix \((\emptyset,\emptyset,\{\leq\},\{(\leq,2)\})\). (Nótese que podemos tomar \(\Sigma_{1}=\emptyset\), \(\Sigma_{2}=\emptyset\) y \(\Sigma_{3}=\{\leq\}\) los cuales son alfabetos que cumplen (a), (b) y (c) de (1) de la definición de tipo).
adhocprefix(E2)adhocsufix \((\{0,1\},\{\mathsf{s},\mathsf{i},c\},\emptyset,\{(\mathsf{s},2),(\mathsf{i},2),(c,1)\})\). (Nótese que podemos tomar \(\Sigma_{1}=\{0,1\}\), \(\Sigma_{2}=\{\mathsf{s},\mathsf{i},c\}\) y \(\Sigma_{3}=\emptyset\) los cuales son alfabetos que cumplen (a), (b) y (c) de (1) de la definición de tipo).
adhocprefix(E3)adhocsufix \((\{\mathrm{uno},\mathrm{doli}\},\{\mathrm{MAS},\mathrm{P}\},\{\mathrm{Her}\},a)\), con \(a:\{\mathrm{MAS},\mathrm{P},\mathrm{Her}\}\rightarrow\mathbf{N}\) dada por \(a(\mathrm{MAS})=4\), \(a(\mathrm{P})=1\) y \(a(\mathrm{Her})=3\). (Nótese que podemos tomar \(\Sigma_{1}=\{\mathrm{u},\mathrm{n},\mathrm{o},\mathrm{d},\mathrm{l},\mathrm{i}\}\), \(\Sigma_{2}=\{\mathrm{M},\mathrm{A},\mathrm{S},\mathrm{P}\}\) y \(\Sigma_{3}=\{\mathrm{H},\mathrm{e},\mathrm{r}\}\) los cuales son alfabetos que cumplen (a), (b) y (c) de (1) de la definición de tipo).
adhocprefix(E4)adhocsufix \((\{0,1\},\{+,\times\},\emptyset,a)\), con \(a:\{+,\times\}\rightarrow\mathbf{N}\) dada por \(a(+)=2\) y \(a(\times)=2\).
adhocprefix(E5)adhocsufix \((\{\square\},\{\clubsuit\clubsuit,\mathrm{Pic}\},\{\vartriangleright,\Vert\},a)\), con \(a:\{\clubsuit\clubsuit,\mathrm{Pic},\vartriangleright,\Vert\}\rightarrow\mathbf{N}\) dada por \(a(\clubsuit\clubsuit)=6\), \(a(\mathrm{Pic})=1\), \(a(\vartriangleright)=4\) y \(a(\Vert)=1\)
adhocprefix(E6)adhocsufix \((\{\mathrm{dod},\mathrm{dood},\mathrm{doood},...\},\{\mathrm{Fu}\},\{\mathrm{He}\},a)\), con \(a:\{\mathrm{Fu},\mathrm{He}\}\rightarrow\mathbf{N}\) dada por \(a(\mathrm{Fu})=1\) y \(a(\mathrm{He})=3\). Nótese que este tipo tiene infinitos nombres de constante.
Al tipo \((\emptyset,\emptyset,\{\leq\},\{(\leq,2)\})\) lo llamaremos el tipo de los posets. Al tipo \((\emptyset,\{\mathsf{s},\mathsf{i}\},\emptyset,\{(\mathsf{s},2),(\mathsf{i},2)\})\) lo llamaremos el tipo de los reticulados terna. Al tipo \[(\{0,1\},\{\mathsf{s},\mathsf{i}\},\emptyset,\{(\mathsf{s},2),(\mathsf{i},2)\})\] lo llamaremos el tipo de los reticulados acotados. Al tipo \[(\{0,1\},\{\mathsf{s},\mathsf{i},c\},\emptyset,\{(\mathsf{s},2),(\mathsf{i},2),(c,1)\})\] lo llamaremos el tipo de los reticulados complementados. Al tipo \[(\emptyset,\{\mathsf{s},\mathsf{i}\},\{\leq\},\{(\mathsf{s},2),(\mathsf{i},2),(\leq,2)\})\] lo llamaremos el tipo de los reticulados cuaterna. Al tipo \((\emptyset,\{M\},\emptyset,\{(M,3)\})\) lo llamaremos el tipo de las median algebras. Al tipo \((\emptyset,\emptyset,\{r\},\{(r,2)\})\) lo llamaremos el tipo de los grafos. Al tipo \[(\emptyset,\emptyset,\{r,R\},\{(r,2),(R,1)\})\] lo llamaremos el tipo de los grafos bicoloreados.
A los elementos de \(\mathcal{C}\) (resp. \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{R}\)) los llamaremos nombres de constante (resp. nombres de función, nombres de relación) de tipo \(\tau\). Para cada \(n\in\mathbf{N}\), definamos \[\begin{aligned} \mathcal{F}_{n} & =\{f\in\mathcal{F}:a(f)=n\}\\ \mathcal{R}_{n} & =\{r\in\mathcal{R}:a(r)=n\} \end{aligned}\] Observación: No deberíamos confundir el concepto de tipo aquí desarrollado, que esencialmente representa un “tipo de estructuras”, con el “tipo de objeto matemático” dado por la función \(Ti\). Esta función asigna a cada objeto matemático una palabra que describe que tipo de objeto matemático es dentro de un menú bien definido de tipos de objetos matemáticos.
No la usaremos en general en las guías o en este apunte pero si en la tómbola a la siguiente notación. Cuando demos un tipo usaremos supraíndices en las palabras de \(\mathcal{F}\cup\mathcal{R}\) para dar cuanto vale la función \(a\) en cada uno de ellos. Por ejemplo escribiremos \((\{\mathrm{tot}\},\{\mathrm{f}^{1},\mathrm{g}^{5},+^{3}\},\emptyset,a)\) en lugar de \((\{\mathrm{tot}\},\{\mathrm{f},\mathrm{g},+\},\emptyset,\{(\mathrm{f},1),(\mathrm{g},5),(+,3)\})\) o \((\{\mathrm{ce},\mathrm{un}\},\{\mathrm{FU}^{2}\},\{\mathrm{V}^{1}\},a)\) en lugar de \((\{\mathrm{ce},\mathrm{un}\},\{\mathrm{FU}\},\{\mathrm{V}\},\{(\mathrm{FU},2),(\mathrm{V},1)\})\), etc.
Ahora sí estamos en condiciones de dar una definición general de estructura. Daremos una definición matemática de "Estructura de tipo \(\tau\)". En virtud de nuestras estructuras conocidas uno podría intentar definir estructura de tipo \(\tau\) como cierta \(n\)-upla pero esto trae problemas ya que en un tipo \(\tau\) los nombres de \(\mathcal{C}\cup\mathcal{F}\cup\mathcal{R}\) no tienen por que estar ordenados y aparte puede haber infinitos nombres. De todas maneras la idea es muy similar y nos aproximaremos primero con ejemplos para entender mas fácilmente el concepto.
Sea \(\tau\) el tipo \[(\{\mathrm{uno},\mathrm{doli}\},\{\mathrm{MAS},\mathrm{P}\},\{\mathrm{Her}\},\{(\mathrm{MAS},4),(\mathrm{P},1),(\mathrm{Her},3)\})\] Intuitivamente hablando, una estructura de tipo \(\tau\) consiste en un conjunto no vacío \(A\) (que se llamara el universo de dicha estructura) junto con una interpretación de cada uno de los nombres del conjunto \(\{\mathrm{uno},\mathrm{doli},\mathrm{MAS},\mathrm{P},\mathrm{Her}\}\). Esta interpretación debe asignarle
adhocprefix-adhocsufix a la palabra \(\mathrm{uno}\) un elemento de \(A\)
adhocprefix-adhocsufix a la palabra \(\mathrm{doli}\) un elemento de \(A\)
adhocprefix-adhocsufix a la palabra \(\mathrm{MAS}\) una operación 4-aria sobre \(A\)
adhocprefix-adhocsufix a la palabra \(\mathrm{P}\) una operación 1-aria sobre \(A\)
adhocprefix-adhocsufix a la palabra \(\mathrm{Her}\) una relación 3-aria sobre \(A\)
Lo que debe quedar claro es que estos elementos, operaciones y relaciones pueden ser cualesquiera, es decir no deben cumplir nada en especial. Por ejemplo si tomamos \(\mathbf{R}\) como universo podemos interpretar
adhocprefix-adhocsufix la palabra \(\mathrm{uno}\) como el número \(\pi\)
adhocprefix-adhocsufix la palabra \(\mathrm{doli}\) como el número \(0\)
adhocprefix-adhocsufix la palabra \(\mathrm{MAS}\) como la operación \[\begin{array}{rcl} \mathbf{R}^{4} & \rightarrow & \mathbf{R}\\ (x,y,z,w) & \rightarrow & 2x+4y \end{array}\]
adhocprefix-adhocsufix la palabra \(\mathrm{P}\) como la operación \[\begin{array}{rcl} \mathbf{R} & \rightarrow & \mathbf{R}\\ x & \rightarrow & 5^{x} \end{array}\]
adhocprefix-adhocsufix la palabra \(\mathrm{Her}\) como la relación \[\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^{3}:x.y.z=9\}\]
O también podemos interpretar
adhocprefix-adhocsufix la palabra \(\mathrm{uno}\) como el número \(100\)
adhocprefix-adhocsufix la palabra \(\mathrm{doli}\) como el número \(1000\)
adhocprefix-adhocsufix la palabra \(\mathrm{MAS}\) como la operación \[\begin{array}{rcl} \mathbf{R}^{4} & \rightarrow & \mathbf{R}\\ (x,y,z,w) & \rightarrow & y \end{array}\]
adhocprefix-adhocsufix la palabra \(\mathrm{P}\) como la operación \[\begin{array}{rcl} \mathbf{R} & \rightarrow & \mathbf{R}\\ x & \rightarrow & 9 \end{array}\]
adhocprefix-adhocsufix la palabra \(\mathrm{Her}\) como la relación \[\{(1,5,9),(0,0,0)\}\]
Por supuesto esto produce dos estructuras de tipo \(\tau\) distintas pero con el mismo universo.
Análogamente, si \(\tau\) es el tipo de los posets, es decir \(\tau=(\emptyset,\emptyset,\{\leq\},\{(\leq,2)\})\), una estructura de tipo \(\tau\) consistirá de un conjunto no vacío \(A\) (que se llamara el universo de dicha estructura) junto con una interpretación del símbolo \(\leq\), la cual nos dirá que relación binaria sobre \(A\) denotará \(\leq\). Pero esta relación binaria puede ser cualquiera por lo cual habrá muchas estructuras del tipo de los posets que no se corresponderán con posets. Solo aquellas en las que el símbolo \(\leq\) se interpreta como un orden parcial sobre su universo se corresponderán con los posets.
Ahora sí daremos la definición matemática de estructura de tipo \(\tau\): Una estructura o modelo de tipo \(\tau\) será un par \(\mathbf{A}=(A,i)\) tal que:
adhocprefix(1)adhocsufix \(A\) es un conjunto no vacío
adhocprefix(2)adhocsufix \(i\) es una función con dominio \(\mathcal{C}\cup\mathcal{F}\cup\mathcal{R},\) tal que:
adhocprefix(a)adhocsufix \(i(c)\) es un elemento de \(A\), para cada \(c\in\mathcal{C}\)
adhocprefix(b)adhocsufix \(i(f)\) es una operación \(n\)-aria sobre \(A\), para cada \(f\in\mathcal{F}_{n}\), \(n\geq1\)
adhocprefix(c)adhocsufix \(i(r)\) es una relación \(n\)-aria sobre \(A\), para cada \(r\in\mathcal{R}_{n}\), \(n\geq1\)
Si \(\mathbf{A}=(A,i)\) es una estructura de tipo \(\tau\), el conjunto \(A\) es llamado el universo de \(\mathbf{A}\) y la función \(i\) es llamada la función interpretación de \(\mathbf{A}\). Si \(p\in\mathcal{C}\cup\mathcal{F}\cup\mathcal{R}\), diremos que \(i(p)\) es la interpretación de \(p\) en \(\mathbf{A}\). Algunos ejemplos:
adhocprefix(E1)adhocsufix Si \(\tau\) es el tipo \[(\{\mathrm{uno},\mathrm{doli}\},\{\mathrm{MAS},\mathrm{P}\},\{\mathrm{Her}\},\{(\mathrm{MAS},4),(\mathrm{P},1),(\mathrm{Her},3)\})\] entonces \((\mathbf{R},i)\) es una estructura de tipo \(\tau\), si definimos \(i\) igual a la función con dominio \(\{\mathrm{uno},\mathrm{doli},\mathrm{MAS},\mathrm{P},\mathrm{Her}\}\) dada por
adhocprefix-adhocsufix \(i(\mathrm{uno})=\pi\)
adhocprefix-adhocsufix \(i(\mathrm{doli})=0\)
adhocprefix-adhocsufix \(i(\mathrm{MAS})\) igual a la operación \[\begin{array}{rcl} \mathbf{R}^{4} & \rightarrow & \mathbf{R}\\ (x,y,z,w) & \rightarrow & 2x+4y \end{array}\]
adhocprefix-adhocsufix \(i(\mathrm{P})\) igual a la operación \[\begin{array}{rcl} \mathbf{R} & \rightarrow & \mathbf{R}\\ x & \rightarrow & 5^{x} \end{array}\]
adhocprefix-adhocsufix \(i(\mathrm{Her})=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^{3}:x.y.z=9\}\)
adhocprefix(E2)adhocsufix Sea \(\tau=(\emptyset,\emptyset,\{\leq\},\{(\leq,2)\})\). Nótese que por definición una estructura de tipo \(\tau\) es un par \((A,i)\) donde \(A\) es un conjunto no vacío y \(i\) es una función con dominio \(\{\leq\}\) tal que \(i(\leq)\) es una relación binaria sobre \(A\). Algunos ejemplos de estructuras de tipo \(\tau\):
adhocprefix-adhocsufix \((\{1,2,3\},\{(\leq,\emptyset)\})\)
adhocprefix-adhocsufix \((\{1,2,3\},\{(\leq,\{2,3\}\times\{1\})\})\)
adhocprefix-adhocsufix \((\{1,\{2\},\emptyset\},\{(\leq,\{(1,\{2\})\})\)
adhocprefix-adhocsufix \((\mathbf{N},i)\), con \(i\) dada por \(i(\leq)=\{(1,2),(1000,1),(1,1)\}\)
Nótese que aunque \(\tau\) es llamado el tipo de los posets, ninguna de las estructuras anteriores tiene mucho que ver con un poset. Consideremos ahora la estructura \((\mathbf{N},i)\), donde \(i\) es la función con dominio igual a \(\{\leq\}\) dada por \[i(\leq)=\{(x,y)\in\mathbf{N}^{2}:x|y\}\] Nótese que estrictamente hablando \((\mathbf{N},i)\) no es un poset ya que \(i\) no es un orden parcial sobre \(\mathbf{N}\) pero es claro que a nivel de información \((\mathbf{N},i)\) y \((\mathbf{N},|)\) son la misma cosa. O sea que aquellas estructuras de tipo \(\tau\) en las cuales \(\leq\) se interpreta como un orden parcial sobre el universo de la estructura son "esencialmente posets". Dejamos al lector dar una biyección entre el conjunto formado por todos los posets y un subconjunto del conjunto de todas las estructuras de tipo \(\tau\)
adhocprefix(E3)adhocsufix Sea \(\tau\) el tipo de los reticulados terna, es decir \(\tau=(\emptyset,\{\mathsf{s},\mathsf{i}\},\emptyset,\{(\mathsf{s},2),(\mathsf{i},2)\})\). Entonces \((\mathbf{N},i)\), donde \(i=\{(\mathsf{s},\max),(\mathsf{i},\min)\}\), es una estructura de tipo \(\tau\) (aquí \(\max\) y \(\min\) denotan las operaciones binarias sobre \(\mathbf{N}\), máximo y mínimo respectivamente). Nótese que estrictamente hablando \((\mathbf{N},i)\) no es un reticulado terna ya que es una \(2\)-upla y los reticulados terna son \(3\)-uplas. Pero es claro que a nivel de información \((\mathbf{N},i)\) y \((\mathbf{N},\max,\min)\) son la misma cosa. Otras estructuras de tipo \(\tau\) son por ejemplo:
adhocprefix-adhocsufix \((\mathbf{R},\{(\mathsf{s},+),(\mathsf{i},+)\})\)
adhocprefix-adhocsufix \((\{0,1,2\},\{(\mathsf{s},f),(\mathsf{i},g)\}\) donde \(f:\{0,1,2\}^{2}\rightarrow\{0,1,2\}\) es la función constantemente 1 y \(g:\{0,1,2\}^{2}\rightarrow\{0,1,2\}\) es la función constantemente 2
Por supuesto, ninguna de las dos puede considerarse un reticulado terna ya que en ambas los símbolos \(\mathsf{s}\) y \(\mathsf{i}\) no se interpretan como las operaciones supremo e ínfimo provenientes de un orden parcial. Dejamos al lector dar una biyección entre el conjunto formado por todos los reticulados terna y un subconjunto del conjunto de todas las estructuras de tipo \(\tau\)
adhocprefix(E4)adhocsufix Sea \(\tau\) el tipo de los grafos bicoloreados, es decir \(\tau=(\emptyset,\emptyset,\{r,R\},\{(r,2),(R,1)\})\). Entonces \((\{1,2\},i)\), con \(i=\{(r,\{(1,2),(2,1)\}),(R,\{1\})\}\), es una estructura de tipo \(\tau\). Nótese que \[(\{1,2\},i(r),i(R))=(\{1,2\},\{(1,2),(2,1)\},\{1\})\] es un grafo bicoloreado el cual esencialmente es lo mismo que la estructura \((\{1,2\},i)\) (a nivel de información). De todas maneras estrictamente hablando \((\{1,2\},i)\) no es un grafo bicoloreado. Otra estructura de tipo \(\tau\) la cual es "esencialmente" un grafo bicoloreado es el par \((\omega,i)\), donde \(i\) es la función con dominio \(\{r,R\}\) dada por \[\begin{aligned} i(r) & =\{(x,x+1):x\in\omega\}\cup\{(x+1,x):x\in\omega\}\\ i(R) & =\{x\in\omega:x\text{ es par}\} \end{aligned}\] Tal como en los otros ejemplos vistos, hay estructuras de tipo \(\tau\) las cuales no pueden considerarse grafos bicoloreados. Por ejemplo, la estructura \((\mathbf{N},\{(r,\{(1,2)\}),(R,\{3\})\})\). Dejamos al lector dar una biyección entre el conjunto formado por todos los grafos bicoloreados y un subconjunto del conjunto de todas las estructuras de tipo \(\tau\).
Para seguir entendiendo la amplitud del concepto de estructura, a continuación daremos algunos ejemplos de conteo de estructuras. Antes un lema general de conteo que nos será de suma utilidad.
3.1. Se tiene que:
adhocprefix(1)adhocsufix Dados \(A,B\) conjuntos finitos no vacíos, hay \(\left\vert B\right\vert ^{\left\vert A\right\vert }\) funciones tales que su dominio es \(A\) y su imagen esta contenida en \(B\)
adhocprefix(2)adhocsufix Si \(A\) es un conjunto finito, entonces hay \(2^{\left\vert A\right\vert }\) subconjuntos de \(A\)
Proof. (1) Supongamos \(A=\{a_{1},...,a_{n}\}\), con \(n=\left\vert A\right\vert\). Sea \(Fu=\{f:D_{f}=A\) y \(I_{f}\subseteq B\}\). Es fácil ver que la siguiente función es biyectiva \[\begin{array}{rcl} Fu & \rightarrow & B^{n}\\ f & \rightarrow & (f(a_{1}),...,f(a_{n})) \end{array}\]
(2) Ya que los subconjuntos de \(A\) están en correspondencia biunívoca con las funciones de \(A\) en \(\{0,1\}\) (por que?) podemos aplicar (1).
Ahora sí los ejemplos. Sea \[\tau=(\emptyset,\emptyset,\{\leq\},\{(\leq,2)\})\] Nos interesa saber cuantas estructuras de tipo \(\tau\) hay que tengan al conjunto \(\{1,2,3\}\) como universo. Una estructura de tipo \(\tau\) con universo \(\{1,2,3\}\) es un par \((\{1,2,3\},i)\) donde \(i\) es una función tal que su dominio es \(\{\leq\}\) y tal que
adhocprefix-adhocsufix \(i(\leq)\) es una relación 2-aria sobre \(\{1,2,3\}\), es decir es un subconjunto de \(\{1,2,3\}^{2}\)
O sea que una estructura de tipo \(\tau\) con universo \(\{1,2,3\}\) es un par de la forma \[(\{1,2,3\},\{(\leq,S)\})\] donde \(S\) es cualquier subconjunto de \(\{1,2,3\}^{2}\). Ya que, por el lema anterior, hay \(2^{9}\) subconjuntos del conjunto \(\{1,2,3\}^{2}\), tenemos que hay exactamente \(2^{9}\) estructuras de tipo \(\tau\) cuyo universo es \(\{1,2,3\}\). Nótese que, estrictamente hablando, ninguna de estas estructuras es un poset. Sin embargo aquellas en las cuales \(S\) es un orden parcial sobre \(\{1,2,3\}\) pueden considerarse como posets ya que esencialmente están determinadas por un orden parcial.
Otro ejemplo, tomemos \[\tau=(\{\mathrm{un},\mathrm{do}\},\{\mathrm{MAS},\mathrm{P}\},\{\mathrm{Her}\},\{(\mathrm{MAS},4),(\mathrm{P},1),(\mathrm{Her},3)\}\] Nos interesa saber cuantas estructuras de tipo \(\tau\) hay que tengan al conjunto \(\{1,2,3\}\) como universo. Una estructura de tipo \(\tau\) con universo \(\{1,2,3\}\) es un par \((\{1,2,3\},i)\) donde \(i\) es una función tal que su dominio es \(\{\mathrm{un},\mathrm{do},\mathrm{MAS},\mathrm{P},\mathrm{Her}\}\) y tal que
adhocprefix-adhocsufix \(i(\mathrm{un})\) y \(i(\mathrm{do})\) pertenecen a \(\{1,2,3\}\)
adhocprefix-adhocsufix \(i(\mathrm{MAS})\) es una operación 4-aria sobre \(\{1,2,3\}\)
adhocprefix-adhocsufix \(i(\mathrm{P})\) es una operación 1-aria sobre \(\{1,2,3\}\)
adhocprefix-adhocsufix \(i(\mathrm{Her})\) es una relación 3-aria sobre \(\{1,2,3\}\), es decir es un subconjunto de \(\{1,2,3\}^{3}\)
Nótese que hay
adhocprefix-adhocsufix 3 posibilidades para \(i(\mathrm{un})\)
adhocprefix-adhocsufix 3 posibilidades para \(i(\mathrm{do})\)
adhocprefix-adhocsufix 3\(^{(3^{4})}\) posibilidades para \(i(\mathrm{MAS})\) (por (1) del lema anterior con \(A=\{1,2,3\}^{4}\) y \(B=\{1,2,3\}\))
adhocprefix-adhocsufix 3\(^{3}\) posibilidades para \(i(\mathrm{P})\) (por (1) del lema anterior con \(A=\{1,2,3\}\) y \(B=\{1,2,3\}\))
adhocprefix-adhocsufix 2\(^{(3^{3})}\) posibilidades para \(i(\mathrm{Her})\) (por (2) del lema anterior con \(A=\{1,2,3\}^{3}\))
O sea que hay exactamente \(3.3.3^{(3^{4})}.3^{3}.2^{(3^{3})}\) estructuras de tipo \(\tau\) que tienen al conjunto \(\{1,2,3\}\) como universo.
Nótese que la definición de tipo es muy libre en lo que respecta a que palabras componen los conjuntos \(\mathcal{C}\), \(\mathcal{F}\) y \(\mathcal{R}\), es decir salvo por ciertas restricciones leves, ellas pueden ser cualquier palabra. Además no es necesario que las palabras de \(\mathcal{C}\cup\mathcal{F}\cup\mathcal{R}\) se interpreten en la estructura de tipo \(\tau\) (vía la función \(i\)) como usualmente se interpretan en matemática. Algunos ejemplos:
adhocprefix(E1)adhocsufix \(\tau=(\{\leq\},\emptyset,\emptyset,\emptyset)\) es un tipo y en las estructuras de tipo \(\tau\) el símbolo \(\leq\) se interpretara como un elemento del universo y no como un orden parcial. Por ejemplo \((\{1,2,3\},\{(\leq,2)\})\) es una estructura de tipo \(\tau\).
adhocprefix(E2)adhocsufix \(\tau^{\prime}=(\emptyset,\emptyset,\{\leq\},\{(\leq,3)\})\) es un tipo pero en las estructuras de tipo \(\tau^{\prime}\) el símbolo \(\leq\) se interpreta como una relación 3-aria sobre el universo. Por ejemplo \((\mathbf{N},i)\), con \(i\) dada por \(i(\leq)=\{(x,y,z)\in\mathbf{N}^{3}:x=y=z\}\), es una estructura de tipo \(\tau^{\prime}\). En esta estructura el símbolo \(\leq\) no se interpreta como un orden parcial sino como una relación ternaria ya que en \(\tau^{\prime}\) el símbolo \(\leq\) es un nombre de relación de aridad \(3\)
adhocprefix(E3)adhocsufix \(\tau^{\prime\prime}=(\emptyset,\{1\},\emptyset,\{(1,3)\})\) es un tipo y en las estructuras de tipo \(\tau^{\prime\prime}\) el símbolo \(1\) se interpretara como una función 3-aria sobre el universo (tener cuidado al leer \((\emptyset,\{1\},\emptyset,\{(1,3)\})\) ya que en esta expresión \(1\) es el numeral uno y \(3\) es el número tres). Por ejemplo si denotamos con \(f\) a la operación \[\begin{array}{rcl} \mathbf{Z}^{3} & \rightarrow & \mathbf{Z}\\ (x,y,z) & \rightarrow & x+y+z \end{array}\] entonces \((\mathbf{Z},i)\), con \(i\) dada por \(i(1)=f\), es una estructura de tipo \(\tau^{\prime\prime}\)
Esta libertad en la definición de tipo y también en la definición de estructura de tipo \(\tau\) (i.e. las estructuras interpretan a los nombres de \(\mathcal{C}\cup\mathcal{F}\cup\mathcal{R}\) con total independencia de la fisonomía de dichos nombres) es clave a la hora de fortalecer la separación entre sintaxis y semántica, idea fundamental en el desarrollo de la lógica.
Hemos dado, vía las definiciones de tipo y de estructura de tipo \(\tau\), un modelo matemático preciso del concepto intuitivo de estructura que veníamos acuñando en capítulos anteriores. Esto es un salto importante ya que ahora tenemos una definición matemática de lo que es una estructura en general y no solo un puñado de definiciones matemáticas de ciertas estructuras particulares. Hemos encontrado la esencia del concepto intuitivo de estructura que veníamos trabajando con casos particulares. La modelización es bastante sofisticada al punto que ninguna de las estructuras concretas antes estudiadas es estrictamente hablando una estructura de tipo \(\tau\), aunque cada tipo de estructura concreta estudiada tiene su "versión" dentro de esta definición general de estructura de tipo \(\tau\), versión que es “esencialmente” el mismo objeto. Por ejemplo, para el tipo de los reticulados complementados \[\tau=(\{0,1\},\{\mathsf{s},\mathsf{i},c\},\emptyset,\{(\mathsf{s},2),(\mathsf{i},2),(c,1)\})\] las estructuras de tipo \(\tau\) que modelizan a los reticulados complementados son precisamente aquellas estructuras \((A,i)\) tales que \[(A,i(\mathsf{s}),i(\mathsf{i}),i(c),i(0),i(1))\] es un reticulado complementado. Obviamente estas estructuras no son estrictamente hablando reticulados complementados, pero esencialmente (i.e. a nivel de información) son la misma cosa.
La utilidad de este nuevo concepto general de estructura ira quedando clara a medida que avancemos. Cabe destacar que este concepto general de estructura no solo ha sido clave en el desarrollo de la lógica matemática sino que también ha sido crucial en el desarrollo de la informática teórica, mas precisamente en el área de las especificaciones algebraicas, ya que la versatilidad del concepto de estructura heterogénea (una generalización natural de nuestro concepto de estructura) ha permitido crear una teoría de amplio alcance y modelización del concepto de la especificación de tipos abstractos de datos.
Recordemos que cada uno de los tipos de estructuras consideradas en el Capítulo Estructuras y su Lenguaje Elemental tiene su tipo asociado. Es decir: \[\begin{aligned} \text{Tipo de los posets} & =(\emptyset,\emptyset,\{\leq\},\{(\leq,2)\})\\ \text{Tipo de los ret. ternas} & =(\emptyset,\{\mathsf{s},\mathsf{i}\},\emptyset,\{(\mathsf{s},2),(\mathsf{i},2)\})\\ \text{Tipo de los ret. acotados} & =(\{0,1\},\{\mathsf{s},\mathsf{i}\},\emptyset,\{(\mathsf{s},2),(\mathsf{i},2)\})\\ \text{Tipo de los ret. comp.} & =(\{0,1\},\{\mathsf{s},\mathsf{i},c\},\emptyset,\{(\mathsf{s},2),(\mathsf{i},2),(c,1)\})\\ \text{Tipo de los ret. cuaternas} & =(\emptyset,\{\mathsf{s},\mathsf{i}\},\{\leq\},\{(\mathsf{s},2),(\mathsf{i},2),(\leq,2)\})\\ \text{Tipo de las median algebras} & =(\emptyset,\{M\},\emptyset,\{(M,3)\})\\ \text{Tipo de los grafos} & =(\emptyset,\emptyset,\{r\},\{(r,2)\})\\ \text{Tipo de los grafos bicoloreados} & =(\emptyset,\emptyset,\{r,R\},\{(r,2),(R,1)\}) \end{aligned}\] Nótese que en cada uno de los casos anteriores los símbolos de \(\mathcal{C}\cup\mathcal{F}\cup\mathcal{R}\) son los que se usan (junto con los símbolos lógicos, las variables y los nombres de elementos fijos) para formar sus correspondientes términos y fórmulas elementales. Es decir, lo particular de los términos y las fórmulas elementales de cada tipo de estructura estaba dado por los correspondientes símbolos de \(\mathcal{C}\cup\mathcal{F}\cup\mathcal{R}\). Esto nos permite generalizar nuestros conceptos intuitivos de término elemental y fórmula elemental, para el caso de cualquier tipo \(\tau\) de estructuras. Aunque debe quedar claro que como en los casos ya vistos estos conceptos serán definidos en forma intuitiva y no se dará una definición matemática precisa de los mismos.
Dado un tipo \(\tau=(\mathcal{C},\mathcal{F},\mathcal{R},a)\) los términos elementales de tipo \(\tau\) se definen con las siguientes clausulas:
adhocprefix(1)adhocsufix Cada palabra de \(\mathcal{C}\) es un término elemental de tipo \(\tau\)
adhocprefix(2)adhocsufix Las variables \(x,y,z,w,...\) son términos elementales de tipo \(\tau\)
adhocprefix(3)adhocsufix Los nombres de elementos fijos \(a,b,c,d,...\) son términos elementales de tipo \(\tau\)
adhocprefix(4)adhocsufix Si \(f\in\mathcal{F}_{n}\), con \(n\geq1\) y \(t_{1},...,t_{n}\) son términos elementales de tipo \(\tau\), entonces la palabra \(f(t_{1},...,t_{n})\) es un término elemental de tipo \(\tau\)
adhocprefix(5)adhocsufix Una palabra es un término elemental de tipo \(\tau\) si y solo si se puede construir usando las clausulas anteriores
Es muy importante entender que un término elemental de tipo \(\tau\) como objeto matemático es una palabra. Nótese que arriba \(f(t_{1},...,t_{n})\) denota el resultado de concatenar las \(n+(n-1)+3\) siguientes palabras \[f\;\;\;(\;\;\;t_{1}\;\;\;,\;\;\;t_{2}\;\;\;,\;\;\;...\;\;\;,\;\;\;t_{n}\;\;\;)\] es decir que \(f(t_{1},...,t_{n})\) es una palabra de longitud \(\left|f\right|+\left|t_{1}\right|+...+\left|t_{n}\right|+(n-1)+2\) (note que \(n-1\) cuenta la cantidad de comas). También debería quedar claro que el concepto de término elemental de tipo \(\tau\) no es un concepto definido en forma matemática precisa.
Veamos algunos ejemplos:
adhocprefix(E1)adhocsufix Si \(\tau\) es el tipo \[(\{\mathrm{un},0\},\{\mathrm{MAS},\mathrm{P},+\},\{\mathrm{Verde}\},\{(\mathrm{MAS},4),(\mathrm{P},1),(+,2),(\mathrm{Verde},1)\})\] entonces las siguientes palabras son términos elementales de tipo \(\tau\):
adhocprefix-adhocsufix \(\mathrm{MAS}(a,b,\mathrm{un},z)\)
adhocprefix-adhocsufix \(\mathrm{P}(\mathrm{P}(z))\)
adhocprefix-adhocsufix \(+(+(0,x),\mathrm{P}(z))\)
adhocprefix-adhocsufix \(\mathrm{MAS}(\mathrm{P}(0),+(0,b),\mathrm{un},\mathrm{MAS}(x,x,x,x))\)
adhocprefix-adhocsufix \(\mathrm{un}\)
adhocprefix-adhocsufix \(0\)
adhocprefix-adhocsufix \(x\)
adhocprefix-adhocsufix \(a\)
Por supuesto las aridades de los nombres de \(\mathcal{F}\) son importantes y deben ser respetadas. Por ejemplo \[\mathrm{P}(x,y)\ \ \ \ \ \ \mathrm{MAS}(a,b)\ \ \ \ \ \ +(x,y,z)\] no son términos elementales de tipo \(\tau\).
adhocprefix(E2)adhocsufix Si \(\tau\) es el tipo de los reticulados complementados \[(\{0,1\},\{\mathsf{s},\mathsf{i},c\},\emptyset,\{(\mathsf{s},2),(\mathsf{i},2),(c,1)\})\] entonces las siguientes palabras son términos elementales de tipo \(\tau\):
adhocprefix-adhocsufix \(\mathsf{s}(x,y)\)
adhocprefix-adhocsufix \(\mathsf{s}(\mathsf{i}(x,0),z)\)
adhocprefix-adhocsufix \(c(\mathsf{s}(\mathsf{i}(x,0),c(z)))\)
adhocprefix-adhocsufix \(c(\mathsf{s}(\mathsf{i}(0,0),0))\)
adhocprefix-adhocsufix \(a\)
adhocprefix-adhocsufix \(x\)
adhocprefix-adhocsufix \(0\)
Nótese que no coinciden con los términos elementales de reticulados complementados definidos en el Capítulo Estructuras y su Lenguaje Elemental ya que aquí usamos un formato mas general y usamos \(\mathsf{s}(x,y)\) en lugar de \((x\ \mathsf{s}\ y)\), etc. Obviamente esto no cambia mucho las cosas y es hecho a los fines de homogeneizar la escritura y no hacer un uso distinto para los nombres de función de aridad 2.
adhocprefix(E3)adhocsufix Si \(\tau\) es tal que \(\mathcal{F}=\emptyset\) entonces los términos elementales de tipo \(\tau\) son las variables, los nombres de elementos fijos y los elementos de \(\mathcal{C}\)
adhocprefix(E4)adhocsufix Si \(\tau\) es el tipo \[(\{1,\mathrm{er}\},\{+,\mathsf{s}\},\emptyset,\{(+,5),(\mathsf{s},3)\})\] entonces las siguientes palabras son términos elementales de tipo \(\tau\):
adhocprefix-adhocsufix \(\mathsf{s}(x,z,1)\)
adhocprefix-adhocsufix \(+(1,1,1,1,1)\)
adhocprefix-adhocsufix \(\mathsf{s}(+(\mathrm{er},\mathrm{er},z,a,a),\mathrm{er},\mathsf{s}(x,x,x))\)
adhocprefix(E5)adhocsufix Tal como lo aclaramos anteriormente la definición de tipo es muy libre en lo que respecta a que palabras componen los conjuntos \(\mathcal{C}\), \(\mathcal{F}\) y \(\mathcal{R}\), es decir salvo por ciertas restricciones leves, ellas pueden ser cualquier palabra aunque a veces resulte chocante la elección de las mismas debido al uso y costumbre de los matemáticos. Por ejemplo si tomamos \(\tau=(\{\leq\},\{1\},\emptyset,\{(1,3)\})\), obtenemos un tipo en el cual \(\leq\) es un nombre de constante y el numeral \(1\) es un nombre de función \(3\)-aria (lo cual nos dice que en una estructura de tipo \(\tau\) el símbolo \(\leq\) deberá interpretarse como un elemento del universo y el símbolo \(1\) deberá interpretarse como una operación \(3\)-aria). Algunos términos elementales de este tipo \(\tau\) son:
adhocprefix-adhocsufix \(1(z,z,z)\)
adhocprefix-adhocsufix \(1(x,a,1(\mathrm{\leq},\mathrm{\leq},\mathrm{\leq}))\)
adhocprefix-adhocsufix \(x\)
adhocprefix-adhocsufix \(\mathrm{\leq}\)
Un término elemental de tipo \(\tau\) será llamado puro cuando en el no ocurran nombres de elementos fijos.
Usando el concepto de término elemental de tipo \(\tau\) podemos definir las fórmulas elementales de tipo \(\tau\) con las siguientes clausulas:
adhocprefix(1)adhocsufix Si \(t\) y \(s\) son términos elementales de tipo \(\tau\), entonces la palabra \((t=s)\) es una fórmula elemental de tipo \(\tau\)
adhocprefix(2)adhocsufix Si \(r\in\mathcal{R}_{n}\), con \(n\geq1\) y \(t_{1},...,t_{n}\) son términos elementales de tipo \(\tau\), entonces la palabra \(r(t_{1},...,t_{n})\) es una fórmula elemental de tipo \(\tau\)
adhocprefix(3)adhocsufix Si \(\varphi_{1}\) y \(\varphi_{2}\) son fórmulas elementales de tipo \(\tau\), entonces la palabra \((\varphi_{1}\wedge\varphi_{2})\) es una fórmula elemental de tipo \(\tau\)
adhocprefix(4)adhocsufix Si \(\varphi_{1}\) y \(\varphi_{2}\) son fórmulas elementales de tipo \(\tau\), entonces la palabra \((\varphi_{1}\vee\varphi_{2})\) es una fórmula elemental de tipo \(\tau\)
adhocprefix(5)adhocsufix Si \(\varphi_{1}\) y \(\varphi_{2}\) son fórmulas elementales de tipo \(\tau\), entonces la palabra \((\varphi_{1}\leftrightarrow\varphi_{2})\) es una fórmula elemental de tipo \(\tau\)
adhocprefix(6)adhocsufix Si \(\varphi_{1}\) y \(\varphi_{2}\) son fórmulas elementales de tipo \(\tau\), entonces la palabra \((\varphi_{1}\rightarrow\varphi_{2})\) es una fórmula elemental de tipo \(\tau\)
adhocprefix(7)adhocsufix Si \(\varphi\) es una fórmula elemental de tipo \(\tau\), entonces la palabra \(\lnot\varphi\) es una fórmula elemental de tipo \(\tau\)
adhocprefix(8)adhocsufix Si \(\varphi\) es una fórmula elemental de tipo \(\tau\), entonces las palabras \[\forall x\varphi\;\;\;\forall y\varphi\;\;\;\forall z\varphi\;\;\;...\] son fórmulas elementales de tipo \(\tau\)
adhocprefix(9)adhocsufix Si \(\varphi\) es una fórmula elemental de tipo \(\tau\), entonces las palabras \[\exists x\varphi\;\;\;\exists y\varphi\;\;\;\exists z\varphi\;\;\;...\] son fórmulas elementales de tipo \(\tau\)
adhocprefix(10)adhocsufix Una palabra es una fórmula elemental de tipo \(\tau\) si y solo si se puede construir usando las clausulas anteriores.
Es muy importante entender que una fórmula elemental de tipo \(\tau\) como objeto matemático es una palabra. Debería quedar claro que arriba \(r(t_{1},...,t_{n})\) denota el resultado de concatenar las \(n+(n-1)+3\) siguientes palabras \[r\;\;\;(\;\;\;t_{1}\;\;\;,\;\;\;t_{2}\;\;\;,\;\;\;...\;\;\;,\;\;\;t_{n}\;\;\;)\] es decir que \(r(t_{1},...,t_{n})\) es una palabra de longitud \(\left|r\right|+\left|t_{1}\right|+...+\left|t_{n}\right|+(n-1)+2\) (notar que \(n-1\) cuenta la cantidad de comas). También debería quedar claro que el concepto de fórmula elemental de tipo \(\tau\) no es un concepto definido en forma matemática precisa.
Veamos algunos ejemplos
adhocprefix(E1)adhocsufix Sea \(\tau\) el tipo \[(\{\mathrm{un},0\},\{\mathrm{MAS},\mathrm{P}\},\{\mathrm{Her},\mathrm{Verde}\},\{(\mathrm{MAS},4),(\mathrm{P},1),(\mathrm{Her},3),(\mathrm{Verde},1)\})\] Entonces las siguientes palabras son fórmulas elementales de tipo \(\tau\):
adhocprefix-adhocsufix \(\mathrm{Her}(x,y,z)\)
adhocprefix-adhocsufix \(\mathrm{Verde}(x)\)
adhocprefix-adhocsufix \(\mathrm{Verde}(\mathrm{MAS}(a,b,\mathrm{un},z))\)
adhocprefix-adhocsufix \(\mathrm{Her}(0,\mathrm{MAS}(a,b,\mathrm{un},z),\mathrm{P}(\mathrm{P}(z))))\)
adhocprefix-adhocsufix \((\mathrm{un}=\mathrm{P}(z))\)
adhocprefix-adhocsufix \((a=a)\)
adhocprefix-adhocsufix \((\mathrm{Verde}(\mathrm{MAS}(a,b,\mathrm{un},z))\wedge(\mathrm{un}=\mathrm{P}(0)))\)
adhocprefix-adhocsufix \((\mathrm{MAS}(a,b,\mathrm{un},z)=b)\)
adhocprefix-adhocsufix \((\mathrm{MAS}(a,b,\mathrm{un},\mathrm{P}(z))=\mathrm{P}(\mathrm{P}(\mathrm{P}(z))))\)
adhocprefix-adhocsufix \(\exists z(\mathrm{MAS}(a,b,\mathrm{un},z)=b)\)
adhocprefix-adhocsufix \(\forall x\forall y\mathrm{Her}(0,y,\mathrm{P}(\mathrm{P}(x)))\)
adhocprefix-adhocsufix \(\forall y\ ((\mathrm{P}(\mathrm{P}(z))=x)\rightarrow\exists z\ (\mathrm{Verde}(z)\wedge\mathrm{Her}(x,y,z)))\)
Por supuesto las aridades de los nombres de \(\mathcal{F}\cup\mathcal{R}\) son importantes y deben ser respetadas. Por ejemplo \[(\mathrm{P}(x,y)=x)\ \ \ \ \ \ \mathrm{Her}(x,y)\ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{Verde}(x,y)\] no son fórmulas elementales de tipo \(\tau\).
adhocprefix(E2)adhocsufix Si \(\tau\) es el tipo \[(\{0,1\},\{\mathsf{s},\bigtriangleup\},\{\leq,r\},\{(\mathsf{s},2),(\bigtriangleup,5),(\leq,2),(r,2)\})\] entonces las siguientes palabras son fórmulas elementales de tipo \(\tau\):
adhocprefix-adhocsufix \(r(x,z)\)
adhocprefix-adhocsufix \(\mathrm{\leq}(x,y)\)
adhocprefix-adhocsufix \(\mathrm{\leq}(\bigtriangleup(x,y,z,0,0),\mathsf{s}(x,x))\)
adhocprefix-adhocsufix \((\mathsf{s}(a,b)=\bigtriangleup(x,y,z,0,0))\)
adhocprefix-adhocsufix \((\bigtriangleup(x,y,z,0,0)=\bigtriangleup(1,1,0,x,z))\)
adhocprefix-adhocsufix \((\mathsf{s}(\bigtriangleup(x,y,z,0,0),z)=1)\)
adhocprefix-adhocsufix \(\lnot r(x,\mathsf{s}(a,\mathsf{s}(a,b)))\)
adhocprefix-adhocsufix \(\lnot\forall y(\mathsf{s}(x,y)=x)\)
adhocprefix-adhocsufix \(\exists z\forall x\ (r(x,\mathsf{s}(z,z)\wedge\lnot\mathrm{\leq}(x,z))\)
adhocprefix-adhocsufix \(\forall x\forall y\forall z\;((r(x,y)\wedge r(y,z))\rightarrow r(x,z))\)
Nótese que hay algunas pequeñas diferencias con las fórmulas elementales de las estructuras clásicas definidas en el Capítulo Estructuras y su Lenguaje Elemental ya que aquí respondemos a un formato mas general. Por ejemplo hemos escrito \(\mathrm{\leq}(x,y)\) en lugar de \(x\leq y\) y \(\mathsf{s}(x,y)\) en lugar de \((x\ \mathsf{s}\ y)\). Esto es a los fines de homogeneizar la escritura y no hacer un uso distinto para los nombres de función y de relación de aridad 2.
Por supuesto las aridades de los nombres de \(\mathcal{F}\cup\mathcal{R}\) son importantes y deben ser respetadas. Por ejemplo \[(+(x,y,z)=x)\ \ \ \ \ \ r(x,y,z)\ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{\leq}(x,y,z)\] no son fórmulas elementales de tipo \(\tau\).
adhocprefix(E3)adhocsufix Si \(\tau\) es el tipo \[(\{\mathrm{er}\},\{+\},\{\leq\},\{(+,4),(\leq,5)\})\] entonces las siguientes palabras son fórmulas elementales de tipo \(\tau\):
adhocprefix-adhocsufix \(\mathrm{\leq}(x,y,\mathrm{er},\mathrm{er},\mathrm{er})\)
adhocprefix-adhocsufix \(\mathrm{\leq}(+(x,y,z,\mathrm{er}),+(x,x,\mathrm{er},x),a,b,z)\)
adhocprefix-adhocsufix \(\exists z(+(x,z,x,+(x,x,x,x))=z)\)
adhocprefix(E4)adhocsufix Si \(\tau\) es el tipo \[(\{\mathrm{er}\},\{\leq\},\{+\},\{(\leq,3),(+,2)\})\] entonces las siguientes palabras son fórmulas elementales de tipo \(\tau\):
adhocprefix-adhocsufix \((\mathrm{\leq}(x,y,\mathrm{er})=x)\)
adhocprefix-adhocsufix \(+(z,\mathrm{er})\)
adhocprefix-adhocsufix \(\exists z\lnot\mathrm{+}(z,\mathrm{er})\)
(aquí hay que tener en cuenta que \(\leq\) es un nombre de función de aridad 3 y que \(+\) es un nombre de relación de aridad 2, lo cual es inusual pero perfectamente posible en nuestra muy general definición de tipo)
adhocprefix(E5)adhocsufix Si \(\tau\) es el tipo \[(\{\leq\},\{+\},\emptyset,\{(+,3)\})\] entonces las siguientes palabras son fórmulas elementales de tipo \(\tau\):
adhocprefix-adhocsufix \((\mathrm{\leq}=x)\)
adhocprefix-adhocsufix \((+(z,\leq,a)=\mathrm{\leq})\)
adhocprefix-adhocsufix \((+(+(z,\leq,\leq),x,a)=b)\)
(aquí hay que tener en cuenta que \(\leq\) es un nombre de constante, lo cual es inusual pero perfectamente posible)
Una fórmula elemental de tipo \(\tau\) será llamada pura cuando en ella no ocurran nombres de elementos fijos. Nótese que en particular los términos elementales de tipo \(\tau\) que ocurran en una fórmula elemental pura de tipo \(\tau\) serán también puros.
Estos conceptos se definen para una fórmula elemental \(\varphi\) de un tipo \(\tau\) cualquiera, de la misma manera que lo hicimos en la Sección de Reticulados Cuaterna para las fórmulas elementales de reticulados cuaterna. Dejamos al lector que los repace. Recordemos que una variable libre de una fórmula elemental era una que al menos una vez ocurría libremente (aunque también pudiera ocurrir acotadamente en dicha fórmula elemental). Cuando una fórmula elemental de tipo \(\tau\) no tenga variables libres, diremos que es una sentencia elemental de tipo \(\tau\). O sea que una sentencia elemental pura de tipo \(\tau\) será una sentencia elemental de tipo \(\tau\) la cual sea pura.
Dada una estructura \((A,i)\) de tipo \(\tau\) y un término elemental \(t\) de tipo \(\tau\), para que \(t\) represente un valor de \(A\), tenemos que asignarles valores concretos de \(A\) a las variables y a los nombres de elementos fijos que ocurren en \(t\). Los nombres de función que ocurren en \(t\) obviamente se interpretaran según manda la función \(i\). Similarmente dada una estructura \((A,i)\) de tipo \(\tau\) y una fórmula elemental \(\varphi\) de tipo \(\tau\), para que \(\varphi\) sea verdadera o falsa tenemos que asignarle valores concretos de \(A\) a las variables libres de \(\varphi\) y a los nombres de elementos fijos que ocurren en \(\varphi\) y luego, a los nombres de \(\mathcal{C}\cup\mathcal{F}\cup\mathcal{R}\), debemos interpretarlos usando la función \(i\). Notemos que si \(\varphi\) es una sentencia elemental pura de tipo \(\tau\), entonces \(\varphi\) será verdadera o falsa en cada estructura de tipo \(\tau\), sin necesidad de hacer asignaciones de valores a sus variables.
Algunos ejemplos:
adhocprefix(E1)adhocsufix Sea \(\tau\) el tipo \[(\{\mathrm{un},0\},\{\mathrm{MAS},\mathrm{P}\},\{\mathrm{Her},\mathrm{Verde}\},\{(\mathrm{MAS},4),(\mathrm{P},1),(\mathrm{Her},3),(\mathrm{Verde},1)\})\] Y sea \((A,i)\) la estructura de tipo \(\tau\) dada por:
adhocprefix-adhocsufix \(A=\mathbf{R}\)
adhocprefix-adhocsufix \(i(\mathrm{un})=\pi\)
adhocprefix-adhocsufix \(i(0)=0\) (ojo que aquí el primer cero es un símbolo y el segundo un número real!)
adhocprefix-adhocsufix \(\begin{array}[t]{rcl} i(\mathrm{MAS}):\mathbf{R}^{4} & \rightarrow & \mathbf{R}\\ (x,y,z,w) & \rightarrow & x.y \end{array}\)
adhocprefix-adhocsufix \(\begin{array}[t]{rcl} i(\mathrm{P}):\mathbf{R} & \rightarrow & \mathbf{R}\\ x & \rightarrow & x^{2} \end{array}\)
adhocprefix-adhocsufix \(i(\mathrm{Her})=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^{3}:x.y.z=9\}\)
adhocprefix-adhocsufix \(i(\mathrm{Verde})=\mathbf{Q}\)
Entonces:
adhocprefix-adhocsufix El término elemental \(\mathrm{un}\) asume o representa el valor \(\pi\)
adhocprefix-adhocsufix El término elemental \(\mathrm{P}(z)\) asume o representa el valor \(25\) cuando le asignamos a \(z\) el valor \(5\).
adhocprefix-adhocsufix El término elemental \(\mathrm{MAS}(a,b,\mathrm{un},z)\) asume o representa el valor \(2\) cuando le asignamos a \(a\) el valor \(\sqrt{2}\), a \(b\) el valor \(\sqrt{2}\) y a \(z\) el valor \(16\) (o cualquier otro valor)
adhocprefix-adhocsufix La fórmula elemental \(\mathrm{Her}(x,y,z)\) es verdadera en \((A,i)\) cuando le asignamos a \(x\) el valor \(9\), a \(y\) el valor \(1\) y a \(z\) el valor \(1\)
adhocprefix-adhocsufix \(\mathrm{Verde}(x)\) es falsa en \((A,i)\) cuando le asignamos a \(x\) el valor \(\sqrt{2}\)
adhocprefix-adhocsufix \(\mathrm{Verde}(\mathrm{MAS}(a,b,\mathrm{un},z))\) es verdadera en \((A,i)\) cuando le asignamos a \(a\) el valor \(\sqrt{2}\), a \(b\) el valor \(\sqrt{2}\) y a \(z\) el valor \(16\) (o cualquier otro valor)
adhocprefix-adhocsufix La fórmula elemental \(\exists y\exists z\ \mathrm{Her}(a,y,z)\) es una sentencia ya que no tiene variables libres y es verdadera en \((A,i)\) cuando a \(a\) le asignamos un valor no nulo
adhocprefix-adhocsufix La fórmula elemental \(\exists y\exists z\ \mathrm{Her}(x,y,z)\) es verdadera en \((A,i)\) cuando a \(x\) le asignamos un valor no nulo
adhocprefix-adhocsufix La fórmula elemental \(\forall x\ (\lnot(x=0)\rightarrow\exists y\exists z\ \mathrm{Her}(x,y,z))\) es una sentencia elemental ya que no tiene variables libres y es verdadera en \((A,i)\)
adhocprefix-adhocsufix La fórmula elemental \(\forall x\forall y\ ((\mathrm{Verde}(x)\wedge\mathrm{Verde}(y))\rightarrow\mathrm{Verde}(\mathrm{MAS}(x,y,\mathrm{un},z)))\) es verdadera en \((A,i)\) independientemente de que valor le asignemos a \(z\), ya que el producto de racionales es racional
adhocprefix-adhocsufix La fórmula elemental \(\exists y(\mathrm{MAS}(z,z,y,\mathrm{un})=\mathrm{P}(z))\) es verdadera en \((A,i)\) cualquiera sea el valor que le asignemos a \(z\)
Error frecuente: En la estructura anterior hay varios elementos que tienen su notación clásica en la matemática, por ejemplo, con la letra griega \(\pi\) denotamos la cantidad de veces que entra el diámetro en la circunferencia o con el numeral \(3\) denotamos al número entero tres. Esto no debe confundirnos y pensar que por ejemplo las palabras \[\lnot\mathrm{Verde}(\pi)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \exists y\mathrm{Her}(3,3,y)\] son fórmulas elementales de tipo \(\tau\) (aunque es claro que son verdaderas en la estructura \((A,i)\))
adhocprefix(E2)adhocsufix Sea \(\tau\) el tipo \[(\{\mathrm{er}\},\{+\},\{\leq\},\{(+,4),(\leq,5)\})\] y sea \((A,i)\) la estructura de tipo \(\tau\) dada por:
adhocprefix-adhocsufix \(A=\{1,2,3,4,5\}\)
adhocprefix-adhocsufix \(i(\mathrm{er})=4\)
adhocprefix-adhocsufix \(\begin{array}[t]{rcl} i(+):A^{4} & \rightarrow & A\\ (x,y,z,w) & \rightarrow & \max\{x,y,z,w\} \end{array}\)
adhocprefix-adhocsufix \(i(\leq)=\{(x,y,z,u,v)\in A^{5}:x+y+z+u+v\geq17\}\)
Entonces:
adhocprefix-adhocsufix El término elemental \(\mathrm{er}\) asume o representa el valor \(4\)
adhocprefix-adhocsufix El término elemental \(+(x,x,x,a)\) asume o representa el valor \(4\) cuando le asignamos a \(x\) el valor \(2\) y a \(a\) el valor \(4\).
adhocprefix-adhocsufix \(\mathrm{\leq}(\mathrm{er},\mathrm{er},\mathrm{er},\mathrm{er},\mathrm{er})\) es una sentencia elemental pura verdadera en \((A,i)\)
adhocprefix-adhocsufix \(\mathrm{\leq}(x,y,\mathrm{er},\mathrm{er},\mathrm{er})\) es una fórmula elemental pura la cual es verdadera en \((A,i)\) cuando le asignamos a las variables \(x\) e \(y\) valores que sumados den al menos \(5\)
adhocprefix-adhocsufix \(\forall x\exists y\ \mathrm{\leq}(x,x,x,x,y)\) es una sentencia elemental pura la cual es falsa en \((A,i)\), ya que la fórmula elemental \(\exists y\ \mathrm{\leq}(x,x,x,x,y)\) es falsa en \((A,i)\) cuando le asignamos a \(x\) el valor \(1\)
adhocprefix-adhocsufix La sentencia elemental pura \(\forall x\exists z\ \mathrm{\leq}(x,x,x,x,+(x,x,x,z))\) es falsa en \((A,i)\)
adhocprefix(E3)adhocsufix Sea \(\tau\) el tipo \[(\{\mathrm{epa}\},\{\leq,r\},\emptyset,\{(\leq,1),(r,1)\})\] y sea \((A,i)\) la estructura de tipo \(\tau\) dada por:
adhocprefix-adhocsufix \(A=\omega\)
adhocprefix-adhocsufix \(i(\mathrm{epa})=71\)
adhocprefix-adhocsufix \(\begin{array}[t]{rcl} i(\mathrm{\leq}):\omega & \rightarrow & \omega\\ x & \rightarrow & x^{2} \end{array}\)
adhocprefix-adhocsufix \(\begin{array}[t]{rcl} i(r):\omega & \rightarrow & \omega\\ x & \rightarrow & \left\lfloor \sqrt{x}\right\rfloor \end{array}\)
Nótese que aquí contrario al uso estandard en la matemática, el símbolo \(\leq\) se interpreta como una función. Entonces:
adhocprefix-adhocsufix El término elemental \(\mathrm{\leq}(x)\) asume el valor \(100\) cuando a \(x\) le asignamos el valor \(10\)
adhocprefix-adhocsufix El término elemental \(r(\mathrm{\leq}(b))\) asume el valor \(11\) cuando a \(b\) le asignamos el valor \(11\)
adhocprefix-adhocsufix El término elemental \(\mathrm{\leq}(r(b))\) asume el valor \(9\) cuando a \(b\) le asignamos el valor \(11\)
adhocprefix-adhocsufix La fórmula elemental \((\mathrm{\leq}(\mathrm{epa})=x)\) es verdadera en \((A,i)\) cuando le asignamos a la variable \(x\) el valor \(71^{2}\) y falsa en caso contrario
adhocprefix-adhocsufix La sentencia elemental pura \(\exists z(\mathrm{\leq}(z)=x)\) es verdadera en \((A,i)\) cuando le asignamos a \(x\) el valor \(16\)
adhocprefix-adhocsufix La sentencia elemental pura \(\forall x\ (r(\mathrm{\leq}(x))=x)\) es verdadera en \((A,i)\)
adhocprefix-adhocsufix La sentencia elemental pura \(\exists x\ \lnot(\mathrm{\leq}(r(x))=x)\) es verdadera en \((A,i)\)
Tal como vimos en el Capítulo Estructuras y su Lenguaje Elemental, el concepto de prueba elemental dependía del tipo de estructura en cuestión y además de tener fijado un conjunto de sentencias elementales que llamábamos axiomas y eran el punto de partida de dichas pruebas. Cabe destacar que dichos axiomas eran sentencias elementales puras, i.e. sin nombres de elementos fijos, ya que estos se usaban solo en las pruebas elementales para denotar hipotéticos elementos dentro del argumento de la prueba misma. Además cuando hacíamos una prueba elemental teníamos en mente una estructura genérica de la cual solo sabíamos que satisfacía los axiomas, es decir solo podíamos usar la información particular que dichos axiomas nos proveían y pasos elementales obvios de los cuales nadie dudaría. Esto nos inspira a hacer las siguientes dos definiciones.
Una teoría elemental será un par \((\Sigma,\tau)\) tal que \(\tau\) es un tipo cualquiera y \(\Sigma\) es un conjunto de sentencias elementales puras de tipo \(\tau\). Un modelo de \((\Sigma,\tau)\) será una estructura de tipo \(\tau\) la cual haga verdaderos a todos los elementos de \(\Sigma\). Veamos algunos ejemplos:
adhocprefix(E1)adhocsufix La teoría elemental de los posets es el par \((\Sigma,\tau)\), donde \(\tau=(\emptyset,\emptyset,\{\leq\},\{(\leq,2)\})\) y \(\Sigma\) es el conjunto formado por las siguientes tres sentencias elementales de tipo \(\tau\):
adhocprefixadhocsufix \(\forall x\ \mathrm{\leq}(x,x)\)
adhocprefixadhocsufix \(\forall x\forall y\forall z\;((\mathrm{\leq}(x,y)\wedge\mathrm{\leq}(y,z))\rightarrow\mathrm{\leq}(x,z))\)
adhocprefixadhocsufix \(\forall x\forall y((\mathrm{\leq}(x,y)\wedge\mathrm{\leq}(y,x))\rightarrow x=y)\)
Nótese que los modelos de esta teoría elemental son exactamente aquellas estructuras de tipo \(\tau\) las cuales son "esencialmente" posets.
adhocprefix(E2)adhocsufix La teoría elemental de los reticulados terna es el par \((\Sigma,\tau)\), donde \(\tau=(\emptyset,\{\mathsf{s},\mathsf{i}\},\emptyset,\{(\mathsf{s},2),(\mathsf{i},2)\})\) y \(\Sigma\) es el conjunto formado por las siguientes sentencias elementales de tipo \(\tau\):
adhocprefixadhocsufix \(\forall x\forall y\ (\mathsf{s}(x,x)=x)\)
adhocprefixadhocsufix \(\forall x\forall y\ (\mathsf{i}(x,x)=x)\)
adhocprefixadhocsufix \(\forall x\forall y\ (\mathsf{s}(x,y)=\mathsf{s}(y,x))\)
adhocprefixadhocsufix \(\forall x\forall y\ (\mathsf{i}(x,y)=\mathsf{i}(y,x))\)
adhocprefixadhocsufix \(\forall x\forall y\forall z\ (\mathsf{s}(\mathsf{s}(x,y),z)=\mathsf{s}(x,\mathsf{s}(y,z)))\)
adhocprefixadhocsufix \(\forall x\forall y\forall z\ (\mathsf{i}(\mathsf{i}(x,y),z)=\mathsf{i}(x,\mathsf{i}(y,z)))\)
adhocprefixadhocsufix \(\forall x\forall y\ \mathsf{s}(x,\mathsf{i}(x,y))=x)\)
adhocprefixadhocsufix \(\forall x\forall y\ \mathsf{i}(x,\mathsf{s}(x,y))=x)\)
Nótese que los modelos de esta teoría elemental son exactamente aquellas estructuras de tipo \(\tau\) las cuales son "esencialmente" reticulados terna.
adhocprefix(E3)adhocsufix La teoría elemental de los reticulados cuaterna es el par \((\Sigma,\tau)\), donde \(\tau=(\emptyset,\{\mathsf{s},\mathsf{i}\},\{\leq\},\{(\mathsf{s},2),(\mathsf{i},2),(\leq,2)\})\) y \(\Sigma\) es el conjunto formado por las siguientes sentencias elementales de tipo \(\tau\):
adhocprefixadhocsufix \(\mathrm{A}_{\leq R}=\forall x\ \mathrm{\leq}(x,x)\)
adhocprefixadhocsufix \(\mathrm{A}_{\leq T}=\forall x\forall y\forall z\;((\mathrm{\leq}(x,y)\wedge\mathrm{\leq}(y,z))\rightarrow\mathrm{\leq}(x,z))\)
adhocprefixadhocsufix \(\mathrm{A}_{\leq A}=\forall x\forall y\ ((\mathrm{\leq}(x,y)\wedge\mathrm{\leq}(y,x))\rightarrow x=y)\)
adhocprefixadhocsufix \(\mathrm{A}_{\mathsf{s}esC}=\forall x\forall y\;(\mathrm{\leq}(x,\mathsf{s}(x,y))\wedge\mathrm{\leq}(y,\mathsf{s}(x,y)))\)
adhocprefixadhocsufix \(\mathrm{A}_{\mathsf{s}\leq C}=\forall x\forall y\forall z\;\left((\mathrm{\leq}(x,z)\wedge\mathrm{\leq}(y,z))\rightarrow\mathrm{\leq}(\mathsf{s}(x,y),z\right))\)
adhocprefixadhocsufix \(\mathrm{A}_{\mathsf{i}esC}=\forall x\forall y\;(\mathrm{\leq}(\mathsf{i}(x,y),x)\wedge\mathrm{\leq}(\mathsf{i}(x,y),y))\)
adhocprefixadhocsufix \(\mathrm{A}_{\mathsf{i}\geq C}=\forall x\forall y\forall z\;\left((\mathrm{\leq}(z,x)\wedge\mathrm{\leq}(z,y))\rightarrow\mathrm{\leq}(z,\mathsf{i}(x,y))\right)\)
Nótese que los modelos de esta teoría elemental son exactamente aquellas estructuras de tipo \(\tau\) las cuales son "esencialmente" reticulados cuaterna.
adhocprefix(E4)adhocsufix La teoría elemental de los grafos es el par \((\Sigma,\tau)\), donde \(\tau=(\emptyset,\emptyset,\{r\},\{(r,2)\})\) y \(\Sigma\) es el conjunto formado por las siguientes sentencias elementales de tipo \(\tau\):
adhocprefixadhocsufix \(\forall x\lnot r(x,x)\)
adhocprefixadhocsufix \(\forall x\forall y(r(x,y)\rightarrow r(y,x))\)
Nótese que los modelos de esta teoría elemental son exactamente aquellas estructuras de tipo \(\tau\) las cuales son "esencialmente" grafos.
adhocprefix(E5)adhocsufix La teoría elemental de los grafos bicoloreados es el par \((\Sigma,\tau)\), donde \(\tau=(\emptyset,\emptyset,\{r,R\},\{(r,2),(R,1)\})\) y \(\Sigma\) es el conjunto formado por las siguientes sentencias elementales de tipo \(\tau\):
adhocprefixadhocsufix \(\forall x\lnot r(x,x)\)
adhocprefixadhocsufix \(\forall x\forall y(r(x,y)\rightarrow r(y,x))\)
adhocprefixadhocsufix \(\forall x\forall y(r(x,y)\rightarrow((R(x)\wedge\lnot R(y))\vee(\lnot R(x)\wedge R(y))))\)
Nótese que los modelos de esta teoría elemental son exactamente aquellas estructuras de tipo \(\tau\) las cuales son "esencialmente" grafos bicoloreados.
adhocprefix(E6)adhocsufix La teoría elemental de las median algebras es el par \((\Sigma,\tau)\), donde \(\tau=(\emptyset,\{M\},\emptyset,\{(M,3)\})\) y \(\Sigma\) es el conjunto formado por las siguientes sentencias elementales de tipo \(\tau\):
adhocprefixadhocsufix \(\forall x\forall y\forall z(M(x,y,z)=M(x,z,y))\)
adhocprefixadhocsufix \(\forall x\forall y\forall z(M(x,y,z)=M(y,z,x))\)
adhocprefixadhocsufix \(\forall x\forall y(M(x,x,y)=x)\)
adhocprefixadhocsufix \(\forall x\forall y\forall z\forall u\forall v(M(M(x,y,z),u,v))=M(x,M(y,u,v),M(z,u,v)))\)
Es muy importante notar que una teoría elemental \((\Sigma,\tau)\) es en algún sentido un objeto esencialmente sintáctico ya que \(\Sigma\), \(\mathcal{C}\), \(\mathcal{F}\) y \(\mathcal{R}\) son conjuntos de palabras y los elementos de \(\Sigma\) también son palabras. Los modelos de \((\Sigma,\tau)\) constituyen la semántica de la teoría.
Las anteriores son las teorías elementales que se corresponden con los tipos de estructuras consideradas en el Capítulo Estructuras y su Lenguaje Elemental pero nuestra definición de teoría elemental es muy general y nos permite considerar una gran diversidad de teorías. Veamos otros ejemplos de teorías elementales interesantes:
adhocprefix(E7)adhocsufix Consideremos la teoría elemental \((\Sigma,\tau)\), donde \(\tau=(\{\mathrm{ex}\},\{\mathrm{F}\},\emptyset,\{(\mathrm{F},1)\})\) y \(\Sigma\) es el conjunto formado por las siguientes dos sentencias elementales:
adhocprefixadhocsufix \(\forall x\forall y\ (\lnot(x=y)\rightarrow\lnot(\mathrm{F}(x)=\mathrm{F}(y)))\)
adhocprefixadhocsufix \(\forall x\ \lnot(\mathrm{F}(x)=\mathrm{ex})\)
Nótese que una estructura \(\mathbf{A}=(A,i)\) de tipo \(\tau\) es un modelo de \((\Sigma,\tau)\) si y solo si \(i(\mathrm{F})\) es inyectiva y \(i(\mathrm{ex})\notin\mathrm{Im}(i(\mathrm{F}))\). Esto obviamente nos dice que el universo de cada modelo de esta teoría es infinito. Un modelo de la teoría es por ejemplo \((\omega,\{(\mathrm{ex},0),(\mathrm{F},Suc)\})\)
adhocprefix(E8)adhocsufix Sea \(\tau=(\emptyset,\{\times\},\{\mathrm{Com}\},\{(\times,2),(\mathrm{Com},1)\})\) y sea \(\Sigma\) el conjunto formado por las siguientes sentencias elementales de tipo \(\tau\):
adhocprefixadhocsufix \(\forall x\forall y\forall z\ (\times(\times(x,y),z)=\times(x,\times(y,z)))\)
adhocprefixadhocsufix \(\forall z\ (\mathrm{Com}(z)\rightarrow\forall x\ (\times(x,z)=\times(z,x)))\)
adhocprefixadhocsufix \(\forall x\exists z\ (x=\times(z,z)\wedge\mathrm{Com}(z))\)
Supongamos \(\mathbf{A}=(A,i)\) es un modelo de la teoría \((\Sigma,\tau)\). Nótese que el primer axioma nos dice que \(i(\times)\) es una operación binaria asociativa, esto se ve mas fácilmente si escribimos dicho axioma con la notación mas usual para operaciones: \[\forall x\forall y\forall z\ (x\times y)\times z=x\times(y\times z)\]
El segundo axioma nos dice que si \(a\in i(\mathrm{Com})\), entonces \(a\ i(\times)\ b=b\ i(\times)\ a\), cualesquiera sea \(b\in A\). O sea nos dice que los elementos de \(i(\mathrm{Com})\) conmutan con todos los otros elementos relativo a la operación \(i(\times)\). El tercer axioma nos dice que cualquiera sea \(a\in A\), debe haber un \(b\in i(\mathrm{Com})\) tal que \(b\ i(\times)\ b=a\). En algún sentido nos dice que todo elemento de \(A\) tiene en el conjunto \(i(\mathrm{Com})\) una "raíz cuadrada" relativo a la operación \(i(\times)\). Ejemplos de modelos de esta teoría son:
adhocprefix-adhocsufix \((\{r\in\mathbf{R}:r\geq0\},i)\), con \(i(\times)=\) operación producto usual de \(\mathbf{R}\) restringida a \(\{r\in\mathbf{R}:r\geq0\}^{2}\) y \(i(\mathrm{Com})=\{r\in\mathbf{R}:r\geq0\}\)
adhocprefix-adhocsufix \((\mathbf{R},i)\), con \(i(\times)=\max\) y \(i(\mathrm{Com})=\mathbf{R}\)
adhocprefix-adhocsufix \((\mathbf{R},i)\), con \(i(\times)=\min\) y \(i(\mathrm{Com})=\mathbf{R}\)
adhocprefix-adhocsufix \((\mathcal{P}(\{1,2,3\}),i)\), con \(i(\times)=\cup\) y \(i(\mathrm{Com})=\mathcal{P}(\{1,2,3\})\)
adhocprefix(E9)adhocsufix La teoría elemental de los reticulados cuaterna distributivos es el par \((\Sigma,\tau)\), donde \(\tau=(\emptyset,\{\mathsf{s},\mathsf{i}\},\{\leq\},\{(\mathsf{s},2),(\mathsf{i},2),(\leq,2)\})\) y \(\Sigma\) es el conjunto formado por los axiomas de la teoría elemental de los reticulados cuaterna junto con el axioma
adhocprefixadhocsufix \(\forall x\forall y\forall z\ (\mathsf{i}(x,\mathsf{s}(y,z))=\mathsf{s}(\mathsf{i}(x,y),\mathsf{i}(x,z)))\)
Nótese que los modelos de esta teoría elemental son exactamente aquellas estructuras de tipo \(\tau\) las cuales son "esencialmente" reticulados cuaterna distributivos
adhocprefix(E10)adhocsufix La teoría elemental de los reticulados terna distributivos es el par \((\Sigma,\tau)\), donde \(\tau=(\emptyset,\{\mathsf{s},\mathsf{i}\},\emptyset,\{(\mathsf{s},2),(\mathsf{i},2)\})\) y \(\Sigma\) es el conjunto formado por los axiomas de la teoría elemental de los reticulados terna junto con el axioma
adhocprefixadhocsufix \(\forall x\forall y\forall z\ (\mathsf{i}(x,\mathsf{s}(y,z))=\mathsf{s}(\mathsf{i}(x,y),\mathsf{i}(x,z)))\)
Nótese que los modelos de esta teoría elemental son exactamente aquellas estructuras de tipo \(\tau\) las cuales son "esencialmente" reticulados terna distributivos
adhocprefix(E11)adhocsufix La teoría elemental de los reticulados cuaterna Booleanos es el par \((\Sigma,\tau)\), donde \(\tau=(\{0,1\},\{\mathsf{s},\mathsf{i},c\},\{\leq\},\{(\mathsf{s},2),(\mathsf{i},2),(\leq,2),(c,1)\})\) y \(\Sigma\) es el conjunto formado por los axiomas de la teoría elemental de reticulados cuaterna junto con las siguientes sentencias elementales de tipo \(\tau\):
adhocprefixadhocsufix \(\forall x\;\leq(x,1)\)
adhocprefixadhocsufix \(\forall x\;\leq(0,x)\)
adhocprefixadhocsufix \(\forall x\ (\mathsf{i}(x,c(x))=0\wedge\mathsf{s}(x,c(x))=1)\)
adhocprefixadhocsufix \(\forall x\forall y\forall z\ (\mathsf{i}(x,\mathsf{s}(y,z))=\mathsf{s}(\mathsf{i}(x,y),\mathsf{i}(x,z)))\)
Nótese que los modelos de esta teoría elemental son exactamente aquellas estructuras \((A,i)\) de tipo \(\tau\) tales que \((A,i(\mathsf{s}),i(\mathsf{i}),i(c),i(0),i(1))\) es un álgebra de Boole cuyo orden asociado es \(i(\leq)\).
Podemos generalizar el concepto de prueba elemental, introducido en el Capítulo Estructuras y su Lenguaje Elemental, a cualquier teoría elemental. Dada una teoría elemental \((\Sigma,\tau)\) y una sentencia elemental pura \(\varphi\) de tipo \(\tau\), una prueba elemental de \(\varphi\) en \((\Sigma,\tau)\) será una prueba de \(\varphi\) que posea las siguientes características:
adhocprefix(1)adhocsufix En la prueba se parte de una estructura de tipo \(\tau\), fija pero arbitraria en el sentido que lo único que sabemos es que ella es una estructura que satisface los axiomas de \(\Sigma\) (o sea esta es la única información particular que podemos usar).
adhocprefix(2)adhocsufix Las deducciones en la prueba son muy simples y obvias de justificar con mínimas frases en castellano.
adhocprefix(3)adhocsufix En la escritura de la prueba lo concerniente a la matemática misma se expresa usando solo sentencias elementales de tipo \(\tau\)
Nótese que los puntos (1) y (2) nos garantizan que una prueba elemental de \(\varphi\) en \((\Sigma,\tau)\) es una forma solida de justificar que cualquier estructura de tipo \(\tau\) que satisfaga los axiomas de \((\Sigma,\tau)\) también satisfacera \(\varphi\). Por supuesto el concepto de prueba elemental en una teoría \((\Sigma,\tau)\) no es un concepto definido en forma precisa sino mas bien una idea basada en ciertos ejemplos de la vida real de los matemáticos.
Veamos algunos ejemplos:
adhocprefix(E1)adhocsufix Consideremos la teoría elemental del ejemplo (E7) de teorías elementales. Sea \[\varphi=\exists x\exists y\exists z\ (\lnot(x=y)\wedge\lnot(x=z)\wedge\lnot(y=z))\] (\(\varphi\) dice que el universo tiene al menos tres elementos.) Tenemos la siguiente:
adhocprefixPrueba elemental de \(\varphi\) en \((\Sigma,\tau)\):adhocsufix Por el segundo axioma de \((\Sigma,\tau)\) tenemos que \(\lnot(\mathrm{F}(\mathrm{ex})=\mathrm{ex})\). Obviamente entonces tenemos que
1. \(\lnot(\mathrm{ex}=\mathrm{F}(\mathrm{ex}))\)
Por el segundo axioma de \((\Sigma,\tau)\) también tenemos que \(\lnot(\mathrm{F}(\mathrm{F}(\mathrm{ex}))=\mathrm{ex})\) por lo que
2. \(\lnot(\mathrm{ex}=\mathrm{F}(\mathrm{F}(\mathrm{ex})))\)
Ya que se da 1. el primer axioma de \((\Sigma,\tau)\) nos dice que
3. \(\lnot(\mathrm{F}(\mathrm{ex})=\mathrm{F}(\mathrm{F}(\mathrm{ex})))\)
Poniendo 1. 2. y 3. juntos tenemos que \[\lnot(\mathrm{ex}=\mathrm{F}(\mathrm{ex}))\wedge\lnot(\mathrm{ex}=\mathrm{F}(\mathrm{F}(\mathrm{ex})))\wedge\lnot(\mathrm{F}(\mathrm{ex})=\mathrm{F}(\mathrm{F}(\mathrm{ex})))\] de lo cual es obvio que vale \(\varphi\).
adhocprefix(E2)adhocsufix Consideremos la teoría elemental del ejemplo (E8) de teorías elementales. A continuación daremos una prueba elemental de \(\varphi=\forall x\forall y\ (\times(x,y)=\times(y,x))\) en la teoría \((\Sigma,\tau)\). Para facilitar la lectura usaremos la notación clásica para operaciones binarias, es decir escribiremos \(x\times y\) en lugar de \(\times(y,x)\), etc.
adhocprefixPrueba elemental de \(\varphi\) en \((\Sigma,\tau)\):adhocsufix Sean \(a,b\in A\), fijos pero arbitrarios. Por el tercer axioma de \((\Sigma,\tau)\) tenemos que
1. \(\exists z\ (a=z\times z\wedge\mathrm{Com}(z))\)
Sea \(c\) tal que
2. \(a=c\times c\wedge\mathrm{Com}(c)\)
Nuevamente, por el tercer axioma de \((\Sigma,\tau)\) tenemos que
3. \(\exists z\ (b=z\times z\wedge\mathrm{Com}(z))\)
Sea \(d\) tal que
4. \(b=d\times d\wedge\mathrm{Com}(d)\)
Ya que vale \(\mathrm{Com}(c)\), el segundo axioma de \((\Sigma,\tau)\) nos dice que
5. \(\forall x\ (x\times c=c\times x)\)
Ya que \(a=c\times c\) y \(b=d\times d\), tenemos que
6. \(a\times b=(c\times c)\times(d\times d)\)
Pero por el primer axioma de \((\Sigma,\tau)\) (asociatividad) tenemos que
7. \((c\times c)\times(d\times d)=c\times(c\times(d\times d))\)
Pero por 5. tenemos que
8. \(c\times(c\times(d\times d))=c\times((d\times d)\times c)\)
Por asociatividad
9. \(c\times((d\times d)\times c)=(c\times(d\times d))\times c\)
Por 5. tenemos que
10. \((c\times(d\times d))\times c=((d\times d)\times c)\times c\)
Por asociatividad tenemos que
11. \(((d\times d)\times c)\times c=(d\times d)\times(c\times c)\)
Ya que \(a=c\times c\) y \(b=d\times d\), tenemos que
12. \((d\times d)\times(c\times c)=b\times a\).
Siguiendo la cadena de igualdades desde 6. hasta 12. tenemos que
13. \(a\times b=b\times a\).
Ya que \(a\) y \(b\) eran elementos arbitrarios, hemos probado que \(\forall x\forall y\ x\times y=y\times x\)
Ahora que hemos generalizado los conceptos de estructura, fórmula elemental y prueba elemental vía el concepto de tipo, podemos enunciar en forma mucho mas general el Programa de Lógica Matemática para Reticulados Cuaterna dado al principio de este capítulo.
Programa de Lógica Matemática
adhocprefix(1)adhocsufix Dar un modelo matemático del concepto de fórmula elemental de tipo \(\tau\).
adhocprefix(2)adhocsufix Dar una definición matemática de cuando una fórmula elemental de tipo \(\tau\) es verdadera en una estructura de tipo \(\tau\) para una asignación dada de valores a las variables libres y a los nombres de elementos fijos de dicha fórmula elemental.
adhocprefix(3)adhocsufix (Plato gordo) Dar un modelo matemático del concepto de prueba elemental en una teoría elemental. A estos objetos matemáticos los llamaremos pruebas formales.
adhocprefix(4)adhocsufix (Sublime) Intentar probar matemáticamente que nuestro concepto de prueba formal es una correcta modelización matemática de la idea intuitiva de prueba elemental en una teoría elemental.
Como veremos, los cuatro puntos anteriores pueden ser hechos satisfactoriamente y constituyen el comienzo de la lógica matemática con cuantificadores. Cabe aclarar que la realización del cuarto punto es realmente sorprendente ya que es un caso de una prueba matemática rigurosa de un hecho que involucra un concepto intuitivo como lo es el de prueba elemental.
El punto (1) se resuelve en la sección siguiente y si bien produce interesantes conceptos y resultados matemáticos su resolución es rutinaria. El punto (2) es resuelto por Tarski en la Sección Modelo Matemático del Valor de Verdad de una Fórmula. El punto (3) por Fregue en la Sección Teorías de Primer Orden. El (4) es una consecuencia de dos importantes resultados, el Teorema de Corrección y el Teorema de Completitud de Godel.
En esta sección daremos un modelo matemático de los conceptos de término elemental de tipo \(\tau\) y fórmula elemental de tipo \(\tau\). Esto corresponde al punto (1) del Programa de Lógica Matemática.
Las variables usadas en las fórmulas elementales no estaban del todo especificadas. Para hacer bien preciso este concepto definiremos un conjunto concreto de variables. Sea \(Var\) el siguiente conjunto de palabras del alfabeto \(\{\mathsf{X},\mathit{0},\mathit{1},...,\mathit{9},\mathbf{0},\mathbf{1},...,\mathbf{9}\}\): \[Var=\{\mathsf{X}\mathbf{1},\mathsf{X}\mathbf{2},...,\mathsf{X}\mathbf{9},\mathsf{X}\mathit{1}\mathbf{0},\mathsf{X}\mathit{1}\mathbf{1},...,\mathsf{X}\mathit{1}\mathbf{9},\mathsf{X}\mathit{2}\mathbf{0},\mathsf{X}\mathit{2}\mathbf{1},...\}\] Es decir el elemento \(n\)-ésimo de \(Var\) es la palabra de la forma \(\mathsf{X}\alpha\) donde \(\alpha\) es el resultado de reemplazar en la palabra que denota \(n\) en notación decimal, el último numeral por su correspondiente numeral bold y los otros por sus correspondientes itálicos. Para dar un último ejemplo, el elemento trecientos cuarenta y unésimo de \(Var\) es la siguiente palabra de longitud cuatro: \[\mathsf{X}\mathit{3}\mathit{4}\mathbf{1}\] A los elementos de \(Var\) los llamaremos variables. La razón por la cual usamos numerales itálicos y bold es que a los numerales normales los usamos habitualmente en los tipos y será conveniente que entonces no ocurran en las variables. Además tomamos el último símbolo de cada variable en bold para que de esta manera nunca una variable sea una subpalabra de otra variable distinta a ella, lo cual contribuye a simplificar la escritura de los resultados.
Denotaremos con \(x_{i}\) al \(i\)-ésimo elemento de \(Var\), para cada \(i\in\mathbf{N}\).
Dado un tipo \(\tau\), definamos recursivamente los conjuntos de palabras \(T_{k}^{\tau}\), con \(k\geq0\), de la siguiente manera: \[\begin{aligned} T_{0}^{\tau} & =Var\cup\mathcal{C}\\ T_{k+1}^{\tau} & =T_{k}^{\tau}\cup\{f(t_{1},...,t_{n}):f\in\mathcal{F}_{n}\text{, }n\geq1\text{ y }t_{1},...,t_{n}\in T_{k}^{\tau}\}. \end{aligned}\] Nótese que arriba \(f(t_{1},...,t_{n})\) denota el resultado de concatenar las \(n+(n-1)+3\) siguientes palabras \[f\;\;\;(\;\;\;t_{1}\;\;\;,\;\;\;t_{2}\;\;\;,\;\;\;...\;\;\;,\;\;\;t_{n}\;\;\;)\] es decir que \(f(t_{1},...,t_{n})\) es una palabra de longitud \[\left|f\right|+\left|t_{1}\right|+...+\left|t_{n}\right|+(n-1)+2\] (\(n-1\) cuenta la cantidad de comas). Sea \[T^{\tau}=\bigcup_{k\geq0}T_{k}^{\tau}\] Los elementos de \(T^{\tau}\) serán llamados términos de tipo \(\tau\). Un término \(t\) es llamado cerrado si \(x_{i}\) no es subpalabra de \(t\), para cada \(i\in\mathbf{N}\). Definamos \[T_{c}^{\tau}=\{t\in T^{\tau}:t\text{ es cerrado}\}\] Es muy importante entender que un término de tipo \(\tau\) como objeto matemático es una palabra. También debería quedar claro que el concepto de término de tipo \(\tau\), a diferencia del concepto de término elemental de tipo \(\tau\), es un concepto definido en forma matemática precisa.
Algunos ejemplos:
adhocprefix(E1)adhocsufix Sea \(\tau=(\{\mathrm{uno},\mathrm{doli}\},\{\mathrm{MAS},\mathrm{P}\},\{\mathrm{Her}\},a)\), con \(a\) dado por \(a(\mathrm{MAS})=4\), \(a(\mathrm{P})=1\) y \(a(\mathrm{Her})=3\). Entonces
adhocprefix-adhocsufix Las palabras \(\mathrm{uno}\), \(\mathrm{doli}\) y \(\mathsf{X}\mathit{15666}\mathbf{9}\) son términos de tipo \(\tau\) ya que pertenecen a \(T_{0}^{\tau}\)
adhocprefix-adhocsufix \(\mathrm{MAS}(\mathrm{uno},\mathrm{doli},\mathsf{X}\mathit{1}\mathbf{9},\mathsf{X}\mathbf{5})\) y \(\mathrm{P}(\mathrm{uno})\) son términos de tipo \(\tau\) ya que pertenecen a \(T_{1}^{\tau}\) (por que?)
adhocprefix-adhocsufix Las palabras \[\mathrm{P}(\mathrm{P}(\mathrm{uno}))\ \ \ \ \ \mathrm{MAS}(\mathrm{P}(\mathsf{X}\mathbf{4}),\mathrm{doli},\mathsf{X}\mathit{1}\mathbf{9},\mathsf{X}\mathbf{5})\] son términos de tipo \(\tau\) ya que pertenecen a \(T_{2}^{\tau}\)
adhocprefix-adhocsufix \(\mathrm{P}(\mathrm{MAS}(\mathrm{P}(\mathsf{X}\mathbf{4}),\mathrm{MAS}(\mathsf{X}\mathbf{1},\mathsf{X}\mathbf{2},\mathsf{X}\mathbf{3},\mathsf{X}\mathbf{4}),\mathsf{X}\mathit{1}\mathbf{9},\mathsf{X}\mathbf{5}))\) es un término ya que pertenece a \(T_{3}^{\tau}\)
adhocprefix-adhocsufix \(\mathrm{uno}\), \(\mathrm{doli}\), \(\mathrm{P}(\mathrm{uno})\) y \(\mathrm{MAS}(\mathrm{uno},\mathrm{doli},\mathrm{doli},\mathrm{doli})\) son términos cerrados de tipo \(\tau\)
adhocprefix(E2)adhocsufix Sea \(\tau=(\{0,1\},\{+,\times,\uparrow\},\emptyset,a)\), con \(a\) dado por \(a(+)=2\), \(a(\times)=3\) y \(a(\uparrow)=1\). Entonces \[\mathsf{X}\mathit{111}\mathbf{9}\ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ +(+(\mathrm{\uparrow}(\mathsf{X}\mathbf{4}),\times(\mathsf{X}\mathbf{2},1,0)),\times(1,\mathsf{X}\mathbf{2},\mathsf{X}\mathbf{3}))\] son términos de tipo \(\tau\). También \(\mathrm{\uparrow}(+(\mathrm{\uparrow}(0),\times(0,1,0)))\) es un término cerrado de tipo \(\tau\)
adhocprefix(E3)adhocsufix Sea \(\tau=(\emptyset,\{\mathsf{s},\mathsf{i}\},\emptyset,\{(\mathsf{s},2),(\mathsf{i},2)\})\) el tipo de los reticulados terna. Entonces \[\mathsf{s}(\mathsf{X}\mathbf{2},\mathsf{X}\mathbf{3})\ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathsf{s}(\mathsf{s}(\mathsf{X}\mathbf{4},\mathsf{X}\mathit{1}\mathbf{4}),\mathsf{i}(\mathsf{X}\mathbf{2},\mathsf{X}\mathit{111}\mathbf{9}))\] son términos de tipo \(\tau\). No hay términos cerrados de tipo \(\tau\). Cabe destacar que \((\mathsf{X}\mathbf{2\ }\mathsf{s\ X}\mathbf{3})\) no es un término de tipo \(\tau\) aunque probar esto no es trivial de la definición de término y requiere de una demostración.
Observación importante: Notar que los términos de tipo \(\tau\) son un modelo matemático de los términos elementales puros de tipo \(\tau\), es decir aquellos en los cuales no ocurren nombres de elementos fijos. Medite...
El siguiente resultado es intuitivamente obvio por lo cual en general lo utilizaremos sin hacer mención explicita.
3.2. Si \(t_{1},...,t_{n}\in T^{\tau}\), con \(n\geq1\), y \(f\in\mathcal{F}_{n}\), entonces \(f(t_{1},...,t_{n})\in T^{\tau}\)
Proof. Es claro de la definicion de los \(T_{k}^{\tau}\) que \(T_{i}^{\tau}\subseteq T_{j}^{\tau}\) siempre que \(i\leq j\). Por definición de \(T^{\tau}\) tenemos que hay números \(k_{1},...,k_{n}\) tales que \(t_{i}\in T_{k_{i}}^{\tau}\), para \(i=1,...,n\). Es claro que entonces \(t_{1},...,t_{n}\in T_{K}^{\tau}\), donde \(K=\mathrm{max}\{k_{1},...,k_{n}\}\), lo cual nos dice que \(f(t_{1},...,t_{n})\in T_{K+1}^{\tau}\subseteq T^{\tau}\).
El siguiente resultado es también intuitivamente claro y es útil para demostrar propiedades de los términos.
3.3 (Menú para Términos). Sea \(k\geq0\). Si \(t\in T_{k+1}^{\tau}\), entonces se da alguna de las siguientes:
adhocprefix(a)adhocsufix \(t\in Var\cup\mathcal{C}\)
adhocprefix(b)adhocsufix \(t=f(t_{1},...,t_{n})\), con \(f\in\mathcal{F}_{n}\), \(n\geq1\) y \(t_{1},...,t_{n}\in T_{k}^{\tau}\).
Proof. Lo probaremos usando la Regla de Inducción desde 0. Para cada \(k\in\omega\) sea \(\mathrm{Enu}_{k}\) el siguiente enunciado:
adhocprefix\(\mathrm{Enu}_{k}\):adhocsufix Si \(t\in T_{k+1}^{\tau}\), entonces se da alguna de las siguientes:
adhocprefix(a)adhocsufix \(t\in Var\cup\mathcal{C}\)
adhocprefix(b)adhocsufix \(t=f(t_{1},...,t_{n})\), con \(f\in\mathcal{F}_{n}\), \(n\geq1\) y \(t_{1},...,t_{n}\in T_{k}^{\tau}\).
Hagamos entonces lo que nos encomienda la Regla de Inducción desde \(0\).
Prueba de que \(\mathrm{Enu}_{0}\) es verdadero. Es directo ya que por definición \(T_{0}^{\tau}=Var\cup\mathcal{C}\) y \[T_{1}^{\tau}=T_{0}^{\tau}\cup\{f(t_{1},...,t_{n}):f\in\mathcal{F}_{n}\text{, }n\geq1\text{ y }t_{1},...,t_{n}\in T_{0}^{\tau}\}\]
Prueba de que si \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero entonces \(\mathrm{Enu}_{k+1}\) lo es. Supongamos entonces que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\). Sea \(t\in T_{(k+1)+1}^{\tau}\). Por definición de \(T_{(k+1)+1}^{\tau}\) tenemos dos casos:
Caso \(t\in T_{k+1}^{\tau}\). Ya que \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero, tenemos que se da alguna de las siguientes
adhocprefix(a)adhocsufix \(t\in Var\cup\mathcal{C}\)
adhocprefix(b)adhocsufix \(t=f(t_{1},...,t_{n})\), con \(f\in\mathcal{F}_{n}\), \(n\geq1\) y \(t_{1},...,t_{n}\in T_{k}^{\tau}\).
Ya que \(T_{k}^{\tau}\subseteq T_{k+1}^{\tau}\) tenemos que se da alguna de la siguientes
adhocprefix(a)adhocsufix \(t\in Var\cup\mathcal{C}\)
adhocprefix(b)adhocsufix \(t=f(t_{1},...,t_{n})\), con \(f\in\mathcal{F}_{n}\), \(n\geq1\) y \(t_{1},...,t_{n}\in T_{k+1}^{\tau}\).
lo cual es justamente la conclusión de \(\mathrm{Enu}_{k+1}\).
Caso \(t=f(t_{1},...,t_{n})\) con \(f\in\mathcal{F}_{n}\), \(n\geq1\) y \(t_{1},...,t_{n}\in T_{k+1}^{\tau}\). Claramente en este caso se da la conclusión de \(\mathrm{Enu}_{k+1}\).
Algunos ejemplos de propiedades de los términos las cuales se pueden probar fácilmente usando el lema anterior son
adhocprefix-adhocsufix Si \(t\in T^{\tau}\) es tal que en \(t\) ocurre el símbolo \()\), entonces \(t=f(t_{1},...,t_{n})\) con \(f\in\mathcal{F}_{n}\), \(n\geq1\) y \(t_{1},...,t_{n}\in T^{\tau}\).
adhocprefix-adhocsufix Ningún término comienza con un símbolo del alfabeto \(\{\mathit{0},\mathit{1},...,\mathit{9}\}\)
adhocprefix-adhocsufix Si \(t\in T^{\tau}\) comienza con \(\mathsf{X}\) entonces \(t\in Var\)
adhocprefix-adhocsufix Si \(t\in T^{\tau}\) y \(\left[t\right]_{i}=)\), con \(i<\left\vert t\right\vert\), entonces \(\left[t\right]_{i+1}=\) \(,\) o \(\left[t\right]_{i+1}=\) \()\)
adhocprefix-adhocsufix Si \(t\in T^{\tau}\), entonces \(\left\vert t\right\vert _{(}=\left\vert t\right\vert _{)}\).
Dejamos al lector probar estas propiedades, varias de las cuales se usarán en la prueba del Lema de Mordisqueo mas abajo.
Una posible forma de probar que una palabra dada no es un término es encontrar una propiedad que posean todos los términos la cual no cumpla dicha palabra. Por ejemplo si \(\tau=(\emptyset,\{glp\},\emptyset,a)\), con \(a(glp)=1\), la palabra \(\alpha=glp((\mathsf{X}\mathit{13}\mathbf{3})\) no es un término ya que \(\left\vert \alpha\right\vert _{(}\neq\left\vert \alpha\right\vert _{)}\).
Recordemos que \(\beta\) es un tramo inicial (propio) de \(\alpha\) si hay una palabra \(\gamma\) tal que \(\alpha=\beta\gamma\) (y \(\beta\notin\{\varepsilon,\alpha\}\)). En forma similar se define tramo final (propio).
Dada una palabra \(\alpha\) denotemos con \(SPar(\alpha)\) al número entero \(\left\vert \alpha\right\vert _{(}-\left\vert \alpha\right\vert _{)}\). Pensaremos que los paréntesis izquierdos de \(\alpha\) valen \(1\) y los derechos valen \(-1\). Con esta idea \(SPar(\alpha)\) es la “suma de paréntesis de \(\alpha\)”.
3.4 (\(SPar\) en Términos). Sea \(t\in T^{\tau}\). Se tiene:
adhocprefix(1)adhocsufix \(SPar(t)=0\).
adhocprefix(2)adhocsufix Si \(z\) es tramo inicial de \(t\), entonces \(SPar(z)\geq0\)
adhocprefix(3)adhocsufix Si \(z\) es tramo final de \(t\), entonces \(SPar(z)\leq0\)
adhocprefix(4)adhocsufix Si \(z\) es tramo inicial propio de \(t\) y en \(z\) ocurre algún paréntesis, entonces \(SPar(z)>0\)
adhocprefix(5)adhocsufix Si \(z\) es tramo final de \(t\), \(z\neq\varepsilon\) y \(SPar(z)=0\), entonces a la izquierda de \(z\) en \(t\) no ocurren paréntesis.
Proof. Lo probaremos usando la Regla de Inducción desde 0. Para cada \(k\in\omega\) sea \(\mathrm{Enu}_{k}\) el siguiente enunciado:
adhocprefix\(\mathrm{Enu}_{k}\):adhocsufix Sea \(t\in T_{k}^{\tau}\). Se tiene:
adhocprefix(1)adhocsufix \(SPar(t)=0\).
adhocprefix(2)adhocsufix Si \(z\) es tramo inicial de \(t\), entonces \(SPar(z)\geq0\)
adhocprefix(3)adhocsufix Si \(z\) es tramo final de \(t\), entonces \(SPar(z)\leq0\)
adhocprefix(4)adhocsufix Si \(z\) es tramo inicial propio de \(t\) y en \(z\) ocurre algún paréntesis, entonces \(SPar(z)>0\)
adhocprefix(5)adhocsufix Si \(z\) es tramo final de \(t\), \(z\neq\varepsilon\) y \(SPar(z)=0\), entonces a la izquierda de \(z\) en \(t\) no ocurren paréntesis.
Hagamos entonces lo que nos encomienda la Regla de Inducción desde \(0\).
Prueba de que \(\mathrm{Enu}_{0}\) es verdadero. Es directo.
Prueba de que si \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero entonces \(\mathrm{Enu}_{k+1}\) lo es. Supongamos entonces que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\). Supongamos \(t\in T_{k+1}^{\tau}\). Probaremos que \(t\) cumple (1), (2), (3), (4) y (5). Por definición de \(T_{k+1}^{\tau}\) hay dos casos.
Caso \(t\in T_{k}^{\tau}\). Entonces ya que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\) tenemos que \(t\) cumple (1), (2), (3), (4) y (5).
Caso \(t=f(t_{1},...,t_{n})\), con \(f\in\mathcal{F}_{n}\), \(n\geq1\) y \(t_{1},...,t_{n}\in T_{k}^{\tau}\). Ya que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\) tenemos que \(t_{1},...,t_{n}\) cumplen (1), (2), (3), (4) y (5). Es fácil notar entonces que \(t\) cumple (1). Veamos que \(t\) cumple (4). Sea \(z\) un tramo inicial propio de \(t\) y supongamos que en \(z\) ocurre algún paréntesis. Nótese que \(z\) es de la forma \(z=f(t_{1},...,t_{i},z_{1}\) con \(0\leq i\leq n-1\) y \(z_{1}\) un tramo inicial de \(t_{i+1}\) (en el caso \(i=0\) interpretamos \(t_{1},...,t_{i}=\varepsilon)\). Ademas nótese que: \[SPar(z)=1+\left(\sum_{j=1}^{i}SPar(t_{j})\right)+SPar(z_{1})\] Ya que \(t_{1},...,t_{i}\) cumplen (1) tenemos que \[\left(\sum_{j=1}^{i}SPar(t_{j})\right)=0\] Además ya que \(t_{i+1}\) cumple (2) y \(z_{1}\) es un tramo inicial de \(t_{i+1}\) tenemos que \[SPar(z_{1})\geq0\] O sea que \(SPar(z)>0\).
Veamos que \(t\) cumple (5). Supongamos que \(z\) es tramo final de \(t\), \(z\neq\varepsilon\) y \(SPar(z)=0\). Supongamos primero que \(\left|z\right|<\left|(t_{1},...,t_{n})\right|\). Ya que \(z\neq\varepsilon\) tenemos que \(z\) es de la forma \(z=z_{1},t_{i},...,t_{n})\) con \(1<i\leq n+1\) y \(z_{1}\) un tramo final de \(t_{i-1}\) (en el caso \(i=n+1\) interpretamos \(t_{i},...,t_{n}=\varepsilon)\). Además nótese que: \[SPar(z)=SPar(z_{1})+\left(\sum_{j=i}^{n}SPar(t_{j})\right)+1\] Ya que \(t_{i},...,t_{n}\) cumplen (1) tenemos que \[\left(\sum_{j=i}^{n}SPar(t_{j})\right)=0\] Además ya que \(t_{i-1}\) cumple (3) y \(z_{1}\) es un tramo final de \(t_{i-1}\) tenemos que \[SPar(z_{1})\leq0\] O sea que \(SPar(z)<0\), lo cual es absurdo. O sea que \(\left|z\right|\geq\left|(t_{1},...,t_{n})\right|\). Pero entonces es claro que a la izquierda de \(z\) en \(t\) no ocurren paréntesis.
Mordisqueo. Nótese que en la definición de tipo se exige que nunca un nombre de cte sea subpalabra propia de otro nombre de cte, lo cual garantiza que nunca puede ser un nombre de cte un tramo inicial o final propio de otro nombre de cte. Lo que si puede suceder es que un tramo final propio de un nombre de cte \(c\) sea un tramo inicial propio de otro nombre de cte \(d\). Mas formalmente puede suceder que haya palabras \(x,y,z\), las tres distintas de \(\varepsilon\) tales que \(c=xy\) y \(d=yz\). En tal caso solemos decir que las palabras \(c\) y \(d\) se mordisquean. Por ejemplo si \(\tau=(\{\mathrm{uno}\),\(\mathrm{noli}\},\emptyset,\emptyset,\emptyset)\), es fácil ver que \(\tau\) es un tipo y que \(\mathrm{uno}\) y \(\mathrm{noli}\) se mordisquean. El lema siguiente nos dice que este es el único caso de mordisqueo de términos.
3.5 (Mordisqueo de Términos). Sean \(s,t\in T^{\tau}\) y supongamos que hay palabras \(x,y,z\), con \(y\neq\varepsilon\) tales que \(s=xy\) y \(t=yz\) . Entonces \(s,t\in\mathcal{C}\) o \(x=z=\varepsilon\). En particular si un término es tramo inicial o final de otro término, entonces dichos términos son iguales.
Proof. Hay varios casos. Recomendamos repasar la definición de tipo ya que haremos un uso fino de la misma, sin hacer mención explícita.
Caso \(s\in\mathcal{C}\). Ya que \(y\neq\varepsilon\) tenemos que \(t\) debe comenzar con un símbolo que ocurre en un nombre de cte. Esto nos dice que \(t\) no puede ser ni una variable ni de la forma \(f(t_{1},...,t_{n})\), es decir \(t\in\mathcal{C}\).
Caso \(s\in Var\). Si \(x\neq\varepsilon\) tenemos que \(t\) debe comenzar con alguno de los siguientes símbolos \[\mathit{0}\;\mathit{1\;}...\;\mathit{9}\;\mathbf{0}\;\mathbf{1}\ ...\;\mathbf{9}\] lo cual es absurdo (justificar). O sea que \(x=\varepsilon\) y por lo tanto \(s=y\). Ya que \(t=yz=sz\), tenemos que \(t\) debe comenzar con \(\mathsf{X}\). Pero esto dice que \(t\in Var\) (justificar). Ahora sigue fácilmente de la igualdad \(t=sz\) que \(z\) debe ser \(\varepsilon\).
Caso \(s\) es de la forma \(f(s_{1},...,s_{n})\). Ya que \(y\neq\varepsilon\), tenemos que \()\) ocurre en \(t\). O sea que \(t\) es de la forma \(g(t_{1},...,t_{m})\) (justificar). Supongamos que \(z\neq\varepsilon\). Nótese que \(y\) es un tramo inicial propio de \(g(t_{1},...,t_{m})\). Ya que en \(y\) ocurre el símbolo \()\) (4) del Lema \(SPar\) en Términos nos dice que \(SPar(y)>0\). Pero ya que \(y\) es tramo final de \(f(s_{1},...,s_{n})\), tenemos por (3) del mismo lema que \(SPar(y)\leq0.\) El absurdo así obtenido nos dice que \(z=\varepsilon\). Pero entonces \(s=xt\). Probaremos que \(x=\varepsilon\). Ya que \(s=xt\), se tiene que \[f(s_{1},...,s_{n})=xg(t_{1},...,t_{m})\] Por (1) del Lema \(SPar\) en Términos aplicado a cada \(t_{i}\) obtenemos que \(SPar((t_{1},...,t_{m}))=0\). Pero \((t_{1},...,t_{m})\) es un tramo final del termino \(f(s_{1},...,s_{n})\) lo cual por (5) del mismo lema nos dice que a la izquierda de \((t_{1},...,t_{m})\) en \(f(s_{1},...,s_{n})\) no ocurren paréntesis. Obviamente esto nos dice que \[\left|(s_{1},...,s_{n})\right|\leq\left|(t_{1},...,t_{m})\right|\] Y ya que en \(f\) no ocurre el símbolo \((\) deberá suceder que \[\left|(t_{1},...,t_{m})\right|=\left|(s_{1},...,s_{n})\right|\] O sea que \(f=xg\). Pero esto por la definición de tipo nos dice que \(x=\varepsilon\).
3.1 (Lectura Única de Términos). Dado \(t\in T^{\tau}\) se da una y solo una de las siguientes:
adhocprefix(1)adhocsufix \(t\in Var\cup\mathcal{C}\)
adhocprefix(2)adhocsufix Hay únicos \(n\geq1\),\(\;f\in\mathcal{F}_{n}\),\(\;t_{1},...,t_{n}\in T^{\tau}\) tales que \(t=f(t_{1},...,t_{n})\).
Mas aún si \(t\in T_{k+1}^{\tau}\) entonces cuando se da (2) los términos \(t_{1},...,t_{n}\) están en \(T_{k}^{\tau}\).
Proof. Nótese que (1) y (2) son excluyentes, es decir no pueden darse ambas. O sea que en virtud del Lema Menú para Términos, para probar que se da (1) o (2), sólo falta probar la unicidad en el punto (2). Supongamos que \[t=f(t_{1},...,t_{n})=g(s_{1},...,s_{m})\] con \(n,m\geq1,\;f\in\mathcal{F}_{n}\), \(g\in\mathcal{F}_{m}\), \(t_{1},...,t_{n},s_{1},...,s_{m}\in T^{\tau}\). Nótese que \(f=g\). O sea que \(n=m=a(f)\). Nótese que \(t_{1}\) es tramo inicial de \(s_{1}\) o \(s_{1}\) es tramo inicial de \(t_{1}\), lo cual por el lema anterior nos dice que \(t_{1}=s_{1}\). Con el mismo razonamiento podemos probar que deberá suceder \(t_{2}=s_{2},...,t_{n}=s_{n}\). Esto garantiza la unicidad de (2).
Veamos la última observación. Supongamos \(t\in T_{k+1}^{\tau}\) y supongamos se da (2). El Lema Menú para Términos nos dice que \[t=g(s_{1},...,s_{m})\] con \(m\geq1\), \(g\in\mathcal{F}_{m}\) y \(s_{1},...,s_{m}\in T_{k}^{\tau}\). Pero la unicidad de (2) nos dice que \(n=m\), \(f=g\) y \(t_{1}=s_{1},...,t_{n}=s_{n}\) por lo cual \(t_{1},...,t_{n}\in T_{k}^{\tau}\).
El teorema anterior es importante ya que nos permite definir recursivamente funciones con dominio contenido en \(T^{\tau}\). Por ejemplo podemos definir una función \(F:T^{\tau}\rightarrow T^{\tau}\), de la siguiente manera:
adhocprefix-adhocsufix \(F(c)=c\), para cada \(c\in\mathcal{C}\)
adhocprefix-adhocsufix \(F(v)=v\), para cada \(v\in Var\)
adhocprefix-adhocsufix \(F(f(t_{1},...,t_{n}))=f(F(t_{1}),...,F(t_{n}))\), si \(f\in\mathcal{F}_{n}\), con \(n\neq2\)
adhocprefix-adhocsufix \(F(f(t_{1},t_{2}))=f(t_{2},t_{1})\), si \(f\in\mathcal{F}_{2}.\)
Nótese que si la unicidad de la lectura no fuera cierta, entonces las ecuaciones anteriores no estarían definiendo en forma correcta una función ya que el valor de \(F\) en un término \(t\) estaría dependiendo de cual descomposición tomemos para \(t\).
Recomendamos al lector que antes de seguir repase los conceptos de ocurrencia y de reemplazo de ocurrencias en la Sección Ocurrencias, así entiende con madurez los enunciados que daremos.
Sean \(s,t\in T^{\tau}\). Diremos que \(s\) es subtérmino (propio) de \(t\) si (no es igual a \(t\) y) \(s\) es subpalabra de \(t\). A continuación veremos de que manera ocurren los subtérminos de un término.
3.6 (Ocurrencias de Términos en Términos). Sean \(r,s,t,t_{1},...,t_{n}\in T^{\tau}\), con \(n\geq1\) y sea \(f\in\mathcal{F}_{n}\).
adhocprefix(a)adhocsufix Si \(v\in Var\), entonces \(v\) no tiene subtérminos propios.
adhocprefix(b)adhocsufix Si \(c\in\mathcal{C}\), entonces \(c\) no tiene subtérminos propios.
adhocprefix(c)adhocsufix Si \(s\neq f(t_{1},...,t_{n})\) y \(s\) ocurre en \(f(t_{1},...,t_{n})\), entonces dicha ocurrencia sucede dentro de algún \(t_{j}\), \(j=1,...,n\).
adhocprefix(d)adhocsufix Si \(r,s\) ocurren en \(t\), entonces dichas ocurrencias son disjuntas o una ocurre dentro de otra.
adhocprefix(e)adhocsufix Si \(r\) ocurre en \(t\), entonces las distintas ocurrencias de \(r\) en \(t\) son disjuntas.
adhocprefix(f)adhocsufix Si \(t^{\prime}\) es el resultado de reemplazar una ocurrencia de \(s\) en \(t\) por \(r\), entonces \(t^{\prime}\in T^{\tau}\).
Proof. (a) y (b) son fáciles y dejados al lector.
(c) Supongamos la ocurrencia de \(s\) comienza en algún \(t_{j}\). Entonces el Lema de Mordisqueo de Términos nos conduce a que dicha ocurrencia deberá estar contenida en \(t_{j}\). Veamos que la ocurrencia de \(s\) no puede ser a partir de un \(i\in\{1,...,\left\vert f\right\vert \}\). Supongamos lo contrario. Tenemos entonces que \(s\) debe ser de la forma \(g(s_{1},...,s_{m})\) ya que no puede estar en \(Var\cup\mathcal{C}\). Nótese que \(i\neq1\) ya que en caso contrario \(s\) sería un tramo inicial propio de \(f(t_{1},...,t_{n})\). Pero entonces \(g\) debe ser un tramo final propio de \(f\), lo cual es absurdo. Ya que \(s\) no puede comenzar con paréntesis o coma, hemos contemplado todos los posibles casos de comienzo de la ocurrencia de \(s\) en \(t\).
(d) Usaremos la Regla de Inducción desde 0. Para cada \(k\in\omega\) sea \(\mathrm{Enu}_{k}\) el siguiente enunciado:
adhocprefix\(\mathrm{Enu}_{k}\):adhocsufix Supongamos \(t\in T_{k}^{\tau}\) y \(r,s\in T^{\tau}\). Si \(r,s\) ocurren en \(t\), entonces dichas ocurrencias son disjuntas o una ocurre dentro de otra.
Hagamos entonces lo que nos encomienda la Regla de Inducción desde \(0\).
Prueba de que \(\mathrm{Enu}_{0}\) es verdadero. Supongamos \(t\in T_{0}^{\tau}\) y \(r,s\in T^{\tau}\) ocurren en \(t\). Hay dos casos.
Caso \(t\in Var\). Nótese que \(r\) y \(s\) deben pertenecer a \(Var\) ya que de lo contrario tendrían símbolos que no ocurren en \(t\) (use Lectura Única de Términos y la definición de tipo). Pero es fácil notar que nunca una variable es subpalabra propia de otra asique obtenemos \(r=s=t\) y claramente se cumple la conclusión de \(\mathrm{Enu}_{0}\).
Caso \(t\in\mathcal{C}\). Nótese que \(r\) y \(s\) deben pertenecer a \(\mathcal{C}\) ya que de lo contrario tendrían símbolos que no ocurren en \(t\) (use Lectura Única de Términos y la definición de tipo). Pero por (3) de la definición de tipo tenemos que nunca un nombre de cte es subpalabra propia de otro nombre de cte por lo cual se tiene que \(r=s=t\) y claramente se cumple la conclusión de \(\mathrm{Enu}_{0}\).
Prueba de que si \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero entonces \(\mathrm{Enu}_{k+1}\) lo es. Supongamos entonces que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\). Supongamos que \(t\in T_{k+1}^{\tau}\) y \(r,s\in T^{\tau}\) ocurren en \(t\). Por definición de \(T_{k+1}^{\tau}\), hay dos casos.
Caso \(t\in T_{k}^{\tau}\). Ya que es verdadero \(\mathrm{Enu}_{k}\), es claro que se cumple la conclusión de \(\mathrm{Enu}_{k+1}\).
Caso \(t=f(t_{1},...,t_{n})\), con \(f\in\mathcal{F}_{n}\), \(n\geq1\) y \(t_{1},...,t_{n}\in T_{k}^{\tau}\). Si \(r\) o \(s\) son iguales a \(t\), es claro que entonces se cumple la conclusión de \(\mathrm{Enu}_{k+1}\). Supongamos entonces ambos términos son distintos a \(t\). O sea que por (a), las ocurrencias de \(r\) y \(s\) en \(t\) suceden dentro de los \(t_{j}\), \(j=1,...,n\). Es claro que entonces ya que \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero se tiene que las ocurrencias de \(r\) y \(s\) en \(t\) son disjuntas o una contiene a la otra.
(e) Es consecuencia inmediata de (d).
(f) Su prueba es similar a la de (d) y es dejada al lector.
Nota: Es importante notar que si bien no hemos definido en forma precisa el concepto de ocurrencia o de reemplazo de ocurrencias, la prueba del lema anterior es rigurosa en el sentido de que solo usa propiedades de los conceptos de ocurrencia y reemplazo de ocurrencias las cuales deberán ser comunes a cualquier definición o formulación matemática que se hiciera de aquellos conceptos. En este caso, es posible dar una definición precisa y satisfactoria de dichos conceptos aunque para otros conceptos tales como el de prueba absoluta de consistencia, aún no se ha encontrado una formulación matemática adecuada.
Dado un tipo \(\tau\), sea \(\Sigma_{\tau}\) el alfabeto finito formado por todos los símbolos que ocurren en alguna palabra de \(\mathcal{C}\cup\mathcal{F}\cup\mathcal{R}\) junto con los símbolos \[\forall\ \ \exists\ \ \lnot\ \ \vee\ \ \wedge\ \ \rightarrow\ \ \leftrightarrow\ \ (\ \ )\ \ ,\ \ \equiv\ \ \mathsf{X}\ \ \mathit{0}\ \ \mathit{1}\ \ ...\ \ \mathit{9}\ \ \mathbf{0}\ \ \mathbf{1}\ \ ...\ \ \mathbf{9}\] Nótese que entonces los conjuntos \(\mathcal{C},\text{ }\mathcal{F},\text{ }\mathcal{R}\text{ y }T^{\tau}\) son \(\Sigma_{\tau}\)-mixtos y también la función \(a:\mathcal{F}\cup\mathcal{R}\rightarrow\mathbf{N}\) es \(\Sigma_{\tau}\)-mixta.
Supongamos que los conjuntos \(\mathcal{C},\mathcal{F}\text{ y }\mathcal{R}\) son \(\Sigma_{\tau}\)-efectivamente computables y que la función \(a\) es \(\Sigma_{\tau}\)-efectivamente computable (esto sucede por ejemplo cuando los conjuntos \(\mathcal{C},\mathcal{F}\text{ y }\mathcal{R}\) son finitos). Entonces no es muy difícil convencerse que el conjunto \(T^{\tau}\) es también \(\Sigma_{\tau}\)-efectivamente computable, es decir hay un procedimiento efectivo que decide cuando una palabra de \(\Sigma_{\tau}^{*}\) es un término de tipo \(\tau\). Dejamos al lector que medite sobre esto (primero suponga que los conjuntos \(\mathcal{C}\text{ y }\mathcal{F}\) son finitos).
Sea \(\tau\) un tipo. Las palabras de alguna de las siguientes dos formas \[\begin{array}{l} (t\equiv s),\;\text{con }t,s\in T^{\tau}\\ r(t_{1},...,t_{n})\text{, con }r\in\mathcal{R}_{n}\text{,}\ n\geq1\text{ y }t_{1},...,t_{n}\in T^{\tau} \end{array}\] serán llamadas fórmulas atómicas de tipo \(\tau\). Nótese que arriba \(r(t_{1},...,t_{n})\) denota el resultado de concatenar las \(n+(n-1)+3\) siguientes palabras \[r\;\;\;(\;\;\;t_{1}\;\;\;,\;\;\;t_{2}\;\;\;,\;\;\;...\;\;\;,\;\;\;t_{n}\;\;\;)\] Por ejemplo si \(\tau=(\{\mathrm{uno},\mathrm{doli}\},\{\mathrm{MAS},\mathrm{P}\},\{\mathrm{Her}\},a)\), con \(a\) dado por \(a(\mathrm{MAS})=4\), \(a(\mathrm{P})=1\) y \(a(\mathrm{Her})=3\), entonces
adhocprefix-adhocsufix \((\mathrm{uno}\equiv\mathrm{doli})\)
adhocprefix-adhocsufix \((\mathsf{X}\mathit{15666}\mathbf{9}\equiv\mathrm{doli})\)
adhocprefix-adhocsufix \(\mathrm{Her}(\mathrm{uno},\mathsf{X}\mathbf{4},\mathrm{doli})\)
adhocprefix-adhocsufix \((\mathrm{MAS}(\mathrm{uno},\mathrm{doli},\mathsf{X}\mathit{1}\mathbf{9},\mathsf{X}\mathbf{5})\equiv\mathrm{uno})\)
adhocprefix-adhocsufix \(\mathrm{Her}(\mathrm{P}(\mathrm{P}(\mathrm{uno})),\mathrm{MAS}(\mathrm{P}(\mathsf{X}\mathbf{4}),\mathrm{doli},\mathsf{X}\mathit{1}\mathbf{9},\mathsf{X}\mathbf{5}),\mathsf{X}\mathit{1}\mathbf{9})\)
son fórmulas atómicas de tipo \(\tau\).
Dado un tipo \(\tau\), definamos recursivamente los conjuntos de palabras \(F_{k}^{\tau}\), con \(k\geq0\), de la siguiente manera: \[\begin{array}{ccl} F_{0}^{\tau} & = & \{\text{fórmulas atómicas de tipo }\tau\}\\ F_{k+1}^{\tau} & = & F_{k}^{\tau}\cup\{\lnot\varphi:\varphi\in F_{k}^{\tau}\}\cup\{(\varphi\vee\psi):\varphi,\psi\in F_{k}^{\tau}\}\cup\\ & & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \{(\varphi\wedge\psi):\varphi,\psi\in F_{k}^{\tau}\}\cup\{(\varphi\rightarrow\psi):\varphi,\psi\in F_{k}^{\tau}\}\cup\\ & & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \{(\varphi\leftrightarrow\psi):\varphi,\psi\in F_{k}^{\tau}\}\cup\{\forall v\varphi:\varphi\in F_{k}^{\tau}\text{ y }v\in Var\}\cup\\ & & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \{\exists v\varphi:\varphi\in F_{k}^{\tau}\text{ y }v\in Var\} \end{array}\] Nótese que arriba \((\varphi\wedge\psi)\) denota el resultado de concatenar las 5 siguientes palabras \[(\;\;\;\varphi\;\;\;\wedge\;\;\;\psi\;\;\;)\] Por dar otro ejemplo, \(\forall v\varphi\) denota el resultado de concatenar las 3 palabras siguientes \[\forall\;\;\;v\;\;\;\varphi\] Sea \[F^{\tau}=\bigcup_{k\geq0}F_{k}^{\tau}\] Los elementos de \(F^{\tau}\) serán llamados fórmulas de tipo \(\tau\). Es muy importante entender que una fórmula de tipo \(\tau\) como objeto matemático es una palabra. También debería quedar claro que el concepto de fórmula de tipo \(\tau\), a diferencia del concepto de fórmula elemental de tipo \(\tau\), es un concepto definido en forma matemática precisa.
Algunos ejemplos:
adhocprefix(E1)adhocsufix Sea \(\tau=(\{\mathrm{uno},\mathrm{doli}\},\{\mathrm{MAS},\mathrm{P}\},\{\mathrm{Her}\},a)\), con \(a\) dado por \(a(\mathrm{MAS})=4\), \(a(\mathrm{P})=1\) y \(a(\mathrm{Her})=3\). Entonces
adhocprefix-adhocsufix \(\lnot((\mathsf{X}\mathbf{1}\equiv\mathsf{X}\mathbf{2})\wedge\mathrm{Her}(\mathrm{P}(\mathrm{doli}),\mathrm{doli},\mathsf{X}\mathit{1}\mathbf{9}))\)
adhocprefix-adhocsufix \(\exists\mathsf{X}\mathbf{9}\mathrm{Her}(\mathrm{doli},\mathrm{doli},\mathsf{X}\mathbf{9})\)
adhocprefix-adhocsufix \(\exists\mathsf{X}\mathbf{9}\lnot(\mathrm{uno}\equiv\mathrm{doli})\)
adhocprefix-adhocsufix \(\lnot\exists\mathsf{X}\mathbf{9}\forall\mathsf{X}\mathbf{7(}\mathrm{Her}(\mathsf{X}\mathbf{9},\mathrm{doli},\mathsf{X}\mathbf{7})\rightarrow(\mathrm{P}(\mathrm{doli})\equiv\mathsf{X}\mathbf{7}))\)
adhocprefix-adhocsufix \((\forall\mathsf{X}\mathit{555}\mathbf{9}\forall\mathsf{X}\mathbf{7}\exists\mathsf{X}\mathit{5}\mathbf{1}(\mathrm{MAS}(\mathrm{uno},\mathrm{doli},\mathsf{X}\mathit{1}\mathbf{9},\mathsf{X}\mathbf{5})\equiv\mathrm{uno})\rightarrow\mathrm{Her}(\mathrm{doli},\mathrm{doli},\mathrm{doli}))\)
son fórmulas de tipo \(\tau\)
adhocprefix(E2)adhocsufix Sea \(\tau=(\{0,1\},\{\mathsf{s},\mathsf{i}\},\{\leq\},\{(\mathsf{s},2),(\mathsf{i},2),(\leq,2)\})\). Entonces
adhocprefix-adhocsufix \(\mathrm{\leq}(1,0)\)
adhocprefix-adhocsufix \(\mathrm{\leq}(\mathsf{X}\mathbf{1},\mathsf{X}\mathbf{2})\)
adhocprefix-adhocsufix \(\lnot(\mathsf{s}(\mathsf{X}\mathbf{2},\mathsf{X}\mathbf{1})\equiv\mathsf{X}\mathbf{2})\)
adhocprefix-adhocsufix \(\forall\mathsf{X}\mathbf{2}\forall\mathsf{X}\mathbf{1}\mathrm{\leq}(\mathsf{X}\mathbf{2},\mathsf{s}(\mathsf{X}\mathbf{2},\mathsf{X}\mathbf{1}))\)
adhocprefix-adhocsufix \(((\mathsf{i}(\mathsf{X}\mathbf{1},\mathsf{X}\mathbf{2})\equiv0)\wedge(\mathsf{s}(\mathsf{X}\mathbf{1},\mathsf{X}\mathbf{2})\equiv1))\)
adhocprefix-adhocsufix \(\forall\mathsf{X}\mathbf{9}\exists\mathsf{X}\mathbf{1}((0\equiv\mathsf{X}\mathbf{1})\rightarrow\exists\mathsf{X}\mathbf{1}\lnot\mathrm{\leq}(\mathsf{X}\mathbf{2},\mathsf{s}(\mathsf{X}\mathbf{2},\mathsf{X}\mathbf{1})))\)
son fórmulas de tipo \(\tau\). Cabe destacar que \((\mathsf{X}\mathbf{1}\leq\mathsf{X}\mathbf{2})\) no es una fórmula de tipo \(\tau\) aunque, como veremos en los ejercicios probar esto no es trivial de la definición de fórmula y requiere de una demostración.
Observación importante: Notar que las fórmulas de tipo \(\tau\) son un modelo matemático de las fórmulas elementales puras de tipo \(\tau\) , es decir aquellas en las cuales no ocurren nombres de elementos fijos. Medite...
El siguiente resultado es intuitivamente obvio por lo cual en general lo utilizaremos sin hacer mención explicita.
3.7. Sea \(\tau\) un tipo.
adhocprefix-adhocsufix Si \(\varphi_{1},\varphi_{2}\in F^{\tau}\) y \(\eta\in\{\wedge,\vee,\rightarrow,\leftrightarrow\}\), entonces \((\varphi_{1}\eta\varphi_{2})\in F^{\tau}\)
adhocprefix-adhocsufix Si \(\varphi\in F^{\tau}\), entonces \(\lnot\varphi\in F^{\tau}\)
adhocprefix-adhocsufix Si \(\varphi\in F^{\tau}\), \(Q\in\{\forall,\exists\}\) y \(v\in Var\), entonces \(Qv\varphi\in F^{\tau}\)
Proof. Veamos la primera propiedad. Es claro de la definición de los \(F_{k}^{\tau}\) que \(F_{i}^{\tau}\subseteq F_{j}^{\tau}\) siempre que \(i\leq j\). Supongamos \(\varphi_{1},\varphi_{2}\in F^{\tau}\) y \(\eta\in\{\wedge,\vee,\rightarrow,\leftrightarrow\}\). Por definición de \(F^{\tau}\) tenemos que hay números \(k_{1},k_{2}\) tales que \(\varphi_{i}\in F_{k_{i}}^{\tau}\), para \(i=1,2\). Es claro que entonces \(\varphi_{1},\varphi_{2}\in F_{K}^{\tau}\), donde \(K=\mathrm{max}\{k_{1},k_{2}\}\), lo cual nos dice que \((\varphi_{1}\eta\varphi_{2})\in F_{K+1}^{\tau}\subseteq F^{\tau}\).
Las pruebas de las otras propiedades son dejadas al lector.
El siguiente lema es útil para probar propiedades acerca de los elementos de \(F^{\tau}\).
3.8 (Menú para Fórmulas). Sea \(k\geq0\). Si \(\varphi\in F_{k+1}^{\tau}\), entonces se da alguna de las siguientes:
adhocprefix(a)adhocsufix \(\varphi=(t\equiv s),\) con \(t,s\in T^{\tau}\)
adhocprefix(b)adhocsufix \(\varphi=r(t_{1},...,t_{n}),\) con \(r\in\mathcal{R}_{n}\), \(n\geq1\), \(t_{1},...,t_{n}\in T^{\tau}\)
adhocprefix(c)adhocsufix \(\varphi=(\varphi_{1}\eta\varphi_{2}),\) con \(\eta\in\{\wedge,\vee,\rightarrow,\leftrightarrow\},\;\varphi_{1},\varphi_{2}\in F_{k}^{\tau}\)
adhocprefix(d)adhocsufix \(\varphi=\lnot\varphi_{1},\) con \(\varphi_{1}\in F_{k}^{\tau}\)
adhocprefix(e)adhocsufix \(\varphi=Qv\varphi_{1},\) con \(Q\in\{\forall,\exists\},\;v\in Var\) y \(\varphi_{1}\in F_{k}^{\tau}.\)
Proof. Lo probaremos usando la Regla de Inducción desde 0. Para cada \(k\in\omega\) sea \(\mathrm{Enu}_{k}\) el siguiente enunciado:
adhocprefix\(\mathrm{Enu}_{k}\):adhocsufix Si \(\varphi\in F_{k+1}^{\tau}\), entonces se da alguna de las siguientes:
adhocprefix(a)adhocsufix \(\varphi=(t\equiv s),\) con \(t,s\in T^{\tau}\)
adhocprefix(b)adhocsufix \(\varphi=r(t_{1},...,t_{n}),\) con \(r\in\mathcal{R}_{n}\), \(n\geq1\), \(t_{1},...,t_{n}\in T^{\tau}\)
adhocprefix(c)adhocsufix \(\varphi=(\varphi_{1}\eta\varphi_{2}),\) con \(\eta\in\{\wedge,\vee,\rightarrow,\leftrightarrow\},\;\varphi_{1},\varphi_{2}\in F_{k}^{\tau}\)
adhocprefix(d)adhocsufix \(\varphi=\lnot\varphi_{1},\) con \(\varphi_{1}\in F_{k}^{\tau}\)
adhocprefix(e)adhocsufix \(\varphi=Qv\varphi_{1},\) con \(Q\in\{\forall,\exists\},\;v\in Var\) y \(\varphi_{1}\in F_{k}^{\tau}.\)
Hagamos entonces lo que nos encomienda la Regla de Inducción desde \(0\).
Prueba de que \(\mathrm{Enu}_{0}\) es verdadero. Es directo de la definición de ya que por definición \(F_{1}^{\tau}\).
Prueba de que si \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero entonces \(\mathrm{Enu}_{k+1}\) lo es. Supongamos entonces que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\). Sea \(\varphi\in F_{(k+1)+1}^{\tau}\). Por definición de \(F_{(k+1)+1}^{\tau}\) tenemos varios casos:
Caso \(\varphi\in F_{k+1}^{\tau}\). Ya que \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero, tenemos que se da alguna de las siguientes
adhocprefix(a)adhocsufix \(\varphi=(t\equiv s),\) con \(t,s\in T^{\tau}\)
adhocprefix(b)adhocsufix \(\varphi=r(t_{1},...,t_{n}),\) con \(r\in\mathcal{R}_{n}\), \(n\geq1\), \(t_{1},...,t_{n}\in T^{\tau}\)
adhocprefix(c)adhocsufix \(\varphi=(\varphi_{1}\eta\varphi_{2}),\) con \(\eta\in\{\wedge,\vee,\rightarrow,\leftrightarrow\},\;\varphi_{1},\varphi_{2}\in F_{k}^{\tau}\)
adhocprefix(d)adhocsufix \(\varphi=\lnot\varphi_{1},\) con \(\varphi_{1}\in F_{k}^{\tau}\)
adhocprefix(e)adhocsufix \(\varphi=Qv\varphi_{1},\) con \(Q\in\{\forall,\exists\},\;v\in Var\) y \(\varphi_{1}\in F_{k}^{\tau}.\)
Ya que \(F_{k}^{\tau}\subseteq F_{k+1}^{\tau}\) tenemos que se da alguna de la siguientes
adhocprefix(a)adhocsufix \(\varphi=(t\equiv s),\) con \(t,s\in T^{\tau}\)
adhocprefix(b)adhocsufix \(\varphi=r(t_{1},...,t_{n}),\) con \(r\in\mathcal{R}_{n}\), \(n\geq1\), \(t_{1},...,t_{n}\in T^{\tau}\)
adhocprefix(c)adhocsufix \(\varphi=(\varphi_{1}\eta\varphi_{2}),\) con \(\eta\in\{\wedge,\vee,\rightarrow,\leftrightarrow\},\;\varphi_{1},\varphi_{2}\in F_{k+1}^{\tau}\)
adhocprefix(d)adhocsufix \(\varphi=\lnot\varphi_{1},\) con \(\varphi_{1}\in F_{k+1}^{\tau}\)
adhocprefix(e)adhocsufix \(\varphi=Qv\varphi_{1},\) con \(Q\in\{\forall,\exists\},\;v\in Var\) y \(\varphi_{1}\in F_{k+1}^{\tau}.\)
lo cual es justamente la conclusión de \(\mathrm{Enu}_{k+1}\).
Caso \(\varphi=(\varphi_{1}\eta\varphi_{2}),\) con \(\eta\in\{\wedge,\vee,\rightarrow,\leftrightarrow\},\;\varphi_{1},\varphi_{2}\in F_{k+1}^{\tau}\). Claramente en este caso se da la conclusión de \(\mathrm{Enu}_{k+1}\).
Caso \(\varphi=\lnot\varphi_{1},\) con \(\varphi_{1}\in F_{k+1}^{\tau}\). Claramente en este caso se da la conclusión de \(\mathrm{Enu}_{k+1}\).
Caso \(\varphi=Qv\varphi_{1},\) con \(Q\in\{\forall,\exists\},\;v\in Var\) y \(\varphi_{1}\in F_{k+1}^{\tau}.\) Claramente en este caso se da la conclusión de \(\mathrm{Enu}_{k+1}\).
Tal como para el caso de términos veremos que las fórmulas también tienen su unicidad de lectura. Definamos \[T=\{\lnot\}\cup\{Qv:Q\in\{\forall,\exists\}\text{ y }v\in Var\}\] \[T^{*}=\{\alpha_{1}...\alpha_{n}:\alpha_{1},...,\alpha_{n}\in T,\text{ }n\geq0\}\] (cuando \(n=0\), la concatenación \(\alpha_{1}...\alpha_{n}\) es igual a \(\varepsilon\)). Mas adelante nos hará falta el siguiente resultado básico.
3.9. Supongamos que \(y,xy\in T^{*}\). Entonces \(x\in T^{*}\).
3.10 (Tres Formatos). Sea \(\tau\) un tipo. Sea \(\varphi\in F^{\tau}\). Entonces \(\varphi\) es de alguna de las siguientes formas:
adhocprefix(1)adhocsufix \(\varphi=x(t\equiv s)\), con \(x\in T^{*}\) y \(t,s\in T^{\tau}\).
adhocprefix(2)adhocsufix \(\varphi=xr(t_{1},...,t_{n})\), con \(x\in T^{*}\), \(n\in\mathbf{N}\), \(r\in\mathcal{R}_{n}\) y \(t_{1},...,t_{n}\in T^{\tau}\).
adhocprefix(3)adhocsufix \(\varphi=x(\varphi_{1}\eta\varphi_{2})\), con \(x\in T^{*}\), \(\eta\in\{\wedge,\vee,\rightarrow,\leftrightarrow\}\) y \(\varphi_{1},\varphi_{2}\in F^{\tau}\).
En particular esto nos dice que toda fórmula termina con el símbolo \()\).
Proof. Lo probaremos usando la Regla de Inducción desde 0. Para cada \(k\in\omega\) sea \(\mathrm{Enu}_{k}\) el siguiente enunciado:
adhocprefix\(\mathrm{Enu}_{k}\):adhocsufix Sea \(\tau\) un tipo. Sea \(\varphi\in F_{k}^{\tau}\). Entonces \(\varphi\) es de alguna de las siguientes formas:
adhocprefix(1)adhocsufix \(\varphi=x(t\equiv s)\), con \(x\in T^{*}\) y \(t,s\in T^{\tau}\).
adhocprefix(2)adhocsufix \(\varphi=xr(t_{1},...,t_{n})\), con \(x\in T^{*}\), \(n\in\mathbf{N}\), \(r\in\mathcal{R}_{n}\) y \(t_{1},...,t_{n}\in T^{\tau}\).
adhocprefix(3)adhocsufix \(\varphi=x(\varphi_{1}\eta\varphi_{2})\), con \(x\in T^{*}\), \(\eta\in\{\wedge,\vee,\rightarrow,\leftrightarrow\}\) y \(\varphi_{1},\varphi_{2}\in F^{\tau}\).
Hagamos entonces lo que nos encomienda la Regla de Inducción desde \(0\).
Prueba de que \(\mathrm{Enu}_{0}\) es verdadero. Sea \(\varphi\in F_{0}^{\tau}\). Ya que \(\varphi\) es atómica, es trivial que se da (1) o (2), tomando \(x=\varepsilon\).
Prueba de que si \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero entonces \(\mathrm{Enu}_{k+1}\) lo es. Supongamos entonces que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\). Sea \(\varphi\in F_{k+1}^{\tau}\). Probaremos que se da (1) o (2) o (3) para \(\varphi\). Por definición de \(F_{k+1}^{\tau}\) tenemos varios casos:
Caso \(\varphi\in F_{k}^{\tau}\). Ya que \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero, tenemos que se da (1) o (2) o (3) para \(\varphi\).
Caso \(\varphi=(\varphi_{1}\eta\varphi_{2}),\) con \(\eta\in\{\wedge,\vee,\rightarrow,\leftrightarrow\}\text{ y }\varphi_{1},\varphi_{2}\in F_{k}^{\tau}\). Es claro que entonces se cumple (3) tomando \(x=\varepsilon\).
Caso \(\varphi=Qv\varphi_{1},\) con \(Q\in\{\forall,\exists\},\;v\in Var\) y \(\varphi_{1}\in F_{k}^{\tau}.\) Ya que \(\varphi_{1}\in F_{k}^{\tau}\) y vale \(\mathrm{Enu}_{k}\) tenemos que se da alguno de los siguientes casos:
adhocprefix(a)adhocsufix \(\varphi_{1}=x_{1}(t\equiv s)\), con \(x_{1}\in T^{*}\) y \(t,s\in T^{\tau}\).
adhocprefix(b)adhocsufix \(\varphi_{1}=x_{1}r(t_{1},...,t_{n})\), con \(x_{1}\in T^{*}\), \(n\in\mathbf{N}\), \(r\in\mathcal{R}_{n}\) y \(t_{1},...,t_{n}\in T^{\tau}\).
adhocprefix(c)adhocsufix \(\varphi_{1}=x_{1}(\psi_{1}\eta\psi_{2})\), con \(x_{1}\in T^{*}\), \(\eta\in\{\wedge,\vee,\rightarrow,\leftrightarrow\}\) y \(\psi_{1},\psi_{2}\in F^{\tau}\).
Supongamos que se da (b). Si tomamos \(x=Qvx_{1}\) entonces tenemos que \(x\in T^{*}\) y \(\varphi=xr(t_{1},...,t_{n})\) lo cual nos dice que se da (2) de \(\mathrm{Enu}_{k+1}\) para \(\varphi\). Análogamente si se da (a) o (b) es fácil ver que se da (1) o (3) de \(\mathrm{Enu}_{k+1}\) para \(\varphi\), respectivamente.
Caso \(\varphi=\lnot\varphi_{1}\), con \(\varphi_{1}\in F_{k}^{\tau}\). Similar al anterior.
Nótese que el lema anterior nos dice que toda fórmula \(\varphi\in F^{\tau}\) es de la forma \(x\varphi_{1}\), con \(x\in T^{*}\) y \(\varphi_{1}\in F^{\tau}\) ya sea atómica o de la forma \((\alpha_{1}\eta\alpha_{2})\). Además \(x\) y \(\varphi_{1}\) están unívocamente determinados por \(\varphi\), a saber \(x\) es el mayor tramo inicial de \(\varphi\) que pertenece a \(T^{*}\) o dicho de otra forma \(x\) es el mayor tramo inicial de \(\varphi\) que no tiene símbolos de \(\{(\}\cup\{[r]_{1}:r\in\mathcal{R}\}\); y \(\varphi_{1}\) es lo que resta de este tramo inicial hasta completar \(\varphi\).
3.11 (\(SPar\) en Formulas). Sea \(\varphi\in F^{\tau}\). Se tiene:
adhocprefix(1)adhocsufix \(SPar(\varphi)=0\).
adhocprefix(2)adhocsufix Si \(z\) es tramo inicial de \(\varphi\), entonces \(SPar(z)\geq0\)
adhocprefix(3)adhocsufix Si \(z\) es tramo final de \(\varphi\), entonces \(SPar(z)\leq0\)
adhocprefix(4)adhocsufix Si \(z\) es tramo inicial propio de \(\varphi\) y en \(z\) ocurre algún paréntesis, entonces \(SPar(z)>0\)
adhocprefix(5)adhocsufix Si \(z\) es tramo final de \(\varphi\), \(z\neq\varepsilon\) y \(SPar(z)=0\), entonces a la izquierda de \(z\) en \(\varphi\) no ocurren paréntesis.
Proof. Lo probaremos usando la Regla de Inducción desde 0. Para cada \(k\in\omega\) sea \(\mathrm{Enu}_{k}\) el siguiente enunciado:
adhocprefix\(\mathrm{Enu}_{k}\):adhocsufix Sea \(\varphi\in F_{k}^{\tau}\). Se tiene:
adhocprefix(1)adhocsufix \(SPar(\varphi)=0\).
adhocprefix(2)adhocsufix Si \(z\) es tramo inicial de \(\varphi\), entonces \(SPar(z)\geq0\)
adhocprefix(3)adhocsufix Si \(z\) es tramo final de \(\varphi\), entonces \(SPar(z)\leq0\)
adhocprefix(4)adhocsufix Si \(z\) es tramo inicial propio de \(\varphi\) y en \(z\) ocurre algún paréntesis, entonces \(SPar(z)>0\)
adhocprefix(5)adhocsufix Si \(z\) es tramo final de \(\varphi\), \(z\neq\varepsilon\) y \(SPar(z)=0\), entonces a la izquierda de \(z\) en \(\varphi\) no ocurren paréntesis.
Hagamos entonces lo que nos encomienda la Regla de Inducción desde \(0\).
Prueba de que \(\mathrm{Enu}_{0}\) es verdadero. Sea \(\varphi\in F_{0}^{\tau}\). Hay dos casos.
Caso \(\varphi=r(t_{1},...,t_{n})\), con \(n\in\mathbf{N}\), \(r\in\mathcal{R}_{n}\) y \(t_{1},...,t_{n}\in T^{\tau}\). Por el Lema \(SPar\) en Términos tenemos que se cumplen
adhocprefix(a)adhocsufix \(SPar(t_{i})=0\), para \(i=1,...,n\)
adhocprefix(b)adhocsufix Para \(i=1,...,n\), si \(z\) es tramo inicial de \(t_{i}\), entonces \(SPar(z)\geq0\)
adhocprefix(c)adhocsufix Para \(i=1,...,n\), si \(z\) es tramo final de \(t_{i}\), entonces \(SPar(z)\leq0\)
adhocprefix(d)adhocsufix Para \(i=1,...,n\), si \(z\) es tramo inicial propio de \(t_{i}\) y en \(z\) ocurre algún paréntesis, entonces \(SPar(z)>0\)
adhocprefix(e)adhocsufix Para \(i=1,...,n\), si \(z\) es tramo final de \(t_{i}\), \(z\neq\varepsilon\) y \(SPar(z)=0\), entonces a la izquierda de \(z\) en \(t_{i}\) no ocurren paréntesis.
Es fácil notar entonces que \(\varphi\) cumple (1). Veamos que \(\varphi\) cumple (4). Sea \(z\) un tramo inicial propio de \(\varphi\) y supongamos que en \(z\) ocurre algún paréntesis. Nótese que \(z\) es de la forma \(z=r(t_{1},...,t_{i},z_{1}\) con \(0\leq i\leq n-1\) y \(z_{1}\) un tramo inicial de \(t_{i+1}\) (en el caso \(i=0\) interpretamos \(t_{1},...,t_{i}=\varepsilon)\). Además nótese que: \[SPar(z)=1+\left(\sum_{j=1}^{i}SPar(t_{j})\right)+SPar(z_{1})\] Por (a) tenemos que \[\left(\sum_{j=1}^{i}SPar(t_{j})\right)=0\] Ya que \(z_{1}\) es un tramo inicial de \(t_{i+1}\), (b) nos dice que \[SPar(z_{1})\geq0\] O sea que \(SPar(z)>0\).
Veamos que \(\varphi\) cumple (5). Supongamos que \(z\) es tramo final de \(\varphi\), \(z\neq\varepsilon\) y \(SPar(z)=0\). Supongamos primero que \(\left|z\right|<\left|(t_{1},...,t_{n})\right|\). Ya que \(z\neq\varepsilon\), tenemos que \(z\) es de la forma \(z=z_{1},t_{i},...,t_{n})\) con \(1<i\leq n+1\) y \(z_{1}\) un tramo final de \(t_{i-1}\) (en el caso \(i=n+1\) interpretamos \(t_{i},...,t_{n}=\varepsilon)\). Además nótese que: \[SPar(z)=SPar(z_{1})+\left(\sum_{j=i}^{n}SPar(t_{j})\right)+1\] Por (a) tenemos que \[\left(\sum_{j=i}^{n}SPar(t_{j})\right)=0\] Ya que \(z_{1}\) es un tramo final de \(t_{i-1}\), (c) nos dice que \[SPar(z_{1})\leq0\] O sea que \(SPar(z)<0\), lo cual es absurdo. O sea que \(\left|z\right|\geq\left|(t_{1},...,t_{n})\right|\). Pero entonces es claro que a la izquierda de \(z\) en \(\varphi\) no ocurren paréntesis.
Las pruebas de que \(\varphi\) cumple las propiedades (2) y (3) son dejadas al lector.
Caso \(\varphi=(t\equiv s)\), con \(t,s\in T^{\tau}\). Es dejado al lector.
Prueba de que si \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero entonces \(\mathrm{Enu}_{k+1}\) lo es. Supongamos entonces que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\). Supongamos \(\varphi\in T_{k+1}^{\tau}\). Probaremos que \(\varphi\) cumple (1), (2), (3), (4) y (5). Por definición de \(F_{k+1}^{\tau}\) hay varios casos.
Caso \(\varphi\in F_{k}^{\tau}\). Entonces ya que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\) tenemos que \(\varphi\) cumple (1), (2), (3), (4) y (5).
Caso \(\varphi=(\varphi_{1}\eta\varphi_{2})\), con \(\eta\in\{\wedge,\vee,\rightarrow,\leftrightarrow\}\text{ y }\varphi_{1},\varphi_{2}\in F_{k}^{\tau}\). Ya que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\) tenemos que para \(i=1,2\) se dan:
adhocprefix(a)adhocsufix \(SPar(\varphi_{i})=0\), para \(i=1,2\)
adhocprefix(b)adhocsufix Para \(i=1,2\), si \(z\) es tramo inicial de \(\varphi_{i}\), entonces \(SPar(z)\geq0\)
adhocprefix(c)adhocsufix Para \(i=1,2\), si \(z\) es tramo final de \(\varphi_{i}\), entonces \(SPar(z)\leq0\)
adhocprefix(d)adhocsufix Para \(i=1,2\), si \(z\) es tramo inicial propio de \(\varphi_{i}\) y en \(z\) ocurre algún paréntesis, entonces \(SPar(z)>0\)
adhocprefix(e)adhocsufix Para \(i=1,2\), si \(z\) es tramo final de \(\varphi_{i}\), \(z\neq\varepsilon\) y \(SPar(z)=0\), entonces a la izquierda de \(z\) en \(\varphi_{i}\) no ocurren paréntesis.
Por (a) tenemos que \(\varphi\) cumple (1). Es claro también que (b) nos dice que vale (2) y (c) que vale (3). Veamos que \(\varphi\) cumple (4). Sea \(z\) un tramo inicial propio de \(\varphi\). Hay dos casos posibles, uno que \(z\) sea de la forma \((z_{1}\) con \(z_{1}\) un tramo inicial de \(\varphi_{1}\) y el otro que \(z\) sea de la forma \((\varphi_{1}\eta z_{1}\) con \(z_{1}\) un tramo inicial de \(\varphi_{2}\). En ambos casos usando (b) obtenemos que \(SPar(z)>0\). En forma similar usando \((c)\) se puede probar que si \(z\) es tramo final propio de \(\varphi\), entonces \(SPar(z)<0\). Esto claramente implica que \(\varphi\) cumple (5).
Caso \(\varphi=Qv\varphi_{1}\) con \(Q\in\{\forall,\exists\},\;v\in Var\) y \(\varphi_{1}\in F_{k}^{\tau}\). Ya que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\) tenemos que:
adhocprefix(a)adhocsufix \(SPar(\varphi_{1})=0\)
adhocprefix(b)adhocsufix Si \(z\) es tramo inicial de \(\varphi_{1}\), entonces \(SPar(z)\geq0\)
adhocprefix(c)adhocsufix Si \(z\) es tramo final de \(\varphi_{1}\), entonces \(SPar(z)\leq0\)
adhocprefix(d)adhocsufix Si \(z\) es tramo inicial propio de \(\varphi_{1}\) y en \(z\) ocurre algún paréntesis, entonces \(SPar(z)>0\)
adhocprefix(e)adhocsufix Si \(z\) es tramo final de \(\varphi_{1}\), \(z\neq\varepsilon\) y \(SPar(z)=0\), entonces a la izquierda de \(z\) en \(\varphi_{1}\) no ocurren paréntesis.
Es fácil usando las propiedades (a), (b), (c), (d) y (e) probar que \(\varphi\) cumple (1), (2), (3), (4) y (5).
3.12. Supongamos \(\varphi\) es una formula atómica o de la forma \((\alpha_{1}\eta\alpha_{2})\). Si \(\psi\in F^{\tau}\) es tramo final de \(\varphi\), entonces \(\varphi=\psi\).
Proof. Caso \(\varphi=(t\equiv s)\), con \(t,s\in T^{\tau}\). Supongamos \(\psi\) es tramo final de \(\varphi\). Por (1) del Lema \(SPar\) en Fórmulas tenemos que \(SPar(\psi)=0\). Pero entonces (5) del mismo lema nos dice \(\psi=\varphi\) ya que \(\varphi\) comienza con paréntesis.
Caso \(\varphi=(\varphi_{1}\eta\varphi_{2})\), con \(\eta\in\{\wedge,\vee,\rightarrow,\leftrightarrow\}\) y \(\varphi_{1},\varphi_{2}\in F^{\tau}\). Análogo al caso anterior.
Caso \(\varphi=r(t_{1},...,t_{n})\), con \(n\in\mathbf{N}\), \(r\in\mathcal{R}_{n}\) y \(t_{1},...,t_{n}\in T^{\tau}\). Supongamos \(\psi\) es tramo final de \(\varphi\). Por el Lema Tres Formatos tenemos que \(\psi=x\psi_{1}\), con \(x\in T^{*}\) y \(\psi_{1}\in F^{\tau}\) de la forma \((\beta_{1}\eta\beta_{2})\) o atómica. Ya que \(SPar(\psi)=0\) (5) del Lema \(SPar\) en Fórmulas nos dice que \(\psi=z(t_{1},...,t_{n})\) para algún tramo final \(z\) de \(r\). O sea que \(x\psi_{1}=z(t_{1},...,t_{n})\). Esto nos dice que \(x=\varepsilon\) ya que en \(z(t_{1},...,t_{n})\) no ocurren símbolos de \(\{\forall,\exists,\neg\}\). O sea que \(\psi_{1}=z(t_{1},...,t_{n})\). Ya que en \(z(t_{1},...,t_{n})\) no ocurren símbolos de \(\{\equiv,\wedge,\vee,\rightarrow,\leftrightarrow\}\) tenemos que \(\psi_{1}=\tilde{r}(s_{1},...,s_{m})\), con \(\tilde{r}\in\mathcal{R}_{m}\), \(m\geq1\) y \(s_{1},...,s_{m}\in T^{\tau}\). Tenemos entonces \(\tilde{r}(s_{1},...,s_{m})=z(t_{1},...,t_{n})\). Ya que ni \(z\) ni \(\tilde{r}\) tienen el símbolo \((\) deberá suceder que \(z=\tilde{r}\in\mathcal{R}\). O sea que \(z\in\mathcal{R}\) y además \(z\) es tramo final de \(r\) lo cual por la definición de tipo nos dice que \(z=r\). O sea que \(\psi=z(t_{1},...,t_{n})=r(t_{1},...,t_{n})=\varphi\).
3.1 (Mordisqueo de Fórmulas). Si \(\varphi,\psi\in F^{\tau}\) y \(x,y,z\) son tales que \(\varphi=xy\), \(\psi=yz\) y \(y\neq\varepsilon\), entonces \(z=\varepsilon\) y \(x\in T^{*}\). En particular ningún tramo inicial propio de una fórmula es una fórmula y ningún tramo final propio de una fórmula atómica es una fórmula.
Proof. Supongamos \(z\neq\varepsilon\). Ya que el último símbolo de \(y\) es \()\) y \(y\) es un tramo inicial propio de la fórmula \(\psi\), (4) del Lema \(SPar\) en Fórmulas nos dice que \(SPar(y)>0\). Pero \(y\) es tramo final de la fórmula \(\varphi\) por lo cual \(SPar(y)\leq0\) ((1) del mismo lema). El absurdo obtenido nos dice que \(z=\varepsilon\). O sea que \(\varphi=x\psi\). Probaremos que \(x\in T^{*}\). Por el Lema Tres Formatos tenemos que \(\varphi=x_{1}\varphi_{1}\), con \(x_{1}\in T^{*}\) y \(\varphi_{1}\in F^{\tau}\) de la forma \((\alpha_{1}\eta\alpha_{2})\) o atómica. Por el mismo lema tenemos que \(\psi=y_{1}\psi_{1}\), con \(y_{1}\in T^{*}\) y \(\psi_{1}\in F^{\tau}\) de la forma \((\beta_{1}\eta\beta_{2})\) o atómica. O sea que \(x_{1}\varphi_{1}=xy_{1}\psi_{1}\). Esto nos dice que \(\varphi_{1}\) es tramo final de \(\psi_{1}\) o \(\psi_{1}\) es ramo final de \(\varphi_{1}\). Entonces el lema anterior nos dice que \(\varphi_{1}=\psi_{1}\) por lo cual \(x_{1}=xy_{1}\). Finalmente el Lema 3.9 nos dice que \(x\in T^{*}\).
3.2 (Lectura Única de Fórmulas). Dada \(\varphi\in F^{\tau}\) se da una y solo una de las siguientes:
adhocprefix(1)adhocsufix \(\varphi=(t\equiv s),\) con \(t,s\in T^{\tau}\), únicos
adhocprefix(2)adhocsufix \(\varphi=r(t_{1},...,t_{n})\), con \(r\in\mathcal{R}_{n}\), \(t_{1},...,t_{n}\in T^{\tau}\), únicos
adhocprefix(3)adhocsufix \(\varphi=(\varphi_{1}\eta\varphi_{2})\), con \(\eta\in\{\wedge,\vee,\rightarrow,\leftrightarrow\},\;\varphi_{1},\varphi_{2}\in F^{\tau}\), únicos
adhocprefix(4)adhocsufix \(\varphi=\lnot\varphi_{1},\) con \(\varphi_{1}\in F^{\tau}\), única
adhocprefix(5)adhocsufix \(\varphi=Qv\varphi_{1},\) con \(Q\in\{\forall,\exists\},\;\varphi_{1}\in F^{\tau}\) y \(v\in Var\), únicos
Mas aun si \(\varphi\in F_{k+1}^{\tau}\) entonces cuando se da (3) las fórmulas \(\varphi_{1}\text{ y }\varphi_{2}\) están en \(F_{k}^{\tau}\) y cuando se da (4) o (5) la fórmula \(\varphi_{1}\) esta en \(F_{k}^{\tau}\)
Proof. Nótese que el Lema Menú para Fórmulas nos dice que se da alguna de las 5 propiedades, salvo por la unicidad. Si una fórmula \(\varphi\) satisface (1), entonces \(\varphi\) no puede contener símbolos del alfabeto \(\{\wedge,\vee,\rightarrow,\leftrightarrow\}\) lo cual garantiza que \(\varphi\) no puede satisfacer (3). Además \(\varphi\) no puede satisfacer (2) o (4) o (5) ya que \(\varphi\) comienza con \((\). En forma análoga se puede terminar de ver que las propiedades (1),...,(5) son excluyentes.
Veamos entonces la unicidad en los distintos ítems. La unicidad en (4) y (5) es obvia. La de (3) se desprende fácilmente del lema anterior y la de los puntos (1) y (2) del lema análogo para términos.
Dejamos al lector probar la última observación usando el Lema Menú para Fórmulas.
Una fórmula \(\varphi\) será llamada una subfórmula (propia) de una fórmula \(\psi\), cuando \(\varphi\) sea subpalabra de \(\psi\) (y no sea igual a \(\psi\)).
3.13 (Ocurrencias de Fórmulas en Fórmulas). Sea \(\tau\) un tipo y \(\varphi,\psi,\phi,\varphi_{1},\varphi_{2},\lambda\) fórmulas de tipo \(\tau.\)
adhocprefix(a)adhocsufix Las fórmulas atómicas no tienen subfórmulas propias.
adhocprefix(b)adhocsufix Si \(\varphi\neq(\psi\eta\phi)\) y \(\varphi\) ocurre en \((\psi\eta\phi)\) entonces tal ocurrencia sucede en \(\psi\) o en \(\phi\).
adhocprefix(c)adhocsufix Si \(\varphi\neq\lnot\psi\) y \(\varphi\) ocurre en \(\lnot\psi\) entonces tal ocurrencia sucede en \(\psi\).
adhocprefix(d)adhocsufix Si \(\varphi\neq Qv\psi\) y \(\varphi\) ocurre en \(Qv\psi\) entonces tal ocurrencia sucede en \(\psi\).
adhocprefix(e)adhocsufix Si \(\varphi_{1},\varphi_{2}\) ocurren en \(\varphi,\) entonces dichas ocurrencias son disjuntas o una contiene a la otra.
adhocprefix(f)adhocsufix Si \(\psi\) ocurre en \(\varphi\), entonces las distintas ocurrencias de \(\psi\) en \(\varphi\) son disjuntas.
adhocprefix(g)adhocsufix Si \(\lambda^{\prime}\) es el resultado de reemplazar alguna ocurrencia de \(\varphi_{1}\) en \(\lambda\) por \(\varphi_{2}\), entonces \(\lambda^{\prime}\in F^{\tau}\).
Proof. (a) Supongamos \(\psi\) es una subfórmula de una fórmula atómica de la forma \((t_{1}\equiv t_{2})\). Ya que en \((t_{1}\equiv t_{2})\) no ocurren símbolos de \(\{\wedge,\vee,\rightarrow,\leftrightarrow,\neg,\forall,\exists\}\) tenemos que \(\psi\) debe ser atómica. Ya que en \((t_{1}\equiv t_{2})\) no ocurren símbolos que ocurren en los nombres de relación, tenemos que \(\psi\) debe ser de la forma \((s_{1}\equiv s_{2})\). Ya que el símbolo \(\equiv\) ocurre solo una ves en \((t_{1}\equiv t_{2})\) tenemos que \(s_{1}\) debe ser tramo final de \(t_{1}\) y \(s_{2}\) debe ser tramo inicial de \(t_{2}\). Pero entonces el Lema de Mordisqueo de Términos nos dice que \(s_{1}\) debe ser igual a \(t_{1}\) y \(s_{2}\) debe igual a \(t_{2}\), lo cual nos dice que \(\psi=(t_{1}\equiv t_{2})\).
Supongamos \(\psi\) es una subfórmula de una fórmula atómica de la forma \(r(t_{1},...,t_{n})\). Ya que en \(r(t_{1},...,t_{n})\) no ocurren símbolos de \(\{\wedge,\vee,\rightarrow,\leftrightarrow,\neg,\forall,\exists\}\) tenemos que \(\psi\) debe ser atómica. Ya que en \(r(t_{1},...,t_{n})\) no ocurre el símbolo \(\equiv\) tenemos que \(\psi\) debe ser de la forma \(\tilde{r}(s_{1},...,s_{m})\). Pero los símbolos de \(\tilde{r}\) no ocurren en \((t_{1},...,t_{n})\) por lo cual debe suceder que \(\tilde{r}\) ocurra en \(r\). Esto claramente nos dice que \(\tilde{r}=r\) y que \((s_{1},...,s_{m})\) debe ser tramo inicial de \((t_{1},...,t_{n})\). Usando el Lema de Mordisqueo de Términos se puede ver fácilmente que entonces \((s_{1},...,s_{m})=(t_{1},...,t_{n})\), lo cual nos dice que \(\psi=r(t_{1},...,t_{n})\).
(b) Supongamos que \(\varphi\neq(\psi\eta\phi)\) y \(\varphi\) ocurre en \((\psi\eta\phi)\). Si la ocurrencia de \(\varphi\) comienza en \(\psi\) (resp. en \(\phi\)), entonces el Lema de Mordisqueo de Fórmulas nos dice que dicha ocurrencia debe estar contenida en \(\psi\) (resp. en \(\phi\)). Veamos que la ocurrencia de \(\varphi\) no puede comenzar en los otros tres lugares restantes (i. e. \(1,\text{ }\left|(\psi\eta\right|\text{ o }\left|(\psi\eta\phi)\right|\)). Si comienza a partir de \(1\), entonces \(\varphi\) es tramo inicial de \((\psi\eta\phi)\) lo cual por el Lema de Mordisqueo de Fórmulas nos dice que \(\varphi=(\psi\eta\phi)\), absurdo. Obviamente tampoco puede comenzar a partir de \(\left|(\psi\eta\right|\text{ o }\left|(\psi\eta\phi)\right|\) ya que entonces \(\varphi\) debería comenzar ya sea con \(\eta\text{ o })\).
(c) y (d) son similares a (b).
(e) Es consecuencia directa del Lema de Mordisqueo de Fórmulas.
(f) Es consecuencia directa de (e).
(g) Lo probaremos usando la Regla de Inducción desde 0. Para cada \(k\in\omega\) sea \(\mathrm{Enu}_{k}\) el siguiente enunciado:
adhocprefix\(\mathrm{Enu}_{k}\):adhocsufix Supongamos \(\lambda\in F_{k}^{\tau}\) y \(\varphi_{1},\varphi_{2}\in F^{\tau}\). Si \(\lambda^{\prime}\) es el resultado de reemplazar alguna ocurrencia de \(\varphi_{1}\) en \(\lambda\) por \(\varphi_{2}\), entonces \(\lambda^{\prime}\in F^{\tau}\).
Hagamos entonces lo que nos encomienda la Regla de Inducción desde \(0\).
Prueba de que \(\mathrm{Enu}_{0}\) es verdadero. Sea \(\lambda\in F_{0}^{\tau}\). Por (a) deberá suceder que \(\varphi_{1}=\lambda\). O sea que \(\lambda^{\prime}=\varphi_{2}\) por lo cual \(\lambda^{\prime}\in F^{\tau}\).
Prueba de que si \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero entonces \(\mathrm{Enu}_{k+1}\) lo es. Supongamos entonces que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\). Sea \(\lambda\in F_{k+1}^{\tau}\) y \(\varphi_{1},\varphi_{2}\in F^{\tau}\). Sea \(\lambda^{\prime}=\) resultado de reemplazar alguna ocurrencia de \(\varphi_{1}\) en \(\lambda\) por \(\varphi_{2}\). Probaremos que \(\lambda^{\prime}\in F^{\tau}\). Por definición de \(F_{k+1}^{\tau}\) tenemos varios casos:
Caso \(\lambda\in F_{k}^{\tau}\). Ya que \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero, tenemos que \(\lambda^{\prime}\in F^{\tau}\).
Caso \(\lambda=(\lambda_{1}\eta\lambda_{2})\), con \(\eta\in\{\wedge,\vee,\rightarrow,\leftrightarrow\},\;\lambda_{1},\lambda_{2}\in F_{k}^{\tau}\). Si \(\varphi_{1}=\lambda\) entonces \(\lambda^{\prime}=\varphi_{2}\) y por lo tanto \(\lambda^{\prime}\in F^{\tau}\). Supongamos entonces \(\varphi_{1}\neq\lambda\). Por (b) la ocurrencia de \(\varphi_{1}\) en \(\lambda\) que fue reemplazada por \(\varphi_{2}\) para obtener \(\lambda^{\prime}\) sucede ya sea en \(\lambda_{1}\) o en \(\lambda_{2}\). Supongamos ocurra en \(\lambda_{2}\) y sea \(\lambda_{2}^{\prime}=\) resultado de reemplazar dicha ocurrencia de \(\varphi_{1}\) en \(\lambda_{2}\) por \(\varphi_{2}\). Ya que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\) y \(\lambda_{2}\in F_{k}^{\tau}\) tenemos que \(\lambda_{2}^{\prime}\in F^{\tau}\). Ya que \(\lambda^{\prime}=(\lambda_{1}\eta\lambda_{2}^{\prime})\) obtenemos que \(\lambda^{\prime}\in F^{\tau}\).
La prueba de los otros casos es similar y dejada al lector.
Ahora veremos como son las ocurrencias de términos en fórmulas. Si \(t\) es un término y \(\varphi\) una fórmula, una ocurrencia de \(t\) en \(\varphi\) se llamara contigua cuando dicha ocurrencia no es a partir del primer símbolo de \(\varphi\) y además el símbolo anterior en \(\varphi\) a dicha ocurrencia es ya sea \(\forall\) o \(\exists\). Dicho de otra forma una ocurrencia de \(t\) en \(\varphi\) se llamara contigua cuando dicha ocurrencia este contenida en una ocurrencia de una palabra de la forma \(Qt\), con \(Q\in\{\forall,\exists\}\). Es claro que solamente cuando \(t\) es una variable puede suceder que alguna ocurrencia de \(t\) en \(\varphi\) sea contigua. Esto se deduce de los dos siguientes hechos, fáciles de probar.
adhocprefix-adhocsufix Si \(Q\in\{\forall,\exists\}\) ocurre desde \(i\) en \(\varphi\in F^{\tau}\) entonces \(\mathsf{X}\) ocurre desde \(i+1\) en \(\varphi\).
adhocprefix-adhocsufix Si \(t\in T^{\tau}\) comienza con \(\mathsf{X}\) entonces \(t\in Var\).
3.14 (Ocurrencias de Términos en Fórmulas). Sea \(\tau\) un tipo.
adhocprefix(a)adhocsufix Si \(t\) ocurre en \((t_{1}\equiv t_{2})\), entonces tal ocurrencia es en \(t_{1}\) o en \(t_{2}\)
adhocprefix(b)adhocsufix Si \(t\) ocurre en \(r(t_{1},...,t_{n})\), entonces dicha ocurrencia sucede dentro de algún \(t_{j}\), \(j=1,...,n\).
adhocprefix(c)adhocsufix Si \(t\) ocurre en \((\psi\eta\phi),\) entonces tal ocurrencia es en \(\psi\) o en \(\phi.\)
adhocprefix(d)adhocsufix Si \(t\) ocurre en \(\lnot\psi\), entonces tal ocurrencia es en \(\psi.\)
adhocprefix(e)adhocsufix Si \(t\) ocurre en \(Qx_{k}\psi,\) entonces tal ocurrencia es la primera de \(x_{k}\) o sucede dentro de \(\psi.\)
adhocprefix(f)adhocsufix Si \(t_{1},t_{2}\) ocurren en \(\varphi,\) entonces dichas ocurrencias son disjuntas o una contiene a la otra.
adhocprefix(g)adhocsufix Si \(t\) ocurre en \(\varphi,\) entonces las distintas ocurrencias de \(t\) en \(\varphi\) son disjuntas.
adhocprefix(h)adhocsufix Si \(\lambda^{\prime}\) es el resultado de reemplazar alguna ocurrencia no contigua de \(t_{1}\) en \(\lambda\) por \(t_{2}\), entonces \(\lambda^{\prime}\in F^{\tau}\).
Proof. (a) Ya que ningún término comienza con paréntesis o con el símbolo \(\equiv\) es claro que entonces la ocurrencia de \(t\) comienza en \(t_{1}\) o en \(t_{2}\). Pero entonces el Lema de Mordisqueo de Términos nos dice que la ocurrencia debe ser en \(t_{1}\) o en \(t_{2}\).
(b) Nótese que \(t\) no puede comenzar con un símbolo de \(r\) ya que \(r\in\mathcal{R}\). O sea que como tampoco puede comenzar con alguno de los tres símbolos \[(\:)\text{ ,}\] se tiene que la ocurrencia de \(t\) comienza en algún \(t_{j}\). Entonces el Lema de Mordisqueo de Términos nos conduce a que dicha ocurrencia deberá estar contenida en \(t_{j}\).
(c) Es claro que la ocurrencia de \(t\) comienza en \(\psi\) o en \(\phi\). Supongamos la ocurrencia de \(t\) comienza en \(\psi\). Ya que \(\eta\) no ocurre en \(t\) es claro entonces que dicha ocurrencia deberá estar contenida en \(\psi\). Supongamos la ocurrencia de \(t\) comienza en \(\phi\). Si \(t\) no termina con el símbolo \()\) entonces es claro que la ocurrencia de \(t\) está contenida en \(\phi\). Supongamos entonces \(t\) termina con el símbolo \()\) y la ocurrencia de \(t\) no está contenida en \(\phi\). Llegaremos a un absurdo. Nótese que \(t\) debe ser de la forma \(f(t_{1},...,t_{n})\) y además la palabra \(x=f(t_{1},...,t_{n}\) deberá ser tramo final de \(\phi\). Pero el Lema \(SPar\) en Términos nos dice que \(SPar(x)>0\) lo cual contradice al Lema \(SPar\) en Fórmulas que nos dice que \(SPar(x)\leq0\).
(d) Es trivial ya que ningún término comienza con el símbolo \(\lnot\)
(e) Es claro que la ocurrencia no puede ser a partir de \(1\) ya que ningún término comienza con \(\forall\) o \(\exists\). Si la ocurrencia de \(t\) comienza en \(x_{k}\) entonces por el Lema de Mordisqueo de Términos deberá pasar que \(t=x_{k}\) y la ocurrencia es justamente la de \(x_{k}\). Sólo queda entonces el caso en que la ocurrencia sucede dentro de \(\psi.\)
(f) Es consecuencia inmediata del Lema de Mordisqueo de Términos.
(g) Es consecuencia inmediata de (f).
(h) Lo probaremos usando la Regla de Inducción desde 0. Para cada \(k\in\omega\) sea \(\mathrm{Enu}_{k}\) el siguiente enunciado:
adhocprefix\(\mathrm{Enu}_{k}\):adhocsufix Supongamos \(\lambda\in F_{k}^{\tau}\) y \(t_{1},t_{2}\in T^{\tau}\). Si \(\lambda^{\prime}\) es el resultado de reemplazar alguna ocurrencia no contigua de \(t_{1}\) en \(\lambda\) por \(t_{2}\), entonces \(\lambda^{\prime}\in F^{\tau}\).
Hagamos entonces lo que nos encomienda la Regla de Inducción desde \(0\).
Prueba de que \(\mathrm{Enu}_{0}\) es verdadero. Sea \(\lambda\in F_{0}^{\tau}\). Hay dos casos.
Caso \(\lambda=(s_{1}\equiv s_{2})\). Por (a) la ocurrencia no contigua de \(t_{1}\) en \(\lambda\) deberá suceder dentro de \(s_{1}\) o dentro de \(s_{2}\). Supongamos sucede dentro de \(s_{2}\). Sea \(s_{2}^{\prime}\) el resultado de reemplazar dicha ocurrencia de \(t_{1}\) en \(s_{2}\) por \(t_{2}\). Notar que \(\lambda^{\prime}=(s_{1}\equiv s_{2}^{\prime})\). Por el Lema de Ocurrencias de Términos en Términos se tiene que \(s_{2}^{\prime}\in T^{\tau}\), por lo cual obtenemos que \(\lambda^{\prime}\in F^{\tau}\). El caso en que la ocurrencia no contigua de \(t_{1}\) sucede en \(s_{1}\) es análogo.
Dejamos al lector hacer el caso \(\lambda=r(t_{1},...,t_{n})\) por ser muy similar.
Prueba de que si \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero entonces \(\mathrm{Enu}_{k+1}\) lo es. Supongamos entonces que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\). Sea \(\lambda\in F_{k+1}^{\tau}\) y \(t_{1},t_{2}\in T^{\tau}\). Sea \(\lambda^{\prime}=\) resultado de reemplazar alguna ocurrencia no contigua de \(t_{1}\) en \(\lambda\) por \(t_{2}\). Probaremos que \(\lambda^{\prime}\in F^{\tau}\). Por definición de \(F_{k+1}^{\tau}\) tenemos varios casos:
Caso \(\lambda\in F_{k}^{\tau}\). Ya que \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero, tenemos que \(\lambda^{\prime}\in F^{\tau}\).
Caso \(\lambda=(\lambda_{1}\eta\lambda_{2})\), con \(\eta\in\{\wedge,\vee,\rightarrow,\leftrightarrow\},\;\lambda_{1},\lambda_{2}\in F_{k}^{\tau}\). Por (c) la ocurrencia no contigua de \(t_{1}\) en \(\lambda\) sucede en \(\lambda_{1}\) o en \(\lambda_{2}\). Supongamos sucede en \(\lambda_{2}\). Nótese que dicha ocurrencia también es no contigua en \(\lambda_{2}\). Sea \(\lambda_{2}^{\prime}=\) resultado de reemplazar dicha ocurrencia no contigua de \(t_{1}\) en \(\lambda_{2}\) por \(t_{2}\). Ya que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\) y \(\lambda_{2}\in F_{k}^{\tau}\) tenemos que \(\lambda_{2}^{\prime}\in F^{\tau}\). Pero \(\lambda^{\prime}=(\lambda_{1}\eta\lambda_{2}^{\prime})\) por lo cual \(\lambda^{\prime}\in F^{\tau}\). Si la ocurrencia no contigua de \(t_{1}\) en \(\lambda\) sucede en \(\lambda_{1}\) la prueba es similar.
Caso \(\lambda=Qx_{j}\lambda_{1}\) con \(Q\in\{\forall,\exists\},\;\lambda_{1}\in F_{k}^{\tau}\) y \(j\in\mathbf{N}\). Ya que la ocurrencia de \(t_{1}\) en \(\lambda\) es no contigua, (e) nos dice que debe suceder dentro de \(\lambda_{1}\). Además dicha ocurrencia de \(t_{1}\) en \(\lambda_{1}\) también es no contigua. Sea \(\lambda_{1}^{\prime}=\) resultado de reemplazar dicha ocurrencia no contigua de \(t_{1}\) en \(\lambda_{1}\) por \(t_{2}\). Ya que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\) y \(\lambda_{1}\in F_{k}^{\tau}\) tenemos que \(\lambda_{1}^{\prime}\in F^{\tau}\). Pero \(\lambda^{\prime}=Qx_{j}\lambda_{1}^{\prime}\) por lo cual \(\lambda^{\prime}\in F^{\tau}\). Si la ocurrencia no contigua de \(t_{1}\) en \(\lambda\) sucede en \(\lambda_{1}\) la prueba es similar.
Caso \(\lambda=\lnot\lambda_{1}\), con \(\lambda_{1}\in F_{k}^{\tau}\). Es dejado al lector.
Dado un tipo \(\tau\), sea \(\Sigma_{\tau}\) el alfabeto finito formado por todos los símbolos que ocurren en alguna palabra de \(\mathcal{C}\cup\mathcal{F}\cup\mathcal{R}\) junto con los símbolos \[\forall\ \ \exists\ \ \lnot\ \ \vee\ \ \wedge\ \ \rightarrow\ \ \leftrightarrow\ \ (\ \ )\ \ ,\ \ \equiv\ \ \mathsf{X}\ \ \mathit{0}\ \ \mathit{1}\ \ ...\ \ \mathit{9}\ \ \mathbf{0}\ \ \mathbf{1}\ \ ...\ \ \mathbf{9}\] Nótese que entonces los conjuntos \(\mathcal{C},\text{ }\mathcal{F},\text{ }\mathcal{R},\text{ }T^{\tau}\text{ y }F^{\tau}\) son \(\Sigma_{\tau}\)-mixtos y también la función \(a:\mathcal{F}\cup\mathcal{R}\rightarrow\mathbf{N}\) es \(\Sigma_{\tau}\)-mixta.
Supongamos que los conjuntos \(\mathcal{C},\mathcal{F}\text{ y }\mathcal{R}\) son \(\Sigma_{\tau}\)-efectivamente computables y que la función \(a\) es \(\Sigma_{\tau}\)-efectivamente computable (esto sucede por ejemplo cuando los conjuntos \(\mathcal{C},\mathcal{F}\text{ y }\mathcal{R}\) son finitos). Ya observamos antes que \(T^{\tau}\) es entonces \(\Sigma_{\tau}\)-efectivamente computable. Basándose en esto no es muy difícil convencerse que el conjunto \(F^{\tau}\) es también \(\Sigma_{\tau}\)-efectivamente computable. Dejamos al lector que medite sobre esto (primero suponga que los conjuntos \(\mathcal{C}\text{ y }\mathcal{F}\) son finitos).
Recordemos que dadas palabras \(\alpha,\beta\in\Sigma^{\ast}\), con \(\left\vert \alpha\right\vert ,\left\vert \beta\right\vert \geq1\), y un natural \(i\in\{1,...,\left\vert \beta\right\vert \}\), se dice que \(\alpha\) ocurre a partir de \(i\) en \(\beta\) cuando se dé que existan palabras \(\delta,\gamma\) tales que \(\beta=\delta\alpha\gamma\) y \(\left\vert \delta\right\vert =i-1\). Intuitivamente hablando \(\alpha\) ocurre a partir de \(i\) en \(\beta\) cuando se dé que si comenzamos a leer desde el lugar \(i\)-ésimo de \(\beta\), en adelante, entonces leeremos la palabra \(\alpha\) completa y luego posiblemente seguirán otros símbolos.
Definamos recursivamente la relación \("v\mathit{\ ocurre\ libremente\ en\ }\varphi\mathit{\ a\ partir\ de\ }i"\), donde \(v\in Var\), \(\varphi\in F^{\tau}\) y \(i\in\{1,...,\left\vert \varphi\right\vert \}\), de la siguiente manera:
adhocprefix(1)adhocsufix Si \(\varphi\) es atómica, entonces \(v\) ocurre libremente en \(\varphi\) a partir de \(i\) sii \(v\) ocurre en \(\varphi\) a partir de \(i\)
adhocprefix(2)adhocsufix Si \(\varphi=(\varphi_{1}\eta\varphi_{2})\), entonces \(v\) ocurre libremente en \(\varphi\) a partir de \(i\) sii se da alguna de las siguientes
adhocprefix(a)adhocsufix \(v\) ocurre libremente en \(\varphi_{1}\) a partir de \(i-1\)
adhocprefix(b)adhocsufix \(v\) ocurre libremente en \(\varphi_{2}\) a partir de \(i-\left\vert (\varphi_{1}\eta\right\vert\)
adhocprefix(3)adhocsufix Si \(\varphi=\lnot\varphi_{1}\), entonces \(v\) ocurre libremente en \(\varphi\) a partir de \(i\) sii \(v\) ocurre libremente en \(\varphi_{1}\) a partir de \(i-1\)
adhocprefix(4)adhocsufix Si \(\varphi=Qw\varphi_{1}\), entonces \(v\) ocurre libremente en \(\varphi\) a partir de \(i\) sii \(v\neq w\) y \(v\) ocurre libremente en \(\varphi_{1}\) a partir de \(i-\left\vert Qw\right\vert\)
Dados \(v\in Var\), \(\varphi\in F^{\tau}\) y \(i\in\{1,...,\left\vert \varphi\right\vert \}\), diremos que \("v\) ocurre acotadamente en \(\varphi\) a partir de \(i"\) cuando \(v\) ocurre en \(\varphi\) a partir de \(i\) y \(v\) no ocurre libremente en \(\varphi\) a partir de \(i\).
Veamos algunos ejemplos. Sea \(\tau=(\{\mathrm{uno},\mathrm{doli}\},\{\mathrm{MAS},\mathrm{P}\},\{\mathrm{Her}\},a)\), con \(a\) dado por \(a(\mathrm{MAS})=4\), \(a(\mathrm{P})=1\) y \(a(\mathrm{Her})=3\). Entonces:
adhocprefix-adhocsufix \(\mathsf{X}\mathbf{9}\) ocurre libremente en \(\mathrm{Her}(\mathrm{doli},\mathrm{doli},\mathsf{X}\mathbf{9})\) a partir de \(15\)
adhocprefix-adhocsufix \(\mathsf{X}\mathbf{9}\) ocurre acotadamente en \(\exists\mathsf{X}\mathbf{9}\mathrm{Her}(\mathrm{doli},\mathrm{doli},\mathsf{X}\mathbf{9})\) a partir de \(2\) y de \(18\)
adhocprefix-adhocsufix \(\mathsf{X}\mathbf{2}\) ocurre libremente en \((\exists\mathsf{X}\mathbf{2}\mathrm{Her}(\mathsf{X}\mathbf{2},\mathsf{X}\mathbf{7},\mathrm{uno})\rightarrow\mathrm{Her}(\mathsf{X}\mathbf{2},\mathsf{X}\mathbf{7},\mathrm{uno}))\) a partir de \(16\) y acotadamente a partir de \(3\) y \(7\).
adhocprefix-adhocsufix Sea \(\varphi=((\mathsf{X}\mathbf{1}\equiv\mathsf{X}\mathbf{2})\wedge\exists\mathsf{X}\mathbf{2}\mathrm{Her}(\mathrm{P}(\mathrm{doli}),\mathrm{doli},\mathsf{X}\mathbf{2}))\). La variable \(\mathsf{X}\mathbf{2}\) ocurre libremente en \(\varphi\) a partir de \(6\) y ocurre acotadamente en \(\varphi\) a partir de \(11\) y de \(30\).
Dada una fórmula \(\varphi\), sea \[Li(\varphi)=\{v\in Var:\text{hay un }i\text{ tal que }v\text{ ocurre libremente en }\varphi\text{ a partir de }i\}\text{.}\] Los elementos de \(Li(\varphi)\) serán llamados variables libres de \(\varphi\). Por ejemplo, si \(\varphi\) es la fórmula \[(\exists\mathsf{X}\mathbf{7}(\mathsf{X}\mathbf{7}\equiv\mathsf{X}\mathbf{6})\rightarrow((\mathsf{X}\mathbf{1}\equiv\mathsf{X}\mathbf{2})\wedge\exists\mathsf{X}\mathbf{2}\mathrm{Her}(\mathrm{doli},\mathrm{doli},\mathsf{X}\mathbf{2})))\] tenemos que \(Li(\varphi)=\{\mathsf{X}\mathbf{1},\mathsf{X}\mathbf{2},\mathsf{X}\mathbf{6}\}\) (justifique). También si \[\varphi=(\exists\mathsf{X}\mathbf{2}\mathrm{Her}(\mathsf{X}\mathbf{2},\mathsf{X}\mathbf{7},\mathrm{uno})\rightarrow\mathrm{Her}(\mathsf{X}\mathbf{2},\mathsf{X}\mathbf{7},\mathrm{uno}))\] entonces \(Li(\varphi)=\{\mathsf{X}\mathbf{2},\mathsf{X}\mathbf{7}\}\).
Una sentencia será una fórmula \(\varphi\) tal que \(Li(\varphi)=\emptyset\). Usaremos \(S^{\tau}\) para denotar el conjunto de las sentencias de tipo \(\tau\).
3.15. Se tiene que:
adhocprefix(a)adhocsufix \(Li((t\equiv s))=\{v\in Var:v\) ocurre en \(t\) o \(v\) ocurre en \(s\}.\)
adhocprefix(b)adhocsufix \(Li(r(t_{1},...,t_{n}))=\{v\in Var:v\) ocurre en algún \(t_{i}\}.\)
adhocprefix(c)adhocsufix \(Li(\lnot\varphi)=Li(\varphi)\).
adhocprefix(d)adhocsufix \(Li((\varphi\eta\psi))=Li(\varphi)\cup Li(\psi).\)
adhocprefix(e)adhocsufix \(Li(Qx_{j}\varphi)=Li(\varphi)-\{x_{j}\}.\)
Proof. (a) y (b) son triviales de las definiciones y dejadas al lector
(d) Supongamos \(v\in Li((\varphi\eta\psi))\), entonces hay un \(i\) tal que \(v\) ocurre libremente en \((\varphi\eta\psi)\) a partir de \(i\). Por definición tenemos que ya sea \(v\) ocurre libremente en \(\varphi\) a partir de \(i-1\) o \(v\) ocurre libremente en \(\psi\) a partir de \(i-\left\vert (\varphi\eta\right\vert\), con lo cual \(v\in Li(\varphi)\cup Li(\psi)\)
Supongamos ahora que \(v\in Li(\varphi)\cup Li(\psi)\). S.p.d.g. supongamos \(v\in Li(\psi)\). Por definición tenemos que hay un \(i\) tal que \(v\) ocurre libremente en \(\psi\) a partir de \(i\). Pero nótese que esto nos dice por definición que \(v\) ocurre libremente en \((\varphi\eta\psi)\) a partir de \(i+\left\vert (\varphi\eta\right\vert\) con lo cual \(v\in Li((\varphi\eta\psi))\).
(c) es similar a (d)
(e) Supongamos \(v\in Li(Qx_{j}\varphi)\), entonces hay un \(i\) tal que \(v\) ocurre libremente en \(Qx_{j}\varphi\) a partir de \(i\). Por definición tenemos que \(v\neq x_{j}\) y \(v\) ocurre libremente en \(\varphi\) a partir de \(i-\left\vert Qx_{j}\right\vert\), con lo cual \(v\in Li(\varphi)-\{x_{j}\}\)
Supongamos ahora que \(v\in Li(\varphi)-\{x_{j}\}\). Por definición tenemos que hay un \(i\) tal que \(v\) ocurre libremente en \(\varphi\) a partir de \(i\). Ya que \(v\neq x_{j}\) esto nos dice por definición que \(v\) ocurre libremente en \(Qx_{j}\varphi\) a partir de \(i+\left\vert Qx_{j}\right\vert\), con lo cual \(v\in Li(Qx_{j}\varphi)\).
Si \(\tau=(\mathcal{C},\mathcal{F},\mathcal{R},a)\) es un tipo, diremos que un tipo \(\tau^{\prime}\) es una extensión de \(\tau\) por nombres de constante si \(\tau^{\prime}\) es de la forma \((\mathcal{C}^{\prime},\mathcal{F},\mathcal{R},a)\) con \(\mathcal{C}^{\prime}\) tal que \(\mathcal{C}\subseteq\mathcal{C}^{\prime}\).
Hemos definido las fórmulas de tipo \(\tau\) con la intención de dar un modelo matemático del concepto de fórmula elemental de tipo \(\tau\) pero deberíamos notar que en las fórmulas de tipo \(\tau\) no hay nombres de elementos fijos por lo cual dichas fórmulas son un modelo matemático solo de ciertas fórmulas elementales de tipo \(\tau\), a saber aquellas en las cuales no hay nombres de elementos fijos (llamadas puras). Recordemos que estos nombres se usaban en las pruebas elementales para denotar elementos fijos (a veces arbitrarios y otras veces que cumplían alguna propiedad).
Cuando un matemático realiza una prueba elemental en una teoría elemental \((\Sigma,\tau)\) comienza la misma imaginando una estructura de tipo \(\tau\) de la cual lo único que sabe es que cumple las sentencias de \(\Sigma\). Luego cuando fija un elemento y le pone nombre, digamos \(b\), podemos pensar que expandió su estructura imaginaria a una de tipo \((\mathcal{C}\cup\{b\},\mathcal{F},\mathcal{R},a)\) y continua su razonamiento. Esto lo puede hacer muchas veces a lo largo de una prueba por lo cual su estructura imaginaria va cambiando de tipo. Esta mecánica de prueba del matemático nos deja ver que es natural modelizar las fórmulas elementales de tipo \(\tau\) con fórmulas de tipo \(\tau_{1}\), donde \(\tau_{1}\) es alguna extensión de \(\tau\) por nombres de constante.
En esta sección daremos una definición matemática que modeliza la idea intuitiva de cuando una fórmula de tipo \(\tau\) es verdadera en una estructura dada para una asignación de elementos a las variables libres de dicha fórmula. Esto corresponde al punto (2) del Programa de Lógica Matemática.
Sea \(\mathbf{A}=(A,i)\) una estructura de tipo \(\tau\). Una asignación de \(\mathbf{A}\) será un elemento de \(A^{\mathbf{N}}=\{\)infinituplas de elementos de \(A\}\). Si \(\vec{a}=(a_{1},a_{2},...)\) es una asignación, entonces diremos que \(a_{j}\) es el valor que \(\vec{a}\) le asigna a la variable \(x_{j}\).
Dada una estructura \(\mathbf{A}\) de tipo \(\tau\), un término \(t\in T^{\tau}\) y una asignación \(\vec{a}=(a_{1},a_{2},...)\in A^{\mathbf{N}}\) definamos recursivamente \(t^{\mathbf{A}}[\vec{a}]\) de la siguiente manera
adhocprefix(1)adhocsufix Si \(t=x_{i}\in Var\), entonces \(t^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=a_{i}\)
adhocprefix(2)adhocsufix Si \(t=c\in\mathcal{C}\), entonces \(t^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=i(c)\)
adhocprefix(3)adhocsufix Si \(t=f(t_{1},...,t_{n})\), con \(f\in\mathcal{F}_{n},\;n\geq1\) y \(t_{1},...,t_{n}\in T^{\tau}\), entonces \(t^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=i(f)(t_{1}^{\mathbf{A}}[\vec{a}],...,t_{n}^{\mathbf{A}}[\vec{a}])\)
El elemento \(t^{\mathbf{A}}[\vec{a}]\) será llamado el valor de \(t\) en la estructura \(\mathbf{A}\) para la asignación \(\vec{a}\).
Veamos un ejemplo. Sea \(\tau\) el tipo \[(\{\mathrm{uno},\mathrm{doli}\},\{\mathrm{MAS},\mathrm{P}\},\{\mathrm{Her}\},\{(\mathrm{MAS},4),(\mathrm{P},1),(\mathrm{Her},3)\})\] y sea \(\mathbf{A}=(A,i)\) la estructura de tipo \(\tau\) con universo \(A=\mathbf{R}\) y
adhocprefix-adhocsufix \(i(\mathrm{uno})=9\)
adhocprefix-adhocsufix \(i(\mathrm{doli})=0\)
adhocprefix-adhocsufix \(i(\mathrm{MAS})\) igual a la operación \[\begin{array}{rcl} \mathbf{R}^{4} & \rightarrow & \mathbf{R}\\ (x,y,z,w) & \rightarrow & 2x+4y \end{array}\]
adhocprefix-adhocsufix \(i(\mathrm{P})\) igual a la operación \[\begin{array}{rcl} \mathbf{R} & \rightarrow & \mathbf{R}\\ x & \rightarrow & 5^{x} \end{array}\]
adhocprefix-adhocsufix \(i(\mathrm{Her})=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^{3}:x.y.z=9\}\)
Sea \(\vec{a}=(1,2,3,4,5,...)\). Claramente \(\vec{a}\) es una asignación de \(\mathbf{A}\). Se tiene que:
adhocprefix-adhocsufix Si \(t=\mathsf{X}\mathit{55}\mathbf{4}\), entonces \(t^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=\mathsf{X}\mathit{55}\mathbf{4}^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=554\) (por (1) de la definición recursiva de \(t^{\mathbf{A}}[\vec{a}]\))
adhocprefix-adhocsufix Si \(t=\mathrm{uno}\), entonces \(t^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=\mathrm{uno}^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=9\) (por (2) de la definición recursiva de \(t^{\mathbf{A}}[\vec{a}]\))
adhocprefix-adhocsufix Si \(t=\mathrm{P}(\mathsf{X}\mathbf{3})\), entonces \[\begin{aligned} t^{\mathbf{A}}[\vec{a}] & =\mathrm{P}(\mathsf{X}\mathbf{3})^{\mathbf{A}}[\vec{a}]\\ & =i(\mathrm{P})(\mathsf{X}\mathbf{3}^{\mathbf{A}}[\vec{a}])\text{ (por (3) de la definicion de }t^{\mathbf{A}}[\vec{a}]\text{)}\\ & =i(\mathrm{P})(3)\\ & =5^{3}=125 \end{aligned}\]
adhocprefix-adhocsufix Si \(t=\mathrm{MAS}(\mathsf{X}\mathbf{1},\mathrm{uno},\mathsf{X}\mathbf{3},\mathsf{X}\mathit{55}\mathbf{4})\), entonces \[\begin{aligned} t^{\mathbf{A}}[\vec{a}] & =\mathrm{MAS}(\mathsf{X}\mathbf{1},\mathrm{uno},\mathsf{X}\mathbf{3},\mathsf{X}\mathit{55}\mathbf{4})^{\mathbf{A}}[\vec{a}]\\ & =i(\mathrm{MAS})(\mathsf{X}\mathbf{1}^{\mathbf{A}}[\vec{a}],\mathrm{uno}^{\mathbf{A}}[\vec{a}],\mathsf{X}\mathbf{3}^{\mathbf{A}}[\vec{a}],\mathsf{X}\mathit{55}\mathbf{4}^{\mathbf{A}}[\vec{a}])\\ & =i(\mathrm{MAS})(1,9,3,554)\\ & =2.1+4.9=38. \end{aligned}\]
3.16. Sea \(\mathbf{A}\) una estructura de tipo \(\tau\) y sea \(t\in T^{\tau}\). Supongamos que \(\vec{a},\vec{b}\) son asignaciones tales que \(a_{i}=b_{i},\) cada vez que \(x_{i}\) ocurra en \(t\). Entonces \(t^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=t^{\mathbf{A}}[\vec{b}]\).
Proof. Usaremos la Regla de Inducción desde 0. Para cada \(k\in\omega\) sea \(\mathrm{Enu}_{k}\) el siguiente enunciado:
adhocprefix\(\mathrm{Enu}_{k}\):adhocsufix Sea \(\mathbf{A}\) una estructura de tipo \(\tau\) y sea \(t\in T_{k}^{\tau}\). Supongamos que \(\vec{a},\vec{b}\) son asignaciones tales que \(a_{i}=b_{i},\) cada vez que \(x_{i}\) ocurra en \(t\). Entonces \(t^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=t^{\mathbf{A}}[\vec{b}]\).
Hagamos entonces lo que nos encomienda la Regla de Inducción desde \(0\).
Prueba de que \(\mathrm{Enu}_{0}\) es verdadero. Fácil y dejado al lector.
Prueba de que si \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero entonces \(\mathrm{Enu}_{k+1}\) lo es. Supongamos entonces que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\). Sea \(\mathbf{A}\) una estructura de tipo \(\tau\), sea \(t\in T_{k+1}^{\tau}\) y supongamos que \(\vec{a},\vec{b}\) son asignaciones tales que \(a_{i}=b_{i},\) cada vez que \(x_{i}\) ocurra en \(t\). Por definición de \(T_{k+1}^{\tau}\), hay dos casos.
Caso \(t\in T_{k}^{\tau}\). Ya que es verdadero \(\mathrm{Enu}_{k}\), es claro que se cumple la conclusión de \(\mathrm{Enu}_{k+1}\).
Caso \(t=f(t_{1},...,t_{n})\), con \(f\in\mathcal{F}_{n}\), \(n\geq1\) y \(t_{1},...,t_{n}\in T_{k}^{\tau}\). Nótese que para cada \(j=1,...,n\), tenemos que \(a_{i}=b_{i},\) cada vez que \(x_{i}\) ocurra en \(t_{j}\), lo cual ya que \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero, nos dice que \[t_{j}^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=t_{j}^{\mathbf{A}}[\vec{b}]\text{, }j=1,...,n\] Se tiene entonces que \[\begin{array}{ccl} t^{\mathbf{A}}[\vec{a}] & = & i(f)(t_{1}^{\mathbf{A}}[\vec{a}],...,t_{n}^{\mathbf{A}}[\vec{a}])\text{ (por def de }t^{\mathbf{A}}[\vec{a}]\text{)}\\ & = & i(f)(t_{1}^{\mathbf{A}}[\vec{b}],...,t_{n}^{\mathbf{A}}[\vec{b}])\\ & = & t^{\mathbf{A}}[\vec{b}]\text{ (por def de }t^{\mathbf{A}}[\vec{b}]\text{)} \end{array}\]
Fijemos un tipo \(\tau\). A continuación definiremos matemáticamente una relación \(\mathbf{"A}\models\varphi[\vec{a}]"\), donde \(\mathbf{A}\) es una estructura de tipo \(\tau\), \(\vec{a}\) es una asignación de \(\mathbf{A}\) y \(\varphi\in F^{\tau}\). Intuitivamente hablando \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) significara que la fórmula \(\varphi\) es verdadera en la estructura \(\mathbf{A}\) cuando le asignamos a las variables libres de \(\varphi\) los valores que asigna \(\vec{a}\). Escribiremos \(\mathbf{A}\not\models\varphi[\vec{a}]\) para expresar que no se da \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\). Nuestra definición matemática será recursiva y mas abajo explicaremos por que la definición es precisa o rigurosa matemáticamente hablando. Dada una estructura \(\mathbf{A}\) de tipo \(\tau\), una asignación \(\vec{a}\in A^{\mathbf{N}}\) y \(a\in A\), con \(\downarrow_{i}^{a}(\vec{a})\) denotaremos la asignación que resulta de reemplazar en \(\vec{a}\) el \(i\)-ésimo elemento por \(a\). Ahora sí la definición recursiva:
adhocprefix(1)adhocsufix Si \(\varphi=(t\equiv s),\) entonces
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) si y solo si \(t^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=s^{\mathbf{A}}[\vec{a}]\)
adhocprefix(2)adhocsufix Si \(\varphi=r(t_{1},...,t_{m})\), entonces
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) si y solo si \((t_{1}^{\mathbf{A}}[\vec{a}],...,t_{m}^{\mathbf{A}}[\vec{a}])\in i(r)\)
adhocprefix(3)adhocsufix Si \(\varphi=(\varphi_{1}\wedge\varphi_{2})\), entonces
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) si y solo si \(\mathbf{A}\models\varphi_{1}[\vec{a}]\) y \(\mathbf{A}\models\varphi_{2}[\vec{a}]\)
adhocprefix(4)adhocsufix Si \(\varphi=(\varphi_{1}\vee\varphi_{2})\), entonces
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) si y solo si \(\mathbf{A}\models\varphi_{1}[\vec{a}]\) o \(\mathbf{A}\models\varphi_{2}[\vec{a}]\)
adhocprefix(5)adhocsufix Si \(\varphi=(\varphi_{1}\rightarrow\varphi_{2})\), entonces
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) si y solo si \(\mathbf{A}\not\models\varphi_{1}[\vec{a}]\) o \(\mathbf{A}\models\varphi_{2}[\vec{a}]\)
adhocprefix(6)adhocsufix Si \(\varphi=(\varphi_{1}\leftrightarrow\varphi_{2})\), entonces
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) si y solo si ya sea se dan \(\mathbf{A}\models\varphi_{1}[\vec{a}]\) y \(\mathbf{A}\models\varphi_{2}[\vec{a}]\) o se dan \(\mathbf{A}\not\models\varphi_{1}[\vec{a}]\) y \(\mathbf{A}\not\models\varphi_{2}[\vec{a}]\)
adhocprefix(7)adhocsufix Si \(\varphi=\lnot\varphi_{1},\) entonces
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) si y solo si \(\mathbf{A}\not\models\varphi_{1}[\vec{a}]\)
adhocprefix(8)adhocsufix Si \(\varphi=\forall x_{i}\varphi_{1}\), entonces
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) si y solo si para cada \(a\in A\), se da que \(\mathbf{A}\models\varphi_{1}[\downarrow_{i}^{a}(\vec{a})]\)
adhocprefix(9)adhocsufix Si \(\varphi=\exists x_{i}\varphi_{1}\), entonces
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) si y solo si hay un \(a\in A\) tal que \(\mathbf{A}\models\varphi_{1}[\downarrow_{i}^{a}(\vec{a})]\)
Para ver que la definición de la relación “\(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]"\) es correcta, notemos que en (1) y (2) se dice cuando se da \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) y cuando no se da \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) para el caso en que \(\varphi\) es atómica, es decir el caso en que \(\varphi\in F_{0}^{\tau}\). Las siguientes clausulas nos aseguran que si ya esta definido cuando se da \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) y cuando no se da \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) para el caso en que \(\varphi\in F_{k}^{\tau}\), entonces también queda definido cuando se da \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) y cuando no se da \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) para el caso en que \(\varphi\in F_{k+1}^{\tau}\). De esta forma comenzando desde la capa \(0\) vemos que se va determinando para todas las fórmulas de las distintas capas cuando vale y cuando no vale la relación \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\). Nótese que en todo este razonamiento es crucial la unicidad de la lectura de fórmulas ya que de no haber unicidad la definición se volvería ambigua.
Cuando se dé \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) diremos que la estructura \(\mathbf{A}\) satisface \(\varphi\) en la asignación \(\vec{a}\) y en tal caso diremos que \(\varphi\) es verdadera en \(\mathbf{A}\) para la asignación \(\vec{a}\). Cuando no se dé \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) diremos que la estructura \(\mathbf{A}\) no satisface \(\varphi\) en la asignación \(\vec{a}\) y en tal caso diremos que \(\varphi\) es falsa en \(\mathbf{A}\) para la asignación \(\vec{a}\). También hablaremos del valor de verdad de \(\varphi\) en \(\mathbf{A}\) para la asignación \(\vec{a}\) el cual será igual a \(1\) si se da \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) y \(0\) en caso contrario.
Veamos algunos ejemplos. Sea \(\tau\) el tipo \[(\{\mathrm{uno},\mathrm{doli}\},\{\mathrm{MAS},\mathrm{P}\},\{\mathrm{Her}\},\{(\mathrm{MAS},4),(\mathrm{P},1),(\mathrm{Her},3)\})\] y sea \(\mathbf{A}=(A,i)\) la estructura de tipo \(\tau\) con universo \(A=\mathbf{R}\) y
adhocprefix-adhocsufix \(i(\mathrm{uno})=9\)
adhocprefix-adhocsufix \(i(\mathrm{doli})=0\)
adhocprefix-adhocsufix \(i(\mathrm{MAS})\) igual a la operación \[\begin{array}{rcl} \mathbf{R}^{4} & \rightarrow & \mathbf{R}\\ (x,y,z,w) & \rightarrow & 2x+4y \end{array}\]
adhocprefix-adhocsufix \(i(\mathrm{P})\) igual a la operación \[\begin{array}{rcl} \mathbf{R} & \rightarrow & \mathbf{R}\\ x & \rightarrow & 5^{x} \end{array}\]
adhocprefix-adhocsufix \(i(\mathrm{Her})=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^{3}:x.y.z=9\}\)
Sea \(\vec{a}=(1,2,3,4,5,...)\). Claramente \(\vec{a}\) es una asignación de \(\mathbf{A}\). Ejemplos:
adhocprefix(E1)adhocsufix Sea \(\varphi=(\mathrm{MAS}(\mathsf{X}\mathbf{1},\mathrm{uno},\mathsf{X}\mathbf{3},\mathsf{X}\mathit{55}\mathbf{4})\equiv\mathrm{P}(\mathsf{X}\mathbf{3}))\). Nótese que
adhocprefix-adhocsufix \(\mathrm{MAS}(\mathsf{X}\mathbf{1},\mathrm{uno},\mathsf{X}\mathbf{3},\mathsf{X}\mathit{55}\mathbf{4})^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=38\)
adhocprefix-adhocsufix \(\mathrm{P}(\mathsf{X}\mathbf{3})^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=125\)
O sea que (1) de la definición nos dice que \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) si y solo si \(38=125\), por lo cual se saca que \(\mathbf{A}\not\models\varphi[\vec{a}]\).
adhocprefix(E2)adhocsufix Sea \(\varphi=\lnot\mathrm{Her}(\mathrm{P}(\mathrm{P}(\mathsf{X}\mathbf{6})),\mathsf{X}\mathbf{3},\mathrm{doli})\). Nótese que
adhocprefix-adhocsufix \(\mathrm{P}(\mathrm{P}(\mathsf{X}\mathbf{6}))^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=5^{(5^{6})}\)
adhocprefix-adhocsufix \(\mathsf{X}\mathbf{3}^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=3\)
adhocprefix-adhocsufix \(\mathrm{doli}^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=0\)
O sea que (7) de la definición nos dice que \[\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\text{ sii }\mathbf{A}\not\models\mathrm{Her}(\mathrm{P}(\mathrm{P}(\mathsf{X}\mathbf{6})),\mathsf{X}\mathbf{3},\mathrm{doli})[\vec{a}]\] Pero (2) de la definición nos dice que \[\mathbf{A}\models\mathrm{Her}(\mathrm{P}(\mathrm{P}(\mathsf{X}\mathbf{6})),\mathsf{X}\mathbf{3},\mathrm{doli})[\vec{a}]\text{ sii }(5^{(5^{6})},3,0)\in i(\mathrm{Her})\] Ya que no se da que \((5^{(5^{6})},3,0)\in i(\mathrm{Her})\), tenemos que \[\mathbf{A}\not\models\mathrm{Her}(\mathrm{P}(\mathrm{P}(\mathsf{X}\mathbf{6})),\mathsf{X}\mathbf{3},\mathrm{doli})[\vec{a}]\] lo cual nos dice que \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\).
adhocprefix(E3)adhocsufix Sea \(\varphi=\exists\mathsf{X}\mathbf{3}\mathrm{Her}(\mathsf{X}\mathbf{6},\mathsf{X}\mathbf{3},\mathrm{uno})\). Por (9) de la definición tenemos que
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) sii hay un \(r\in\mathbf{R}\) tal que \(\mathbf{A}\models\mathrm{Her}(\mathsf{X}\mathbf{6},\mathsf{X}\mathbf{3},\mathrm{uno})[\downarrow_{3}^{r}(\vec{a})]\)
Es decir que
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) sii hay un \(r\in\mathbf{R}\) tal que \(\mathbf{A}\models\mathrm{Her}(\mathsf{X}\mathbf{6},\mathsf{X}\mathbf{3},\mathrm{uno})[(1,2,r,4,5...)]\)
Pero (2) de la definición nos dice que cualquiera sea \(r\in\mathbf{R}\) se tiene que
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\mathrm{Her}(\mathsf{X}\mathbf{6},\mathsf{X}\mathbf{3},\mathrm{uno})[(1,2,r,4,5,...)]\) sii \((6,r,9)\in i(\mathrm{Her})\)
O sea que obtenemos finalmente que
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) sii hay un \(r\in\mathbf{R}\) tal que \(6.r.9=9\)
lo cual claramente implica que \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) ya que podemos tomar \(r=1/6\).
adhocprefix(E4)adhocsufix Sea \(\varphi=\forall\mathsf{X}\mathbf{1(}(\mathsf{X}\mathbf{4}\equiv\mathsf{X}\mathbf{1})\rightarrow\exists\mathsf{X}\mathbf{6}\mathrm{Her}(\mathsf{X}\mathbf{6},\mathsf{X}\mathbf{1},\mathrm{uno}))\). Por (8) de la definición tenemos que \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) si y solo si para cada \(r\in\mathbf{R}\) se da que \[\mathbf{A}\models\mathbf{(}(\mathsf{X}\mathbf{4}\equiv\mathsf{X}\mathbf{1})\rightarrow\exists\mathsf{X}\mathbf{6}\mathrm{Her}(\mathsf{X}\mathbf{6},\mathsf{X}\mathbf{1},\mathrm{uno}))[\downarrow_{1}^{r}(\vec{a})]\] Es decir que \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) si y solo si para cada \(r\in\mathbf{R}\) se da que \[\mathbf{A}\models\mathbf{(}(\mathsf{X}\mathbf{4}\equiv\mathsf{X}\mathbf{1})\rightarrow\exists\mathsf{X}\mathbf{6}\mathrm{Her}(\mathsf{X}\mathbf{6},\mathsf{X}\mathbf{1},\mathrm{uno}))[(r,2,3,...)]\] Pero entonces (5) de la definición nos dice que \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) si y solo si para cada \(r\in\mathbf{R}\) se da que \[\mathbf{A}\not\models(\mathsf{X}\mathbf{4}\equiv\mathsf{X}\mathbf{1})[(r,2,3,...)]\text{ o }\mathbf{A}\models\exists\mathsf{X}\mathbf{6}\mathrm{Her}(\mathsf{X}\mathbf{6},\mathsf{X}\mathbf{1},\mathrm{uno}))[(r,2,3,...)]\] O sea que \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) si y solo si para cada \(r\in\mathbf{R}\) se da que \[4\neq r\text{ o }\mathbf{A}\models\exists\mathsf{X}\mathbf{6}\mathrm{Her}(\mathsf{X}\mathbf{6},\mathsf{X}\mathbf{1},\mathrm{uno}))[(r,2,3,...)]\] Pero por (9) y (2) de la definición tenemos que cualquiera sea el \(r\in\mathbf{R}\) se da que \[\mathbf{A}\models\exists\mathsf{X}\mathbf{6}\mathrm{Her}(\mathsf{X}\mathbf{6},\mathsf{X}\mathbf{1},\mathrm{uno}))[(r,2,3,...)]\] si y solo si hay un \(s\in\mathbf{R}\) tal que \(s.r.9=9\). Esto nos dice finalmente que \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) sii para cada \(r\in\mathbf{R}\) se da que \[4\neq r\text{ o hay un }s\in\mathbf{R}\text{ tal que }s.r.9=9\] Pensando un poco esto nos dice que \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) (separar los casos \(r=4\) y \(r\neq4\)).
3.17. Sea \(\mathbf{A}\) una estructura de tipo \(\tau\) y sea \(\varphi\in F^{\tau}\). Supongamos que \(\vec{a},\vec{b}\) son asignaciones tales que \(a_{i}=b_{i},\) cada vez que \(x_{i}\in Li(\varphi)\). Entonces \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) sii \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{b}]\)
Proof. Usaremos la Regla de Inducción desde 0. Para cada \(k\in\omega\) sea \(\mathrm{Enu}_{k}\) el siguiente enunciado:
adhocprefix\(\mathrm{Enu}_{k}\):adhocsufix Sea \(\mathbf{A}\) una estructura de tipo \(\tau\) y sea \(\varphi\in F_{k}^{\tau}\). Supongamos que \(\vec{a},\vec{b}\) son asignaciones tales que \(a_{i}=b_{i},\) cada vez que \(x_{i}\in Li(\varphi)\). Entonces \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) sii \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{b}]\)
Hagamos entonces lo que nos encomienda la Regla de Inducción desde \(0\).
Prueba de que \(\mathrm{Enu}_{0}\) es verdadero. Se desprende del Lema 3.16 y es dejado al lector.
Prueba de que si \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero entonces \(\mathrm{Enu}_{k+1}\) lo es. Supongamos entonces que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\). Sea \(\mathbf{A}\) una estructura de tipo \(\tau\) y sea \(\varphi\in F_{k+1}^{\tau}\). Supongamos que \(\vec{a},\vec{b}\) son asignaciones tales que \(a_{i}=b_{i},\) cada vez que \(x_{i}\in Li(\varphi)\). Por definición de \(F_{k+1}^{\tau}\), hay varios casos.
Caso \(\varphi\in F_{k}^{\tau}\). Ya que es verdadero \(\mathrm{Enu}_{k}\), es claro que se cumple la conclusión de \(\mathrm{Enu}_{k+1}\).
Caso \(\varphi=(\varphi_{1}\wedge\varphi_{2})\), con \(\varphi_{1},\varphi_{2}\in F_{k}^{\tau}\). Ya que \(Li(\varphi_{i})\subseteq Li(\varphi)\), \(i=1,2\), tenemos que \(\mathrm{Enu}_{k}\) nos dice que \(\mathbf{A}\models\varphi_{i}[\vec{a}]\) sii \(\mathbf{A}\models\varphi_{i}[\vec{b}]\), para \(i=1,2\). Se tiene entonces que \[\begin{array}{l} \mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\\ \ \ \Updownarrow\text{ (por (3) en la def de }\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\text{)}\\ \mathbf{A}\models\varphi_{1}[\vec{a}]\text{ y }\mathbf{A}\models\varphi_{2}[\vec{a}]\\ \ \ \Updownarrow\\ \mathbf{A}\models\varphi_{1}[\vec{b}]\text{ y }\mathbf{A}\models\varphi_{2}[\vec{b}]\\ \ \ \Updownarrow\text{(por (3) en la def de }\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\text{)}\\ \mathbf{A}\models\varphi[\vec{b}] \end{array}\]
Caso \(\varphi=\forall x_{j}\varphi_{1}\), con \(\varphi_{1}\in F_{k}^{\tau}\) y \(j\in\mathbf{N}\). Supongamos \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\). Entonces por (8) en la definición de \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) se tiene que \(\mathbf{A}\models\varphi_{1}[\downarrow_{j}^{a}(\vec{a})]\), para todo \(a\in A\). Nótese que \(\downarrow_{j}^{a}(\vec{a})\) y \(\downarrow_{j}^{a}(\vec{b})\) coinciden en toda \(x_{i}\in Li(\varphi_{1})\) ya que \(Li(\varphi_{1})\subseteq Li(\varphi)\cup\{x_{j}\}\). O sea que \(\mathrm{Enu}_{k}\) nos dice \(\mathbf{A}\models\varphi_{1}[\downarrow_{j}^{a}(\vec{b})]\), para todo \(a\in A\), lo cual por (8) en la definición de \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) nos dice que \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{b}]\). La prueba de que \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{b}]\) implica \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) es similar.
Los otros casos son similares y dejados al lector.
3.1. Si \(\varphi\) es una sentencia, entonces \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) sii \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{b}]\), cualesquiera sean las asignaciones \(\vec{a},\vec{b}\).
En virtud del corolario anterior tenemos que el valor de verdad de una sentencia \(\varphi\) en una estructura dada \(\mathbf{A}\) para una asignación \(\vec{a}\) no depende de \(\vec{a}\), es decir este valor es ya sea \(1\) para todas las asignaciones o \(0\) para todas las asignaciones. En el primer caso diremos que \(\varphi\) es verdadera en \(\mathbf{A}\) (y escribiremos \(\mathbf{A}\models\varphi\)) y en el segundo caso diremos que \(\varphi\) es falsa en \(\mathbf{A}\) (y escribiremos \(\mathbf{A}\not\models\varphi\))
Una sentencia \(\varphi\) de tipo \(\tau\) sera llamada universalmente valida si es verdadera en cada modelo de tipo \(\tau\), es decir si \(\mathbf{A}\models\varphi\), para cada estructura \(\mathbf{A}\) de tipo \(\tau\) (o equivalentemente si \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\), para cada estructura \(\mathbf{A}\) de tipo \(\tau\) y cada asignación \(\vec{a}\in A^{\mathbf{N}}\)).
Dadas \(\varphi,\psi\in F^{\tau}\) diremos que \(\varphi\) y \(\psi\) son equivalentes cuando se dé la siguiente condición
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) si y solo si \(\mathbf{A}\models\psi[\vec{a}]\), para cada modelo de tipo \(\tau\), \(\mathbf{A}\) y cada \(\vec{a}\in A^{\mathbf{N}}\)
Escribiremos \(\varphi\thicksim\psi\) cuando \(\varphi\) y \(\psi\) sean equivalentes. Nótese que \[\{(\varphi,\psi)\in F^{\tau}\times F^{\tau}:\varphi\thicksim\psi\}\] es una relación de equivalencia sobre \(F^{\tau}\).
3.18. Se tiene que:
adhocprefix(a)adhocsufix Si \(Li(\phi)\cup Li(\psi)\subseteq\{x_{i_{1}},...,x_{i_{n}}\},\) entonces \(\phi\thicksim\psi\) si y solo si la sentencia \(\forall x_{i_{1}}...\forall x_{i_{n}}(\phi\leftrightarrow\psi)\) es universalmente válida.
adhocprefix(b)adhocsufix Si \(\phi_{i}\thicksim\psi_{i}\) \(i=1,2,\) entonces \(\lnot\phi_{1}\thicksim\lnot\psi_{1},\) \((\phi_{1}\eta\phi_{2})\thicksim(\psi_{1}\eta\psi_{2})\) y \(Qv\phi_{1}\thicksim Qv\psi_{1}\).
Proof. (a) Tenemos que \[\begin{array}{l} \varphi\thicksim\psi\\ \ \ \Updownarrow\text{ (por (6) de la def de}\models\text{)}\\ \mathbf{A}\models(\phi\leftrightarrow\psi)[\vec{a}]\text{, para todo }\mathbf{A}\text{ y toda }\vec{a}\in A^{\mathbf{N}}\\ \ \ \Updownarrow\\ \mathbf{A}\models(\phi\leftrightarrow\psi)[\downarrow_{i_{n}}^{a}(\vec{a})]\text{, para todo }\mathbf{A}\text{, }a\in A\text{ y toda }\vec{a}\in A^{\mathbf{N}}\\ \ \ \Updownarrow(\text{por (8) de la def de}\models)\\ \mathbf{A}\models\forall x_{i_{n}}(\phi\leftrightarrow\psi)[\vec{a}]\text{, para todo }\mathbf{A}\text{ y toda }\vec{a}\in A^{\mathbf{N}}\\ \ \ \Updownarrow\\ \mathbf{A}\models\forall x_{i_{n}}(\phi\leftrightarrow\psi)[\downarrow_{i_{n-1}}^{a}(\vec{a})]\text{, para todo }\mathbf{A}\text{, }a\in A\text{ y toda }\vec{a}\in A^{\mathbf{N}}\\ \ \ \Updownarrow\text{ (por (8) de la def de}\models\text{)}\\ \mathbf{A}\models\forall x_{i_{n-1}}\forall x_{i_{n}}(\phi\leftrightarrow\psi)[\vec{a}]\text{, para todo }\mathbf{A}\text{ y toda }\vec{a}\in A^{\mathbf{N}}\\ \ \ \Updownarrow\\ \ \ \ \ \vdots\\ \ \ \Updownarrow\\ \mathbf{A}\models\forall x_{i_{1}}...\forall x_{i_{n}}(\phi\leftrightarrow\psi)[\vec{a}]\text{, para todo }\mathbf{A}\text{ y toda }\vec{a}\in A^{\mathbf{N}}\\ \ \ \Updownarrow\\ \forall x_{i_{1}}...\forall x_{i_{n}}(\phi\leftrightarrow\psi)\text{ es universalmente valida} \end{array}\]
(b) Es dejado al lector.
Dadas \(\varphi_{1},\varphi_{2},\alpha\in F^{\tau}\) el ítem (f) del Lema de Ocurrencias de Fórmulas en Fórmulas nos dice que las distintas ocurrencias de \(\varphi_{1}\) en \(\alpha\) son disjuntas. También el ítem (f) de dicho lema nos dice que el resultado de reemplazar en \(\alpha\) algunas ocurrencias de \(\varphi_{1}\) por \(\varphi_{2}\) es una fórmula. Mas aún
3.19. Sean \(\varphi_{1},\varphi_{2}\in F^{\tau}\) tales que \(\varphi_{1}\thicksim\varphi_{2}\) y sea \(\alpha\in F^{\tau}\). Sea \(\alpha^{\prime}\) el resultado de reemplazar en \(\alpha\) algunas (posiblemente \(0\)) ocurrencias de \(\varphi_{1}\) por \(\varphi_{2}\). Entonces \(\alpha\thicksim\alpha^{\prime}.\)
Proof. Usaremos la Regla de Inducción desde 0. Para cada \(k\in\omega\) sea \(\mathrm{Enu}_{k}\) el siguiente enunciado:
adhocprefix\(\mathrm{Enu}_{k}\):adhocsufix Sean \(\varphi_{1},\varphi_{2}\in F^{\tau}\) tales que \(\varphi_{1}\thicksim\varphi_{2}\) y sea \(\alpha\in F_{k}^{\tau}\). Sea \(\alpha^{\prime}\) el resultado de reemplazar en \(\alpha\) algunas (posiblemente \(0\)) ocurrencias de \(\varphi_{1}\) por \(\varphi_{2}\). Entonces \(\alpha\thicksim\alpha^{\prime}.\)
Hagamos entonces lo que nos encomienda la Regla de Inducción desde \(0\).
Prueba de que \(\mathrm{Enu}_{0}\) es verdadero. Es fácil ya que las fórmulas atómicas no tienen suformulas propias (Lema de Ocurrencias de Fórmulas en Fórmulas).
Prueba de que si \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero entonces \(\mathrm{Enu}_{k+1}\) lo es. Supongamos entonces que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\). Sean \(\varphi_{1},\varphi_{2}\in F^{\tau}\) tales que \(\varphi_{1}\thicksim\varphi_{2}\) y sea \(\alpha\in F_{k+1}^{\tau}\). Sea \(\alpha^{\prime}\) el resultado de reemplazar en \(\alpha\) algunas (posiblemente \(0\)) ocurrencias de \(\varphi_{1}\) por \(\varphi_{2}\). Probaremos que entonces \(\alpha\thicksim\alpha^{\prime}\). Por definición de \(F_{k+1}^{\tau}\), hay varios casos.
Caso \(\alpha\in F_{k}^{\tau}\). Ya que es verdadero \(\mathrm{Enu}_{k}\), es claro que \(\alpha\thicksim\alpha^{\prime}\).
Caso \(\alpha=(\alpha_{1}\eta\alpha_{2})\), con \(\alpha_{1},\alpha_{2}\in F_{k}^{\tau}\). Si \(\varphi_{1}=\alpha\) entonces \(\alpha^{\prime}=\varphi_{2}\) y por lo tanto \(\alpha\thicksim\alpha^{\prime}\) ya que por hipótesis \(\varphi_{1}\thicksim\varphi_{2}\). Supongamos entonces \(\varphi_{1}\neq\alpha\). Por (b) del Lema de Ocurrencias de Fórmulas en Fórmulas las ocurrencias de \(\varphi_{1}\) en \(\alpha\) que fueron reemplazadas por \(\varphi_{2}\) para obtener \(\alpha^{\prime}\) suceden ya sea en \(\alpha_{1}\) o en \(\alpha_{2}\). O sea que \(\alpha^{\prime}=(\alpha_{1}^{\prime}\eta\alpha_{2}^{\prime})\) donde cada \(\alpha_{i}^{\prime}\) se obtiene como resultado de reemplazar algunas (posiblemente \(0\)) ocurrencias de \(\varphi_{1}\) en \(\alpha_{i}\) por \(\varphi_{2}\). Ya que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\) y \(\alpha_{1},\alpha_{2}\in F_{k}^{\tau}\) tenemos que \(\alpha_{i}\thicksim\alpha_{i}^{\prime}\) para \(i=1,2\). Pero esto por (b) del lema anterior nos dice que \((\alpha_{1}\eta\alpha_{2})\thicksim(\alpha_{1}^{\prime}\eta\alpha_{2}^{\prime})\), es decir \(\alpha\thicksim\alpha^{\prime}\).
Los otros casos son similares y dejados al lector.
Supongamos que \(\tau\) es finito en el sentido que los conjuntos \(\mathcal{C},\mathcal{F}\text{ y }\mathcal{R}\) son finitos. Y supongamos que tenemos dada una estructura \(\mathbf{A}\) de tipo \(\tau\) tal que \(A\) es finito. Por supuesto, podemos ponerles nombre a los elementos de \(A\) de manera que los podamos manejar dentro de una computadora y además nótese que una ves puesto estos nombres a los elementos de \(A\), también podemos manejar dentro de nuestra computadora a las interpretaciones de los nombres de cte, función y relación en \(\mathbf{A}\) (por ejemplo si \(f\in\mathcal{F}_{2}\) podemos representar a \(i(f)\) con una tabla de tres columnas. Entonces el lector no tendrá problema en imaginar como haría un programa (en cualquier lenguaje de los actuales) con las siguientes características:
adhocprefix-adhocsufix Datos de entrada: Una fórmula \(\varphi\) de tipo \(\tau\) y elementos \(a_{1},...,a_{n}\) de \(A\) donde \(n\in\mathbf{N}\) es tal que \(\{v\in Var:v\text{ ocurre en }\varphi\}\subseteq\{x_{1},...,x_{n}\}\)
adhocprefix-adhocsufix Si \(\mathbf{A}\models\varphi[a_{1},...,a_{n},a_{1},a_{1},a_{1},a_{1},...]\) entonces el programa se detiene y da como salida el Booleano \(1\)
adhocprefix-adhocsufix Si \(\mathbf{A}\not\models\varphi[a_{1},...,a_{n},a_{1},a_{1},a_{1},a_{1},...]\) entonces el programa se detiene y da como salida el Booleano \(0\)
Esto realmente es una consecuencia muy interesante de haber dado un modelo matemático de las fórmulas elementales y sus valores de verdad, resulta que ahora este programa nos esta permitiendo calcular sin pensar el valor de verdad de una fórmula en una estructura finita! Por supuesto esto tiene sentido si la noción matemática de valor de verdad es realmente un modelo adecuado de nuestra idea intuitiva de valor de verdad. Pero ...
Que tal si nuestro modelo matemático de valor de verdad no es del todo satisfactorio, es decir, que tal si el programa anterior en algún caso da como salida el Booleano \(1\) y para nosotros la fórmula de entrada era falsa en la asignación de entrada. En ese caso nos deberíamos sentir identificados con el Dr Frankenstein, el cual quiso hacer un humano pero su creación tenia detalles ....
Veamos un ejemplo feo. Sea \(\tau=(\{c\},\emptyset,\{\mathrm{P1},\mathrm{P2},\mathrm{R}\},\{(\mathrm{P1},1),(\mathrm{P2},1),(\mathrm{R},1)\})\). Consideremos la sentencia \[\mu=(((\mathrm{P1}(c)\wedge\mathrm{P2}(c))\rightarrow\mathrm{R}(c))\rightarrow((\mathrm{P1}(c)\rightarrow\mathrm{R}(c))\vee(\mathrm{P2}(c)\rightarrow\mathrm{R}(c))))\] Nótese que esta sentencia nos dice que si tenemos que \((\mathrm{P1}(c)\wedge\mathrm{P2}(c))\) implica \(\mathrm{R}(c)\), entonces ya sea se da que \(\mathrm{P1}(c)\text{ implica }\mathrm{R}(c)\) o que \(\mathrm{P2}(c)\text{ implica }\mathrm{R}(c)\). Esto intuitivamente hablando no parece cierto independientemente de en que estructura estemos pensando ya que la intuición nos dice que podría hacer falta que \(c\) cumpla ambas propiedades (\(\mathrm{P1}\text{ y }\mathrm{P2}\)) para asegurar que entonces debe cumplir \(\mathrm{R}\) y que ninguna de las dos propiedades por separado asegure que se cumple \(\mathrm{R}\). Sin embargo una fácil inspección usando la definición de \(\models\) nos permite probar que \(\mu\) es universalmente válida.
Este ejemplo nos hace pensar que quizás nuestro modelo no sea tan bueno. Pero la verdad es que es muy bueno y en este caso en el que no parece modelizar bien, la explicación tiene que ver con el hecho que en general en la matemática real no le asignamos valor de verdad a una implicación de dos sentencias concretas ya verdaderas o falsas. Esto nos hace pensar las implicaciones de \(\mu\) de una forma “parametrizada” lo cual es incorrecto ya que para una estructura dada, \(c\) denota un elemento concreto y fijo.
Otra sentencia que rompe nuestra intuición por ser siempre verdadera es la siguiente \[((\forall x_{1}\mathrm{P1}(x_{1})\rightarrow\mathrm{P2}(c))\rightarrow\exists x_{1}(\mathrm{P1}(x_{1})\rightarrow\mathrm{P2}(c)))\] Dejamos al lector que medite hasta entender que el fenómeno por el cual se rompe la intuición es el mismo que en \(\mu\) (note que un \(\forall\) es en algún sentido la conjunción de muchos casos). Solo resta decir que son casos marginales, estos en los cuales se rompe la intuición, y en general no aparecen en la escritura real de los matemáticos. Mas aun, quizás deberíamos pensar que el modelo matemático dado nos enseña a pensar de una manera mas madura este tipo de casos que nunca ocurren en la matemática real.
Dado que las estructuras de tipo \(\tau\) constituyen los "mundos posibles" donde las fórmulas de tipo \(\tau\) se "interpretan" se suele llamar semántica al estudio general de las estructuras y su vinculación con el lenguaje. Aquí daremos algunas nociones básicas de semántica.
La noción de homomorfismo estaba restringida a unos pocos casos particulares de estructuras estudiadas pero ahora con nuestra definición general de estructura podemos generalizarla en forma natural. Antes una notación muy útil. Dado un modelo de tipo \(\tau\), \(\mathbf{A}=(A,i)\), para cada \(s\in\mathcal{C}\cup\mathcal{F}\cup\mathcal{R}\), usaremos \(s^{\mathbf{A}}\) para denotar a \(i(s)\).
Sean \(\mathbf{A}\) y \(\mathbf{B}\) modelos de tipo \(\tau\). Una función \(F:A\rightarrow B\) será un homomorfismo de \(\mathbf{A}\) en \(\mathbf{B}\) si se cumplen las siguientes
adhocprefix(1)adhocsufix \(F(c^{\mathbf{A}})=c^{\mathbf{B}}\), para todo \(c\in\mathcal{C}\),
adhocprefix(2)adhocsufix \(F(f^{\mathbf{A}}(a_{1},...,a_{n}))=f^{\mathbf{B}}(F(a_{1}),...,F(a_{n}))\), para cada \(f\in\mathcal{F}_{n}\), \(a_{1},...,a_{n}\in A\).
adhocprefix(3)adhocsufix \((a_{1},...,a_{n})\in r^{\mathbf{A}}\) implica \((F(a_{1}),...,F(a_{n}))\in r^{\mathbf{B}}\), para todo \(r\in\mathcal{R}_{n}\), \(a_{1},...,a_{n}\in A\).
Un isomorfismo de \(\mathbf{A}\) en \(\mathbf{B}\) será un un homomorfismo de \(\mathbf{A}\) en \(\mathbf{B}\) el cual sea biyectivo y cuya inversa sea un homomorfismo de \(\mathbf{B}\) en \(\mathbf{A}\). Diremos que los modelos \(\mathbf{A}\) y \(\mathbf{B}\) son isomorfos (en símbolos: \(\mathbf{A}\cong\mathbf{B}\)), cuando haya un isomorfismo \(F\) de \(\mathbf{A}\) en \(\mathbf{B}\). Diremos que \(F:\mathbf{A}\rightarrow\mathbf{B}\) es un homomorfismo para expresar que \(F\) es un homomorfismo de \(\mathbf{A}\) en \(\mathbf{B}\). Análogamente diremos que \(F:\mathbf{A}\rightarrow\mathbf{B}\) es un isomorfismo para expresar que \(F\) es un isomorfismo de \(\mathbf{A}\) en \(\mathbf{B}\).
Ejercicio: Pruebe que la relación \(\cong\) es reflexiva, transitiva y simétrica.
3.20. Sea \(F:\mathbf{A}\rightarrow\mathbf{B}\) un homomorfismo. Entonces \[F(t^{\mathbf{A}}[(a_{1},a_{2},...)])=t^{\mathbf{B}}[(F(a_{1}),F(a_{2}),...)]\] para cada \(t\in T^{\tau}\), \((a_{1},a_{2},...)\in A^{\mathbf{N}}\).
Proof. Usaremos la Regla de Inducción desde 0. Para cada \(k\in\omega\) sea \(\mathrm{Enu}_{k}\) el siguiente enunciado:
adhocprefix\(\mathrm{Enu}_{k}\):adhocsufix Si \(F:\mathbf{A}\rightarrow\mathbf{B}\) es un homomorfismo, entonces \[F(t^{\mathbf{A}}[(a_{1},a_{2},...)])=t^{\mathbf{B}}[(F(a_{1}),F(a_{2}),...)]\] para cada \(t\in T_{k}^{\tau}\), \((a_{1},a_{2},...)\in A^{\mathbf{N}}\).
Hagamos entonces lo que nos encomienda la Regla de Inducción desde \(0\).
Prueba de que \(\mathrm{Enu}_{0}\) es verdadero. Fácil y dejada al lector.
Prueba de que si \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero entonces \(\mathrm{Enu}_{k+1}\) lo es. Supongamos entonces que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\). Supongamos \(F:\mathbf{A}\rightarrow\mathbf{B}\) es un homomorfismo y sean \(t\in T_{k+1}^{\tau}\) y \((a_{1},a_{2},...)\in A^{\mathbf{N}}\). Por definición de \(T_{k+1}^{\tau}\), hay varios casos.
Caso \(t\in T_{k}^{\tau}\). Ya que es verdadero \(\mathrm{Enu}_{k}\), es claro que se cumple la conclusión de \(\mathrm{Enu}_{k+1}\).
Caso \(t=f(t_{1},...,t_{n})\), con \(n\geq1\),\(\;f\in\mathcal{F}_{n}\) y \(t_{1},...,t_{n}\in T_{k}^{\tau}\). Denotemos \((F(a_{1}),F(a_{2}),...)\) con \(F(\vec{a})\). Tenemos entonces \[\begin{array}{ccl} F(t^{\mathbf{A}}[\vec{a}]) & = & F(f(t_{1},...,t_{n})^{\mathbf{A}}[\vec{a}])\\ & = & F(f^{\mathbf{A}}(t_{1}^{\mathbf{A}}[\vec{a}],...,t_{n}^{\mathbf{A}}[\vec{a}]))\\ & = & f^{\mathbf{B}}(F(t_{1}^{\mathbf{A}}[\vec{a}]),...,F(t_{n}^{\mathbf{A}}[\vec{a}]))\\ & = & f^{\mathbf{B}}(t_{1}^{\mathbf{B}}[F(\vec{a})],...,t_{n}^{\mathbf{B}}[F(\vec{a})]))\\ & = & f(t_{1},...,t_{n})^{\mathbf{B}}[F(\vec{a})]\\ & = & t^{\mathbf{B}}[F(\vec{a})] \end{array}\]
3.21. Supongamos que \(F:\mathbf{A}\rightarrow\mathbf{B}\) es un isomorfismo. Sea \(\varphi\in F^{\tau}\). Entonces \[\mathbf{A}\models\varphi[(a_{1},a_{2},...)]\text{ sii }\mathbf{B}\models\varphi[(F(a_{1}),F(a_{2}),...)]\] para cada \((a_{1},a_{2},...)\in A^{\mathbf{N}}\). En particular \(\mathbf{A}\) y \(\mathbf{B}\) satisfacen las mismas sentencias de tipo \(\tau\).
Proof. Para \(\vec{a}=(a_{1},a_{2},...)\in A^{\mathbf{N}}\), denotemos \((F(a_{1}),F(a_{2}),...)\) con \(F(\vec{a})\). Usaremos la Regla de Inducción desde 0. Para cada \(k\in\omega\) sea \(\mathrm{Enu}_{k}\) el siguiente enunciado:
adhocprefix\(\mathrm{Enu}_{k}\):adhocsufix Supongamos que \(F:\mathbf{A}\rightarrow\mathbf{B}\) es un isomorfismo. Sea \(\varphi\in F_{k}^{\tau}\). Entonces \[\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\text{ sii }\mathbf{B}\models\varphi[F(\vec{a})]\] para cada \((a_{1},a_{2},...)\in A^{\mathbf{N}}\)
Hagamos entonces lo que nos encomienda la Regla de Inducción desde \(0\).
Prueba de que \(\mathrm{Enu}_{0}\) es verdadero. Hay dos casos.
Caso \(\varphi=r(t_{1},...,t_{n})\), con \(n\geq1\),\(\;r\in\mathcal{R}_{n}\) y \(t_{1},...,t_{n}\in T^{\tau}\). Tenemos entonces \[\begin{array}{ccl} \mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}] & \text{sii} & (t_{1}^{\mathbf{A}}[\vec{a}],...,t_{n}^{\mathbf{A}}[\vec{a}])\in r^{\mathbf{A}}\text{ (def de }\models\text{)}\\ & \text{sii} & (F(t_{1}^{\mathbf{A}}[\vec{a}]),...,F(t_{n}^{\mathbf{A}}[\vec{a}]))\in r^{\mathbf{B}}\text{ (}F\text{ es iso)}\\ & \text{sii} & (t_{1}^{\mathbf{B}}[F(\vec{a})]),...,t_{n}^{\mathbf{B}}[F(\vec{a})])\in r^{\mathbf{B}}\text{ (Lema \ref{F-respeta-term})}\\ & \text{sii} & \mathbf{B}\models\varphi[F(\vec{a})] \end{array}\]
Caso \(\varphi=(t\equiv s)\) es dejado al lector.
Prueba de que si \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero entonces \(\mathrm{Enu}_{k+1}\) lo es. Supongamos entonces que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\). Supongamos \(F:\mathbf{A}\rightarrow\mathbf{B}\) es un homomorfismo y sean \(\varphi\in F_{k+1}^{\tau}\) y \((a_{1},a_{2},...)\in A^{\mathbf{N}}\). Por definición de \(F_{k+1}^{\tau}\), hay varios casos.
Caso \(\varphi\in F_{k}^{\tau}\). Ya que es verdadero \(\mathrm{Enu}_{k}\), es claro que se cumple la conclusión de \(\mathrm{Enu}_{k+1}\).
Caso \(\varphi=(\varphi_{1}\vee\varphi_{2})\), con \(\varphi_{1},\varphi_{2}\in F_{k}^{\tau}\). Entonces \[\begin{aligned} {2} \mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}] & \text{ sii }\mathbf{A}\models\varphi_{1}[\vec{a}]\text{ o }\mathbf{A}\models\varphi_{2}[\vec{a}] & (\text{def de \models})\\ & \text{ sii }\mathbf{B}\models\varphi_{1}[F(\vec{a})]\text{ o }\mathbf{B}\models\varphi_{2}[F(\vec{a})] & (\mathrm{Enu}_{k})\\ & \text{ sii }\mathbf{B}\models\varphi[F(\vec{a})] & (\text{def de \models}) \end{aligned}\]
Los casos \(\varphi=(\varphi_{1}\wedge\varphi_{2})\), \(\varphi=(\varphi_{1}\rightarrow\varphi_{2})\), \(\varphi=(\varphi_{1}\leftrightarrow\varphi_{2})\) y \(\varphi=\neg\varphi_{1}\) son análogos al caso anterior.
Caso \(\varphi=\forall x_{j}\varphi_{1}\), \(\varphi_{1}\in F_{k}^{\tau}\) y \(j\in\mathbf{N}\). Veamos cada implicación por separado. Supongamos \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\). Entonces por la definición de \(\models\) se tiene que \(\mathbf{A}\models\varphi_{1}[\downarrow_{j}^{a}(\vec{a})]\), para todo \(a\in A\). Por \(\mathrm{Enu}_{k}\) tenemos que \(\mathbf{\mathbf{B}}\models\varphi_{1}[F(\downarrow_{j}^{a}(\vec{a}))]\), para todo \(a\in A\). Pero ya que \(F(\downarrow_{j}^{a}(\vec{a}))=\downarrow_{j}^{F(a)}(F(\vec{a}))\) tenemos que \(\mathbf{\mathbf{B}}\models\varphi_{1}[\downarrow_{j}^{F(a)}(F(\vec{a}))]\), para todo \(a\in A\). Como \(F\) es suryectiva obtenemos que \(\mathbf{\mathbf{B}}\models\varphi_{1}[\downarrow_{j}^{b}(F(\vec{a}))]\), para todo \(b\in B\). Ahora la definición de \(\models\) nos dice que \(\mathbf{\mathbf{B}}\models\varphi[F(\vec{a})]\). Supongamos ahora que \(\mathbf{\mathbf{B}}\models\varphi[F(\vec{a})]\). La definición de \(\models\) nos dice que \(\mathbf{\mathbf{B}}\models\varphi_{1}[\downarrow_{j}^{b}(F(\vec{a}))]\), para todo \(b\in B\). Obviamente esto nos dice que \(\mathbf{\mathbf{B}}\models\varphi_{1}[\downarrow_{j}^{F(a)}(F(\vec{a}))]\), para todo \(a\in A\). Pero como \(\downarrow_{j}^{F(a)}(F(\vec{a}))=F(\downarrow_{j}^{a}(\vec{a}))\) , tenemos que \(\mathbf{\mathbf{B}}\models\varphi_{1}[F(\downarrow_{j}^{a}(\vec{a}))]\), para todo \(a\in A\). Por \(\mathrm{Enu}_{k}\) tenemos entonces que \(\mathbf{A}\models\varphi_{1}[\downarrow_{j}^{a}(\vec{a})]\), para todo \(a\in A\), lo cual por la definición de \(\models\) nos dice que \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\).
El caso \(\varphi=\exists x_{j}\varphi_{1}\) es análogo al anterior.
Un tipo \(\tau\) será llamado algebraico si no contiene nombres de relación (i.e. \(\mathcal{R}=\emptyset\)). Un modelo de un tipo algebraico \(\tau\) será llamado una \(\tau\)-álgebra. Ejemplos clásicos de \(\tau\)-álgebras son los grupos (\(\tau=(\{e\},\{.^{2}\},\emptyset,a)\)), los reticulados terna, los reticulados acotados, las álgebras de Boole, etc. Muchos de los resultados y definiciones dados en la Capítulo Estructuras Algebraicas Ordenadas para reticulados terna, reticulados acotados y reticulados complementados pueden ahora ser generalizados naturalmente para \(\tau\)-álgebras. Desarrollaremos un poco esta linea de "álgebra general" la cual ha tenido un fuerte impacto en el área de las especificaciones algebraicas de tipos de datos.
Tal como sucedía para las distintas estructuras reticuladas estudiadas, tenemos que cuando \(\mathcal{R}=\emptyset\), la noción de isomorfismo se simplifica.
3.22. Supongamos \(\tau\) es algebraico. Si \(F:\mathbf{A}\rightarrow\mathbf{B}\) es un homomorfismo biyectivo, entonces \(F\) es un isomorfismo.
Proof. Solo falta probar que \(F^{-1}\) es un homomorfismo. Supongamos que \(c\in\mathcal{C}\). Ya que \(F(c^{\mathbf{A}})=c^{\mathbf{B}}\), tenemos que \(F^{-1}(c^{\mathbf{B}})=c^{\mathbf{A}}\), por lo cual \(F^{-1}\) cumple (1) de la definición de homomorfismo. Supongamos ahora que \(f\in\mathcal{F}_{n}\) y sean \(b_{1},...,b_{n}\in B\). Sean \(a_{1},...,a_{n}\in A\) tales que \(F(a_{i})=b_{i}\), \(i=1,...,n\). Tenemos que \[\begin{array}{ccl} F^{-1}(f^{\mathbf{B}}(b_{1},...,b_{n})) & = & F^{-1}(f^{\mathbf{B}}(F(a_{1}),...,F(a_{n})))\\ & = & F^{-1}(F(f^{\mathbf{A}}(a_{1},...,a_{n})))\\ & = & f^{\mathbf{A}}(a_{1},...,a_{n})\\ & = & f^{\mathbf{A}}(F^{-1}(b_{1}),...,F^{-1}(b_{n})) \end{array}\] por lo cual \(F^{-1}\) satisface (2) de la definición de homomorfismo
Dadas \(\tau\)-álgebras \(\mathbf{A}\) y \(\mathbf{B}\), diremos que \(\mathbf{A}\) es una subálgebra de \(\mathbf{B}\) cuando se den las siguientes condiciones
adhocprefix(1)adhocsufix \(A\subseteq B\)
adhocprefix(2)adhocsufix \(c^{\mathbf{A}}=c^{\mathbf{B}}\), para cada \(c\in\mathcal{C}\)
adhocprefix(3)adhocsufix \(f^{\mathbf{A}}=f^{\mathbf{B}}|_{A^{n}}\), para cada \(f\in\mathcal{F}_{n}\), \(n\geq1\)
Si \(\mathbf{B}\) es una \(\tau\)-álgebra, entonces un subuniverso de \(\mathbf{B}\) es un conjunto \(A\) el cual cumple las siguientes condiciones:
adhocprefix(1)adhocsufix \(\emptyset\neq A\subseteq B\)
adhocprefix(2)adhocsufix \(c^{\mathbf{B}}\in A,\) para cada \(c\in\mathcal{C}\)
adhocprefix(3)adhocsufix \(f^{\mathbf{B}}(a_{1},...,a_{n})\in A\), para cada \((a_{1},...,a_{n})\in A^{n},\) \(f\in\mathcal{F}_{n}\)
Es importante notar que si bien los conceptos de subálgebra y subuniverso están muy relacionados, se trata de objetos diferentes ya que las subálgebras de un álgebra dada son estructuras de tipo \(\tau\) y por lo tanto son pares ordenados y los subuniversos de un álgebra dada son ciertos subconjuntos por lo cual no son pares ordenados. A continuación analizaremos en forma mas precisa la relación que hay entre estos dos conceptos. Nótese que dado un subuniverso \(A\) de una \(\tau\)-álgebra \(\mathbf{B}\) podemos definir en forma natural una \(\tau\)-álgebra \(\mathbf{A}\) de la siguiente manera:
adhocprefix(1)adhocsufix Universo de \(\mathbf{A}=A\)
adhocprefix(2)adhocsufix \(c^{\mathbf{A}}=c^{\mathbf{B}},\) para cada \(c\in\mathcal{C}\)
adhocprefix(3)adhocsufix \(f^{\mathbf{A}}=f^{\mathbf{B}}|_{A^{n}},\) para cada \(f\in\mathcal{F}_{n}\).
Es fácil chequear que el álgebra \(\mathbf{A}\) así definida es una subálgebra de \(\mathbf{B}\). Lo anterior nos muestra que los subuniversos de un álgebra dada son precisamente los universos de las distintas subálgebras de dicha álgebra.
3.23. Supongamos \(\tau\) es algebraico. Si \(F:\mathbf{A}\rightarrow\mathbf{B}\) es un homomorfismo, entonces \(I_{F}\) es un subuniverso de \(\mathbf{B}\)
Proof. Ya que \(A\neq\emptyset,\) tenemos que \(I_{F}\neq\emptyset.\) Es claro que \(c^{\mathbf{B}}=F(c^{\mathbf{A}})\in I_{F},\) para cada \(c\in\mathcal{C}\). Sea \(f\in\mathcal{F}_{n}\) y sean \(b_{1},...,b_{n}\in I_{F}\) Sean \(a_{1},...,a_{n}\) tales que \(F(a_{i})=b_{i},\) \(i=1,...,n\). Tenemos que \[f^{\mathbf{B}}(b_{1},...,b_{n})=f^{\mathbf{B}}(F(a_{1}),...,F(a_{n}))=F(f^{\mathbf{A}}(a_{1},...,a_{n}))\in I_{F}\] por lo cual \(I_{F}\) es cerrada bajo \(f^{\mathbf{B}}\).
Sea \(\mathbf{A}\) una \(\tau\)-álgebra. Una congruencia sobre \(\mathbf{A}\) es una relación de equivalencia \(\theta\) sobre \(A\) la cual cumple que \[a_{1}\theta b_{1},...,a_{n}\theta b_{n}\text{ implica }f^{\mathbf{A}}(a_{1},...,a_{n})\theta f^{\mathbf{A}}(b_{1},...,b_{n})\] cualesquiera sean \(a_{1},...,a_{n},b_{1},...,b_{n}\in A\) y\(\;f\in\mathcal{F}_{n}\).
Dada una congruencia \(\theta\) sobre \(\mathbf{A}\) se puede formar una nueva \(\tau\)-álgebra \(\mathbf{A}/\theta\) de la siguiente manera:
adhocprefix(1)adhocsufix Universo de \(\mathbf{A}/\theta=A/\theta=\{a/\theta:a\in A\}=\{\)clases de equivalencia de \(\theta\}\)
adhocprefix(2)adhocsufix \(f^{\mathbf{A}/\theta}(a_{1}/\theta,...,a_{n}/\theta)=f^{\mathbf{A}}(a_{1},...,a_{n})/\theta,\) para cada \(f\in\mathcal{F}_{n}.\)
adhocprefix(3)adhocsufix \(c^{\mathbf{A}/\theta}=c^{\mathbf{A}}/\theta,\) para cada \(c\in\mathcal{C}\)
La \(\tau\)-álgebra \(\mathbf{A}/\theta\) será llamada el álgebra cociente de \(\mathbf{A}\) por \(\theta\).
3.24. Supongamos \(\tau\) es algebraico. Si \(F:\mathbf{A}\rightarrow\mathbf{B}\) es un homomorfismo, entonces \(\ker(F)\) es una congruencia sobre \(\mathbf{A}\)
Proof. Sea \(f\in\mathcal{F}_{n}\). Supongamos que \(a_{1},...,a_{n},b_{1},...,b_{n}\in A\) son tales que \(a_{1}\ker(F)b_{1},...,a_{n}\ker(F)b_{n}\). Tenemos entonces que \[\begin{array}{ccl} F(f^{\mathbf{A}}(a_{1},...,a_{n})) & = & f^{\mathbf{B}}(F(a_{1}),...,F(a_{n}))\\ & = & f^{\mathbf{B}}(F(b_{1}),...,F(b_{n}))\\ & = & F(f^{\mathbf{A}}(b_{1},...,b_{n})) \end{array}\] lo cual nos dice que \(f^{\mathbf{A}}(a_{1},...,a_{n})\ker(F)f^{\mathbf{A}}(b_{1},...,b_{n})\)
Al mapeo \[\begin{array}{lll} A & \rightarrow & A/\theta\\ a & \rightarrow & a/\theta \end{array}\] lo llamaremos la proyección canónica y lo denotaremos con \(\pi_{\theta}\).
3.25. \(\pi_{\theta}:\mathbf{A}\rightarrow\mathbf{A}/\theta\) es un homomorfismo cuyo núcleo es \(\theta\)
Proof. Sea \(c\in\mathcal{C}\). Tenemos que \[\pi_{\theta}(c^{\mathbf{A}})=c^{\mathbf{A}}/\theta=c^{\mathbf{A}/\theta}\] Sea \(f\in\mathcal{F}_{n}\), con \(n\geq1\) y sean \(a_{1},...,a_{n}\in A\). Tenemos que \[\begin{array}{ccl} \pi_{\theta}(f^{\mathbf{A}}(a_{1},...,a_{n})) & = & f^{\mathbf{A}}(a_{1},...,a_{n})/\theta\\ & = & f^{\mathbf{A}/\theta}(a_{1}/\theta,...,a_{n}/\theta)\\ & = & f^{\mathbf{A}/\theta}(\pi_{\theta}(a_{1}),...,\pi_{\theta}(a_{n})) \end{array}\] con lo cual \(\pi_{\theta}\) es un homomorfismo. Es trivial que \(\ker(\pi_{\theta})=\theta\)
3.2. Para cada \(t\in T^{\tau}\), \(\vec{a}\in A^{\mathbf{N}},\) se tiene que \(t^{\mathbf{A}/\theta}[(a_{1}/\theta,a_{2}/\theta,...)]=t^{\mathbf{A}}[(a_{1},a_{2},...)]/\theta.\)
Proof. Ya que \(\pi_{\theta}\) es un homomorfismo, se puede aplicar el Lema 3.20.
3.3. Sea \(F:\mathbf{A}\rightarrow\mathbf{B}\) un homomorfismo suryectivo. Entonces \[\begin{array}{lll} A/\ker(F) & \rightarrow & B\\ a/\ker(F) & \rightarrow & F(a) \end{array}\] define sin ambigüedad una función \(\bar{F}\) la cual es un isomorfismo de \(\mathbf{A}/\ker(F)\) en \(\mathbf{B}\)
Proof. Nótese que la definición de \(\bar{F}\) es inambigua ya que si \(a/\ker(F)=a^{\prime}/\ker(F)\), entonces \(F(a)=F(a^{\prime}).\) Ya que \(F\) es sobre, tenemos que \(\bar{F}\) lo es. Supongamos que \(\bar{F}(a/\ker(F))=\bar{F}(a^{\prime}/\ker(F)).\) Claramente entonces tenemos que \(F(a)=F(a^{\prime})\), lo cual nos dice que \(a/\ker(F)=a^{\prime}/\ker(F)\). Esto prueba que \(\bar{F}\) es inyectiva. Para ver que \(\bar{F}\) es un isomorfismo, por el Lema 3.22, basta con ver que \(\bar{F}\) es un homomorfismo. Sea \(c\in\mathcal{C}\). Tenemos que \[\bar{F}(c^{\mathbf{A}/\ker(F)})=\bar{F}(c^{\mathbf{A}}/\ker(F))=F(c^{\mathbf{A}})=c^{\mathbf{B}}\] Sea \(f\in\mathcal{F}_{n}\). Sean \(a_{1},...,a_{n}\in A\). Tenemos que \[\begin{array}{ccl} \bar{F}(f^{\mathbf{A}/\ker(F)}(a_{1}/\ker(F),...,a_{n}/\ker(F))) & = & \bar{F}(f^{\mathbf{A}}(a_{1},...,a_{n})/\ker(F))\\ & = & F(f^{\mathbf{A}}(a_{1},...,a_{n}))\\ & = & f^{\mathbf{B}}(F(a_{1}),...,F(a_{n}))\\ & = & f^{\mathbf{B}}(\bar{F}(a_{1}/\ker(F)),...,\bar{F}(a_{n}/\ker(F))) \end{array}\] con lo cual \(\bar{F}\) cumple (2) de la definición de homomorfismo
Dadas \(\tau\)-álgebras \(\mathbf{A},\mathbf{B},\) definamos una nueva \(\tau\)-álgebra \(\mathbf{A}\times\mathbf{B},\) de la siguiente manera
adhocprefix(1)adhocsufix Universo de \(\mathbf{A}\times\mathbf{B}=A\times B\)
adhocprefix(2)adhocsufix \(c^{\mathbf{A}\times\mathbf{B}}=(c^{\mathbf{A}},c^{\mathbf{B}})\), para cada \(c\in\mathcal{C}\)
adhocprefix(3)adhocsufix \(f^{\mathbf{A}\times\mathbf{B}}((a_{1},b_{1}),...,(a_{n},b_{n}))=(f^{\mathbf{A}}(a_{1},...,a_{n}),f^{\mathbf{B}}(b_{1},...,b_{n}))\), para cada \(f\in\mathcal{F}_{n}\)
Llamaremos a \(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\) el producto directo de \(\mathbf{A}\) y \(\mathbf{B}.\)
Los mapeos \[\begin{array}{lll} \pi_{1}:A\times B & \rightarrow & A\\ \;\;\;\;\;(a,b) & \rightarrow & a \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{array}{lll} \pi_{2}:A\times B & \rightarrow & B\\ \;\;\;\;\;(a,b) & \rightarrow & b \end{array}\] serán llamados las proyecciones canónicas asociadas al producto \(A\times B\)
3.26. Los mapeos \(\pi_{1}:\mathbf{A}\times\mathbf{B}\rightarrow\mathbf{A}\) y \(\pi_{2}:\mathbf{A}\times\mathbf{B}\rightarrow\mathbf{B}\) son homomorfismos
Proof. Veamos que \(\pi_{1}\) es un homomorfismo. Primero nótese que si \(c\in\mathcal{C}\), entonces \[\pi_{1}(c^{\mathbf{A}\times\mathbf{B}})=\pi_{1}((c^{\mathbf{A}},c^{\mathbf{B}}))=c^{\mathbf{A}}\] Sea \(f\in\mathcal{F}_{n}\), con \(n\geq1\) y sean \((a_{1},b_{1}),...,(a_{n},b_{n})\in A\times B\). Tenemos que \[\begin{array}{ccl} \pi_{1}(f^{\mathbf{A}\times\mathbf{B}}((a_{1},b_{1}),...,(a_{n},b_{n})) & = & \pi_{1}((f^{\mathbf{A}}(a_{1},...,a_{n}),f^{\mathbf{B}}(b_{1},...,b_{n}))\\ & = & f^{\mathbf{A}}(a_{1},...,a_{n})\\ & = & f^{\mathbf{A}}(\pi_{1}(a_{1},b_{1}),...,\pi_{1}(a_{n},b_{n})) \end{array}\] con lo cual hemos probado que \(\pi_{1}\) cumple (2) de la definición de homomorfismo
3.27. Para cada \(t\in T^{\tau},\) \(((a_{1},b_{1}),(a_{2},b_{2}),...)\in(A\times B)^{\mathbf{N}},\) se tiene que \(t^{\mathbf{A}\times\mathbf{B}}[((a_{1},b_{1}),(a_{2},b_{2}),...)]=(t^{\mathbf{A}}[(a_{1},a_{2},...)],t^{\mathbf{B}}[(b_{1},b_{2},...)])\)
Desarrollaremos una notación que vuelve mas intuitiva y dinámica la escritura en lo referente a la semántica de los términos y fórmulas. Por supuesto el precio que esto tiene es que deberemos dedicarnos bastante a aprender a manejar esta notación en forma precisa, para no perder rigor matemático. Es importante manejarla bien ya que los resultados mas importantes de la materia están expresados mediante esta notación.
Supongamos \(v_{1},...,v_{n}\in Var\) y \(t\) es un término de tipo \(\tau\). Entonces escribiremos \(t=_{d}t(v_{1},...,v_{n})\) para declarar que \(v_{1},...,v_{n}\) son variables distintas y tales que toda variable que ocurre en \(t\) pertenece a \(\{v_{1},...,v_{n}\}\) (no necesariamente toda \(v_{j}\) debe ocurrir en \(t\)). Consideraremos el caso \(n=0\), es decir a veces haremos la declaración \(t=_{d}t()\) la cual simplemente expresara que \(t\) es un término cerrado.
El uso de declaraciones de la forma \(t=_{d}t(v_{1},...,v_{n})\) es muy útil cuando se lo combina con ciertas convenciones notacionales que describiremos a continuación.
Convención Notacional 1: Cuando hayamos hecho la declaración \(t=_{d}t(v_{1},...,v_{n})\), si \(P_{1},...,P_{n}\) son palabras cualesquiera (no necesariamente términos), entonces \(t(P_{1},...,P_{n})\) denotará la palabra que resulta de reemplazar simultáneamente cada ocurrencia de \(v_{1}\) en \(t\), por \(P_{1}\), cada ocurrencia de \(v_{2}\) en \(t\), por \(P_{2}\), etc.
Nótese que en esta convención notacional, el orden de las variables \(v_{1},...,v_{n}\) es clave. Por ejemplo si \(\tau=(\{\mathrm{cero}\},\{\mathrm{FU}\},\emptyset,\{(\mathrm{FU},2)\})\) y \(t=\mathrm{FU}(\mathrm{FU}(x_{2},x_{16}),x_{3})\), entonces
adhocprefix-adhocsufix Si declaramos \(t=_{d}t(x_{3},x_{2},x_{16})\), entonces \(t(\#\#,\blacktriangle\#\blacktriangle,@@)\) denotará la palabra \(\mathrm{FU}(\mathrm{FU}(\blacktriangle\#\blacktriangle,@@),\#\#)\)
adhocprefix-adhocsufix Si declaramos \(t=_{d}t(x_{16},x_{3},x_{2})\), entonces \(t(\#\#,\blacktriangle\#\blacktriangle,@@)\) denotará la palabra \(\mathrm{FU}(\mathrm{FU}(@@,\#\#),\blacktriangle\#\blacktriangle)\)
También podríamos haber declarado \(t=_{d}t(x_{3},x_{200},x_{2},x_{16},x_{100})\) y en tal caso \(t(\#\#,!!!!,\blacktriangle\#\blacktriangle,@@,!!)\) denotará la palabra \(\mathrm{FU}(\mathrm{FU}(\blacktriangle\#\blacktriangle,@@),\#\#)\).
Además nótese que si hemos hecho la declaración \(t=_{d}t(v_{1},...,v_{n})\) y \(t_{1},...,t_{n}\) son términos, entonces \(t(t_{1},...,t_{n})\) es un término. Esto se puede ver aplicando \(n\) veces (c) del Lema 3.6, aunque hay que tener en cuenta que según la Convención Notacional 1 el reemplazo para obtener \(t(t_{1},...,t_{n})\) es simultaneo por lo que las \(n\) aplicaciones antes mencionadas deben ser bien elegidas para producir el mismo efecto que en el reemplazo simultaneo. De todas maneras mas adelante probaremos esto en el Teorema de Reemplazo para Términos.
Convención Notacional 2: Cuando hayamos declarado \(t=_{d}t(v_{1},...,v_{n})\), si \(\mathbf{A}\) es un modelo de tipo \(\tau\) y \(a_{1},...,a_{n}\in A\), entonces con \(t^{\mathbf{A}}[a_{1},...,a_{n}]\) denotaremos al elemento \(t^{\mathbf{A}}[\vec{b}]\), donde \(\vec{b}\) es una asignación tal que a cada \(v_{i}\) le asigna el valor \(a_{i}\). Note que esto nos dice que para el caso \(n=0\), con \(t^{\mathbf{A}}[]\) denotaremos al elemento \(t^{\mathbf{A}}[\vec{b}]\), donde \(\vec{b}\) es una asignación cualquiera. Cabe destacar que esta notación es inambigua gracias al Lema 3.16.
De nuevo, el orden de las variables \(v_{1},...,v_{n}\) es clave. Por ejemplo si \(\tau\) y \(t\) son los dados en el ejemplo anterior y \(\mathbf{A}\) es dado por \(A=\{1,2,3\}\), \(\mathrm{cero}^{\mathbf{A}}=1\) y \(\mathrm{FU}^{\mathbf{A}}(i,j)=j\), para cada \(i,j\in A\), tenemos que
adhocprefix-adhocsufix Si declaramos \(t=_{d}t(x_{3},x_{2},x_{16})\), entonces \[t^{\mathbf{A}}[2,1,3]=\mathrm{FU}(\mathrm{FU}(x_{2},x_{16}),x_{3})^{\mathbf{A}}[2,1,3]=\mathrm{FU^{\mathbf{A}}}(\mathrm{FU^{\mathbf{A}}}(1,3),2)=2\]
adhocprefix-adhocsufix Si declaramos \(t=_{d}t(x_{16},x_{3},x_{2})\), entonces \[t^{\mathbf{A}}[2,1,3]=\mathrm{FU}(\mathrm{FU}(x_{2},x_{16}),x_{3})^{\mathbf{A}}[2,1,3]=\mathrm{FU^{\mathbf{A}}}(\mathrm{FU^{\mathbf{A}}}(3,2),1)=1\]
También podríamos haber declarado \(t=_{d}t(x_{3},x_{200},x_{2},x_{16},x_{100})\) y en tal caso \(t^{\mathbf{A}}[2,10,1,3,1000]=2\). Para dar un ejemplo con \(n=0\), si tomamos \[t=\mathrm{FU}(\mathrm{FU}(\mathrm{cero},\mathrm{cero}),\mathrm{cero})\] entonces podemos hacer la declaración \(t=_{d}t()\) y en tal caso \[t^{\mathbf{A}}[]=\mathrm{FU^{\mathbf{A}}}(\mathrm{FU^{\mathbf{A}}}(1,1),1)=1.\]
Cuando hacemos una declaración \(t=_{d}t(v_{1},...,v_{n})\) tenemos un poco mas de información que la que tenemos sobre un término \(t\) en general. Por ejemplo sabemos que si \(t\in Var\), entonces \(t\in\{v_{1},...,v_{n}\}\). Haremos entonces un lema de "lectura única de términos declarados", el cual será muy útil para hacer demostraciones usando la notación declaratoria.
3.28 (Lectura Única de Términos Declarados). Sea \(\tau\) un tipo cualquiera y supongamos \(t\in T^{\tau}\). Si \(t=_{d}t(v_{1},...,v_{n})\), entonces se da una y solo una de las siguientes:
adhocprefix(1)adhocsufix \(t=c,\) para algún \(c\in\mathcal{C}\)
adhocprefix(2)adhocsufix \(t=v_{j},\) para algún \(j\)
adhocprefix(3)adhocsufix \(t=f(t_{1},...,t_{m})\), con \(f\in\mathcal{F}_{m}\), \(m\geq1\) y \(t_{1},...,t_{m}\in T^{\tau}\) únicos
Mas aun si \(t\in T_{k+1}^{\tau}\) entonces cuando se da (3) los términos \(t_{1},...,t_{n}\) están en \(T_{k}^{\tau}\).
Proof. Es concecuencia directa del Teorema de Lectura Única de Términos.
Nótese que cuando \(n=0\) en el lema anterior, la opción (2) no puede suceder.
Convención Notacional 3: Cuando hayamos declarado \(t=_{d}t(v_{1},...,v_{n})\) y se dé el caso (3) del Lema 3.28 supondremos tácitamente que también hemos hecho las declaraciones \(t_{1}=_{d}t_{1}(v_{1},...,v_{n}),...,t_{m}=_{d}t_{m}(v_{1},...,v_{n})\). Esto lo podemos hacer ya que obviamente las variables que ocurren en cada uno de los \(t_{i}^{\prime}s\) están en \(\{v_{1},...,v_{n}\}\).
La Convención Notacional 3 nos permite enunciar el siguiente resultado que es intuitivamente claro pero para dar una prueba formal de él habría que antes dar definiciones matemáticas precisas de los conceptos de ocurrencia y de reemplazo simultáneo de ocurrencias.
3.29 (Conmutatividad de Reemplazo y Armado para Términos). Supongamos \(t=_{d}t(v_{1},...,v_{n})\) y sean \(P_{1},...,P_{n}\) palabras cualesquiera. Cuando se dé el caso (3) del lema anterior se tiene que \[t(P_{1},...,P_{n})=f(t_{1}(P_{1},...,P_{n}),...,t_{m}(P_{1},...,P_{n})).\]
El siguiente lema se basa en la Convención Notacional 3 y nos permite darle carácter recursivo a la notación \(t^{\mathbf{A}}[a_{1},....,a_{n}]\). Esto será muy útil para hacer demostraciones usando la notación declaratoria.
3.30 (Carácter Recursivo de la Notación \(t^{\mathbf{A}}[a_{1},....,a_{n}]\)). Sea \(\tau\) un tipo cualquiera y \(t\in T^{\tau}\). Supongamos \(t=_{d}t(v_{1},...,v_{n})\). Sea \(\mathbf{A}\) un modelo de tipo \(\tau\). Sean \(a_{1},...,a_{n}\in A\). Se tiene que:
adhocprefix(1)adhocsufix Si \(t=c,\) entonces \(t^{\mathbf{A}}[a_{1},....,a_{n}]=c^{\mathbf{A}}\)
adhocprefix(2)adhocsufix Si \(t=v_{j},\) entonces \(t^{\mathbf{A}}[a_{1},....,a_{n}]=a_{j}\)
adhocprefix(3)adhocsufix Si \(t=f(t_{1},...,t_{m})\), con \(f\in\mathcal{F}_{m}\) y \(t_{1},...,t_{m}\in T^{\tau}\), entonces \[t^{\mathbf{A}}[a_{1},....,a_{n}]=f^{\mathbf{A}}(t_{1}^{\mathbf{A}}[a_{1},....,a_{n}],...,t_{m}^{\mathbf{A}}[a_{1},....,a_{n}])\]
Proof. (1) y (2) son triviales.
(3) Sea \(\vec{b}\) una asignación tal que a cada \(v_{i}\) le asigna el valor \(a_{i}\). Tenemos que \[\begin{aligned} t^{\mathbf{A}}[a_{1},....,a_{n}] & =t^{\mathbf{A}}[\vec{b}]\text{ (por def. de }t^{\mathbf{A}}[a_{1},....,a_{n}]\text{)}\\ & =f^{\mathbf{A}}(t_{1}^{\mathbf{A}}[\vec{b}],...,t_{m}^{\mathbf{A}}[\vec{b}])\text{ (por def. de }t^{\mathbf{A}}[\vec{b}]\text{)}\\ & =f^{\mathbf{A}}(t_{1}^{\mathbf{A}}[a_{1},....,a_{n}],...,t_{m}^{\mathbf{A}}[a_{1},....,a_{n}])\text{ (por def. de cada }t_{i}^{\mathbf{A}}[a_{1},....,a_{n}]\text{)} \end{aligned}\]
Veamos un ejemplo de como se pueden probar cosas con la notación declaratoria.
3.31. Supongamos que \(F:\mathbf{A}\rightarrow\mathbf{B}\) es un homomorfismo. Sean \(t=_{d}t(v_{1},...,v_{n})\in T^{\tau}\) y \(a_{1},...,a_{n}\in A\). Entonces \[F(t^{\mathbf{A}}[a_{1},...,a_{n}])=t^{\mathbf{B}}[F(a_{1}),...,F(a_{n})]\]
Proof. Usaremos la Regla de Inducción desde 0. Para cada \(k\in\omega\) sea \(\mathrm{Enu}_{k}\) el siguiente enunciado:
adhocprefix\(\mathrm{Enu}_{k}\):adhocsufix Supongamos \(F:\mathbf{A}\rightarrow\mathbf{B}\) un homomorfismo. Sean \(t=_{d}t(v_{1},...,v_{n})\in T_{k}^{\tau}\) y \(a_{1},...,a_{n}\in A\). Entonces \[F(t^{\mathbf{A}}[a_{1},...,a_{n}])=t^{\mathbf{B}}[F(a_{1}),...,F(a_{n})]\]
Hagamos entonces lo que nos encomienda la Regla de Inducción desde \(0\).
Prueba de que \(\mathrm{Enu}_{0}\) es verdadero. Supongamos \(F:\mathbf{A}\rightarrow\mathbf{B}\) es un homomorfismo y sean \(t=_{d}(v_{1},...,v_{n})\in T_{0}^{\tau}\) y \(a_{1},...,a_{n}\in A\). Ya que \(T_{0}^{\tau}=Var\cup\mathcal{C}\), tenemos que dos casos posibles. En ambos utilizaremos el Lema Caracter Recursivo de la Notación \(t^{\mathbf{A}}[a_{1},....,a_{n}]\).
Caso \(t=v_{j}\), para algún \(j\). Tenemos que \[\begin{aligned} F(t^{\mathbf{A}}[a_{1},....,a_{n}]) & =F(a_{j})\\ & =t^{\mathbf{B}}[F(a_{1}),...,F(a_{n})] \end{aligned}\]
Caso \(t=c\), para algún \(c\in\mathcal{C}\). Tenemos que \[\begin{aligned} F(t^{\mathbf{A}}[a_{1},....,a_{n}]) & =F(c^{\mathbf{A}})\\ & =c^{\mathbf{B}}\\ & =t^{\mathbf{B}}[F(a_{1}),...,F(a_{n})] \end{aligned}\]
Prueba de que si \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero entonces \(\mathrm{Enu}_{k+1}\) lo es. Supongamos entonces que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\). Supongamos \(F:\mathbf{A}\rightarrow\mathbf{B}\) es un homomorfismo y sean \(t=_{d}(v_{1},...,v_{n})\in T_{k+1}^{\tau}\) y \(a_{1},...,a_{n}\in A\). Por el Lema de Lectura Única de Términos Declarados hay varios casos.
Caso \(t=c,\) para algún \(c\in\mathcal{C}\). Ya fue probado en la prueba de \(\mathrm{Enu}_{0}\).
Caso \(t=v_{j}\), para algún \(j\). Ya fue probado en la prueba de \(\mathrm{Enu}_{0}\).
Caso \(t=f(t_{1},...,t_{m})\), con \(f\in\mathcal{F}_{m}\), \(m\geq1\) y \(t_{1},...,t_{m}\in T^{\tau}\). Ya que \(t\in T_{k+1}^{\tau}\) el mismo lema nos dice que \(t_{1},...,t_{m}\in T_{k}^{\tau}\). Dado que hemos declarado \(t=_{d}(v_{1},...,v_{n})\), por la Convención Notacional 3, tenemos declarados también \(t_{1}=_{d}t_{1}(v_{1},...,v_{n}),...,t_{m}=_{d}t_{m}(v_{1},...,v_{n})\). Ya que \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero, tenemos que \[F(t_{i}^{\mathbf{A}}[a_{1},...,a_{n}])=t_{i}^{\mathbf{B}}[F(a_{1}),...,F(a_{n})]\] para cada \(i=1,...,m\). Entonces \[\begin{aligned} F(t^{\mathbf{A}}[a_{1},....,a_{n}]) & =F(f^{\mathbf{A}}(t_{1}^{\mathbf{A}}[a_{1},...,a_{n}],...,t_{m}^{\mathbf{A}}[a_{1},...,a_{n}]))\\ & =f^{\mathbf{B}}(F(t_{1}^{\mathbf{A}}[a_{1},...,a_{n}]),...,F(t_{m}^{\mathbf{A}}[a_{1},...,a_{n}]))\\ & =f^{\mathbf{B}}(t_{1}^{\mathbf{B}}[F(a_{1}),...,F(a_{n})],...,t_{m}^{\mathbf{B}}[F(a_{1}),...,F(a_{n})])\text{ }\\ & =t^{\mathbf{B}}[F(a_{1}),...,F(a_{n})] \end{aligned}\] lo cual nos dice que \(\mathrm{Enu}_{k+1}\) es verdadero.
Supongamos \(v_{1},...,v_{n}\in Var\) y \(\varphi\) es una fórmula de tipo \(\tau\). Entonces escribiremos \(\varphi=_{d}\varphi(v_{1},...,v_{n})\) para declarar que \(v_{1},...,v_{n}\) son variables distintas y tales que \(Li(\varphi)\subseteq\{v_{1},...,v_{n}\}\). Consideraremos el caso \(n=0\), es decir a veces haremos la declaración \(\varphi=_{d}\varphi()\) la cual simplemente expresara que \(\varphi\) es una sentencia. Tal como para el caso de términos, el uso de declaraciones de la forma \(\varphi=_{d}\varphi(v_{1},...,v_{n})\) será muy útil cuando se combina con ciertas convenciones notacionales que describiremos a continuación.
Convención Notacional 4: Cuando hayamos hecho la declaración \(\varphi=_{d}\varphi(v_{1},...,v_{n})\), si \(P_{1},...,P_{n}\) son palabras cualesquiera, entonces \(\varphi(P_{1},...,P_{n})\) denotará la palabra que resulta de reemplazar simultáneamente cada ocurrencia libre de \(v_{1}\) en \(\varphi\), por \(P_{1}\), cada ocurrencia libre de \(v_{2}\) en \(\varphi\), por \(P_{2}\), etc.
Nótese que si hemos hecho la declaración \(\varphi=_{d}\varphi(v_{1},...,v_{n})\) y \(t_{1},...,t_{n}\) son términos, entonces \(\varphi(t_{1},...,t_{n})\) es una fórmula. Esto se puede ver aplicando \(n\) veces (g) del Lema de Ocurrencias de Términos en Fórmulas aunque hay que tener en cuenta que según la Convención Notacional 3 el reemplazo para obtener \(\varphi(t_{1},...,t_{n})\) es simultaneo por lo que las \(n\) aplicaciones antes mencionadas deben ser bien elegidas para producir el mismo efecto que en el reemplazo simultaneo. De todas maneras mas adelante probaremos esto en el Teorema de Reemplazo para Fórmulas.
Tal como para el caso de términos, en esta Convención Notacional 4, el orden de las variables \(v_{1},...,v_{n}\) es clave. Es fácil dar el ejemplo análogo al dado para términos.
Convención Notacional 5: Cuando hayamos declarado \(\varphi=_{d}\varphi(v_{1},...,v_{n})\), si \(\mathbf{A}\) es un modelo de tipo \(\tau\) y \(a_{1},...,a_{n}\in A\), entonces \(\mathbf{A}\models\varphi[a_{1}...,a_{n}]\) significara que \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{b}],\) donde \(\vec{b}\) es una asignación tal que a cada \(v_{i}\) le asigna el valor \(a_{i}\). Note que esto nos dice que para el caso \(n=0\), \(\mathbf{A}\models\varphi[]\) significara que \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{b}],\) donde \(\vec{b}\) es una asignación cualquiera. (Nótese que esta convención es inambigua gracias al Lema 3.17). En gral \(\mathbf{A}\not\models\varphi[a_{1},....,a_{n}]\) significara que no sucede \(\mathbf{A}\models\varphi[a_{1},....,a_{n}]\).
Nuevamente cabe destacar que en esta convención notacional, el orden de las variables \(v_{1},...,v_{n}\) es clave. Veamos un ejemplo. Sea \(\tau=(\emptyset,\{\mathrm{F}\},\{\mathrm{E}\},\{(\mathrm{F},1),(\mathrm{E},2)\})\) y sea \[\varphi=((\mathrm{F}(x_{16})\equiv\mathrm{F}(x_{17}))\wedge\forall x_{16}\mathrm{E}(x_{2},x_{16}))\] Sea \(\mathbf{A}\) el modelo de tipo \(\tau\) dado por \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(\mathrm{F}^{\mathbf{A}}(x)=\max\{x,3\}\) y \(\mathrm{E}^{\mathbf{A}}=\{1\}\times A\). Entonces
adhocprefix-adhocsufix Si declaramos \(\varphi=_{d}\varphi(x_{2},x_{16},x_{17},x_{18})\) tenemos que \(\mathbf{A}\models\varphi[1,2,2,4]\)
adhocprefix-adhocsufix Si declaramos \(\varphi=_{d}\varphi(x_{18},x_{16},x_{17},x_{2})\) tenemos que no se da que \(\mathbf{A}\models\varphi[1,2,2,4]\), es decir \(\mathbf{A}\not\models\varphi[1,2,2,4]\).
Para establecer nuestra Convención Notacional 6, debemos antes enunciar un "lema de lectura única de fórmulas declaradas".
3.32 (Lectura Única de Fórmulas Declaradas). Sea \(\tau\) un tipo cualquiera y \(\varphi\in F^{\tau}\). Supongamos \(\varphi=_{d}\varphi(v_{1},...,v_{n})\). Entonces se da una y solo una de las siguientes:
adhocprefix(1)adhocsufix \(\varphi=(t\equiv s)\), con \(t,s\in T^{\tau}\), únicos
adhocprefix(2)adhocsufix \(\varphi=r(t_{1},...,t_{m})\), con \(r\in\mathcal{R}_{m}\) y \(t_{1},...,t_{m}\in T^{\tau}\), únicos
adhocprefix(3)adhocsufix \(\varphi=(\varphi_{1}\eta\varphi_{2}),\) con \(\eta\in\{\wedge,\vee,\rightarrow,\leftrightarrow\},\;\varphi_{1},\varphi_{2}\in F^{\tau}\), únicas
adhocprefix(4)adhocsufix \(\varphi=\lnot\varphi_{1}\), con \(\varphi_{1}\in F^{\tau}\), única
adhocprefix(5)adhocsufix \(\varphi=Qv_{j}\varphi_{1}\), con \(Q\in\{\forall,\exists\}\), \(j\in\{1,...,n\}\) y \(\varphi_{1}\in F^{\tau}\), únicas
adhocprefix(6)adhocsufix \(\varphi=Qv\varphi_{1}\), con \(Q\in\{\forall,\exists\}\), \(v\in Var-\{v_{1},...,v_{n}\}\) y \(\varphi_{1}\in F^{\tau}\), únicas
Mas aun si \(\varphi\in F_{k+1}^{\tau}\) entonces cuando se da (3) las fórmulas \(\varphi_{1}\text{ y }\varphi_{2}\) están en \(F_{k}^{\tau}\) y cuando se da (4) o (5) o (6) la fórmula \(\varphi_{1}\) esta en \(F_{k}^{\tau}\).
Proof. Es consecuencia directa del Teorema de Lectura Única de Fórmulas.
Nótese que cuando \(n=0\) en el lema anterior, la opción (5) no puede suceder.
Observación: Cuando hayamos declarado \(\varphi=_{d}\varphi(v_{1},...,v_{n})\), entonces:
Si se da el caso (1) del Lema 3.32, entonces las variables que ocurren en \(t\) y \(s\) están en \(\{v_{1},...,v_{n}\}\).
Si se da el caso (2) del Lema 3.32, entonces las variables que ocurren en \(t_{1},...,t_{m}\) están en \(\{v_{1},...,v_{n}\}\).
Si se el caso (3) del Lema 3.32, entonces \(Li(\varphi_{1})\cup Li(\varphi_{2})\subseteq\{v_{1},...,v_{n}\}\)
Si se da el caso (4) o el (5) del Lema 3.32, entonces \(Li(\varphi_{1})\subseteq\{v_{1},...,v_{n}\}\)
Si se da el caso (6) del Lema 3.32, entonces \(Li(\varphi_{1})\subseteq\{v_{1},...,v_{n},v\}\)
La observación anterior nos permite hacer la siguiente:
Convención Notacional 6: Cuando hayamos declarado \(\varphi=_{d}\varphi(v_{1},...,v_{n})\), entonces:
Si se da el caso (1) del Lema 3.32, supondremos tácitamente que también hemos hecho las declaraciones \(t=_{d}t(v_{1},...,v_{n})\) y \(s=_{d}s(v_{1},...,v_{n})\).
Si se da el caso (2) del Lema 3.32, supondremos tácitamente que también hemos hecho las declaraciones \(t_{1}=_{d}t_{1}(v_{1},...,v_{n}),...,t_{m}=_{d}t_{m}(v_{1},...,v_{n})\).
Si se el caso (3) del Lema 3.32, supondremos tácitamente que también hemos hecho las declaraciones \(\varphi_{1}=_{d}\varphi_{1}(v_{1},...,v_{n})\) y \(\varphi_{2}=_{d}\varphi_{2}(v_{1},...,v_{n})\).
Si se da el caso (4) o el (5) del Lema 3.32, supondremos tácitamente que también hemos hecho la declaración \(\varphi_{1}=_{d}\varphi_{1}(v_{1},...,v_{n})\).
Si se da el caso (6) del Lema 3.32, supondremos tácitamente que también hemos hecho la declaración \(\varphi_{1}=_{d}\varphi_{1}(v_{1},...,v_{n},v)\).
La Convención Notacional 6 nos permite enunciar el siguiente resultado que es intuitivamente claro pero para dar una prueba formal de él habría que antes dar definiciones matemáticas precisas de los conceptos de ocurrencia y de reemplazo simultáneo de ocurrencias.
3.33 (Conmutatividad de Reemplazo y Armado para Fórmulas). Supongamos \(\varphi=_{d}\varphi(v_{1},...,v_{n})\) y sean \(P_{1},...,P_{n}\) palabras cualesquiera. Se tiene que
adhocprefix-adhocsufix Si se da el caso (1) del Lema 3.32, entonces \[\varphi(P_{1},...,P_{n})=(t(P_{1},...,P_{n})\equiv s(P_{1},...,P_{n}))\]
adhocprefix-adhocsufix Si se da el caso (2) del Lema 3.32, entonces \[\varphi(P_{1},...,P_{n})=r(t_{1}(P_{1},...,P_{n}),...,t_{m}(P_{1},...,P_{n}))\]
adhocprefix-adhocsufix Si se el caso (3) del Lema 3.32, entonces \[\varphi(P_{1},...,P_{n})=(\varphi_{1}(P_{1},...,P_{n})\eta\varphi_{2}(P_{1},...,P_{n}))\]
adhocprefix-adhocsufix Si se da el caso (4) del Lema 3.32, entonces \[\varphi(P_{1},...,P_{n})=\neg\varphi_{1}(P_{1},...,P_{n})\]
adhocprefix-adhocsufix Si se da el caso (5) del Lema 3.32, entonces \[\varphi(P_{1},...,P_{n})=Qv_{j}\varphi_{1}(P_{1},...,P_{n})\]
adhocprefix-adhocsufix Si se da el caso (6) del Lema 3.32, entonces \[\varphi(P_{1},...,P_{n})=Qv\varphi_{1}(P_{1},...,P_{n},v)\]
El siguiente lema se basa en la Convención Notacional 6 y nos permite darle carácter recursivo a la notación \(\mathbf{A}\models\varphi[a_{1},....,a_{n}]\). Esto será muy útil para hacer demostraciones usando la notación declaratoria.
3.34 (Carácter Recursivo de la Notación \(\mathbf{A}\models\varphi[a_{1},....,a_{n}]\)). Supongamos \(\varphi=_{d}\varphi(v_{1},...,v_{n})\). Sea \(\mathbf{A}=(A,i)\) un modelo de tipo \(\tau\) y sean \(a_{1},...,a_{n}\in A\). Entonces
adhocprefix(1)adhocsufix Si \(\varphi=(t\equiv s)\), entonces
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[a_{1},....,a_{n}]\) si y solo si \(t^{\mathbf{A}}[a_{1},...,a_{n}]=s^{\mathbf{A}}[a_{1},...,a_{n}]\)
adhocprefix(2)adhocsufix Si \(\varphi=r(t_{1},...,t_{m})\), entonces
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[a_{1},....,a_{n}]\) si y solo si \((t_{1}^{\mathbf{A}}[a_{1},...,a_{n}],...,t_{m}^{\mathbf{A}}[a_{1},...,a_{n}])\in r^{\mathbf{A}}\)
adhocprefix(3)adhocsufix Si \(\varphi=(\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}),\) entonces
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[a_{1},....,a_{n}]\) si y solo si \(\mathbf{A}\models\varphi_{1}[a_{1},....,a_{n}]\) y \(\mathbf{A}\models\varphi_{2}[a_{1},....,a_{n}]\)
adhocprefix(4)adhocsufix Si \(\varphi=(\varphi_{1}\vee\varphi_{2}),\) entonces
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[a_{1},....,a_{n}]\) si y solo si \(\mathbf{A}\models\varphi_{1}[a_{1},....,a_{n}]\) o \(\mathbf{A}\models\varphi_{2}[a_{1},....,a_{n}]\)
adhocprefix(5)adhocsufix Si \(\varphi=(\varphi_{1}\rightarrow\varphi_{2}),\) entonces
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[a_{1},....,a_{n}]\) si y solo si \(\mathbf{A}\models\varphi_{2}[a_{1},....,a_{n}]\) o \(\mathbf{A}\not\models\varphi_{1}[a_{1},....,a_{n}]\)
adhocprefix(6)adhocsufix Si \(\varphi=(\varphi_{1}\leftrightarrow\varphi_{2}),\) entonces
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[a_{1},....,a_{n}]\) si y solo si ya sea \(\mathbf{A}\models\varphi_{1}[a_{1},....,a_{n}]\) y \(\mathbf{A}\models\varphi_{2}[a_{1},....,a_{n}]\) o \(\mathbf{A}\not\models\varphi_{1}[a_{1},....,a_{n}]\) y \(\mathbf{A}\not\models\varphi_{2}[a_{1},....,a_{n}]\)
adhocprefix(7)adhocsufix Si \(\varphi=\lnot\varphi_{1},\) entonces
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[a_{1},....,a_{n}]\) si y solo si \(\mathbf{A}\not\models\varphi_{1}[a_{1},....,a_{n}]\)
adhocprefix(8)adhocsufix Si \(\varphi=\forall v_{j}\varphi_{1},\) entonces
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[a_{1},....,a_{n}]\) si y solo si \(\mathbf{A}\models\varphi_{1}[a_{1},....,a_{j-1},a,a_{j+1},...,a_{n}],\) para todo \(a\in A.\)
adhocprefix(9)adhocsufix Si \(\varphi=\forall v\varphi_{1},\) con \(v\not\in\{v_{1},...,v_{n}\}\), entonces
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[a_{1},....,a_{n}]\) si y solo si \(\mathbf{A}\models\varphi_{1}[a_{1},....,a_{n},a]\), para todo \(a\in A.\)
adhocprefix(10)adhocsufix Si \(\varphi=\exists v_{j}\varphi_{1}\), entonces
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[a_{1},....,a_{n}]\) si y solo si \(\mathbf{A}\models\varphi_{1}[a_{1},....,a_{j-1},a,a_{j+1},...,a_{n}]\), para algún \(a\in A.\)
adhocprefix(11)adhocsufix Si \(\varphi=\exists v\varphi_{1}\), con \(v\not\in\{v_{1},...,v_{n}\}\), entonces
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[a_{1},....,a_{n}]\) si y solo si \(\mathbf{A}\models\varphi_{1}[a_{1},....,a_{n},a]\), para algún \(a\in A.\)
Proof. Rutina.
Note que en el caso \(n=0\) las opciones (8) y (10) no pueden suceder.
3.3. Supongamos \(\psi=_{d}\psi(v)\) y sea \(\mathbf{A}\) una estructura de tipo \(\tau\). Entonces
adhocprefix(a)adhocsufix \(\mathbf{A}\models\exists v\psi(v)\) si y solo si existe \(a\in A\) tal que \(\mathbf{A}\models\psi[a]\)
adhocprefix(b)adhocsufix \(\mathbf{A}\models\forall v\psi(v)\) si y solo si para cada \(a\in A\) se tiene que \(\mathbf{A}\models\psi[a]\)
Proof. (a) Sea \(\varphi=\exists v\psi(v)\). Declaremos \(\varphi=_{d}\varphi()\). Por el caso (11) del lema de anterior (aplicado a esta última declaración) tenemos que se da \(\mathbf{A}\models\varphi[]\) si y solo si existe \(a\in A\) tal que \(\mathbf{A}\models\psi[a]\). Pero nótese que las definiciones de \(\mathbf{A}\models\varphi[]\) y de \(\mathbf{A}\models\varphi\) coinciden.
Probaremos dos teoremas muy importantes que en algún sentido nos dicen que el reemplazo sintáctico conmuta con la valuación semántica. Usaremos la notación declaratoria para expresarlos ya que los vuelve mucho mas accesibles e intuitivos.
3.4 (Teorema de Reemplazo para Términos). Supongamos \(t=_{d}t(w_{1},...,w_{k}),\) \(s_{1}=_{d}s_{1}(v_{1},...,v_{n}),...,s_{k}=_{d}s_{k}(v_{1},...,v_{n})\). Entonces
adhocprefix(a)adhocsufix \(t(s_{1},...,s_{k})\in T^{\tau}\)
adhocprefix(b)adhocsufix Todas las variables de \(t(s_{1},...,s_{k})\) están en \(\{v_{1},...,v_{n}\}\)
adhocprefix(c)adhocsufix Si declaramos \(t(s_{1},...,s_{k})=_{d}t(s_{1},...,s_{k})(v_{1},...,v_{n})\), entonces para cada estructura \(\mathbf{A}\) y \(a_{1},....,a_{n}\in A,\) se tiene que \[t(s_{1},...,s_{k})^{\mathbf{A}}[a_{1},....,a_{n}]=t^{\mathbf{A}}[s_{1}^{\mathbf{A}}[a_{1},....,a_{n}],...,s_{k}^{\mathbf{A}}[a_{1},....,a_{n}]].\]
Proof. Usaremos la Regla de Inducción desde 0. Para cada \(l\in\omega\) sea \(\mathrm{Enu}_{l}\) el siguiente enunciado:
adhocprefix\(\mathrm{Enu}_{l}\):adhocsufix Supongamos \(t=_{d}t(w_{1},...,w_{k})\in T_{l}^{\tau}\) y \(s_{1}=_{d}s_{1}(v_{1},...,v_{n}),...,s_{k}=_{d}s_{k}(v_{1},...,v_{n})\). Entonces
adhocprefix(a)adhocsufix \(t(s_{1},...,s_{k})\in T^{\tau}\)
adhocprefix(b)adhocsufix Todas las variables de \(t(s_{1},...,s_{k})\) están en \(\{v_{1},...,v_{n}\}\)
adhocprefix(c)adhocsufix Si declaramos \(t(s_{1},...,s_{k})=_{d}t(s_{1},...,s_{k})(v_{1},...,v_{n})\), entonces para cada estructura \(\mathbf{A}\) y \(a_{1},....,a_{n}\in A,\) se tiene que \[t(s_{1},...,s_{k})^{\mathbf{A}}[a_{1},....,a_{n}]=t^{\mathbf{A}}[s_{1}^{\mathbf{A}}[a_{1},....,a_{n}],...,s_{k}^{\mathbf{A}}[a_{1},....,a_{n}]].\]
Hagamos entonces lo que nos encomienda la Regla de Inducción desde \(0\).
Prueba de que \(\mathrm{Enu}_{0}\) es verdadero. Supongamos \(t=_{d}t(w_{1},...,w_{k})\in T_{0}^{\tau}\) y \(s_{1}=_{d}s_{1}(v_{1},...,v_{n}),...,s_{k}=_{d}s_{k}(v_{1},...,v_{n})\). Probaremos que se cumplen (a), (b) y (c) para \(t,s_{1},...,s_{k}\). Ya que \(t\in T_{0}^{\tau}=Var\cup\mathcal{C}\) tenemos dos casos.
Caso \(t=w_{j}\), para algún \(j\). Notar que \(t(s_{1},...,s_{k})=s_{j}\) por lo cual se cumplen (a) y (b). Veamos que se cumple (c). Declaremos \(t(s_{1},...,s_{k})=_{d}t(s_{1},...,s_{k})(v_{1},...,v_{n})\) (esta declaración ya estaba hecha ya que \(t(s_{1},...,s_{k})=s_{j}\)). Sea \(\mathbf{A}\)una estructura y \(a_{1},....,a_{n}\in A\). Aplicando el Lema Caracter Recursivo de la Notación \(t^{\mathbf{A}}[a_{1},....,a_{n}]\) tenemos que \[\begin{array}{ccl} t(s_{1},...,s_{k})^{\mathbf{A}}[\vec{a}] & = & s_{j}^{\mathbf{A}}[\vec{a}]\\ & = & w_{j}^{\mathbf{A}}[s_{1}^{\mathbf{A}}[a_{1},....,a_{n}],...,s_{k}^{\mathbf{A}}[a_{1},....,a_{n}]]\\ & = & t^{\mathbf{A}}[s_{1}^{\mathbf{A}}[a_{1},....,a_{n}],...,s_{k}^{\mathbf{A}}[a_{1},....,a_{n}]] \end{array}\]
Caso \(t=c\), para algún \(c\in\mathcal{C}\). Notar que \(t(s_{1},...,s_{k})=c\) por lo cual se cumplen (a) y (b). Veamos que se cumple (c). Declaremos \(t(s_{1},...,s_{k})=_{d}t(s_{1},...,s_{k})(v_{1},...,v_{n})\). Sea \(\mathbf{A}\) una estructura y \(a_{1},....,a_{n}\in A\). Aplicando el Lema Caracter Recursivo de la Notación \(t^{\mathbf{A}}[a_{1},....,a_{n}]\) tenemos que \[\begin{array}{ccl} t(s_{1},...,s_{k})^{\mathbf{A}}[\vec{a}] & = & c^{\mathbf{A}}[\vec{a}]\\ & = & c^{\mathbf{A}}\\ & = & t^{\mathbf{A}}[s_{1}^{\mathbf{A}}[a_{1},....,a_{n}],...,s_{k}^{\mathbf{A}}[a_{1},....,a_{n}]] \end{array}\]
Prueba de que si \(\mathrm{Enu}_{l}\) es verdadero entonces \(\mathrm{Enu}_{l+1}\) lo es. Supongamos entonces que vale \(\mathrm{Enu}_{l}\). Supongamos \(t=_{d}t(w_{1},...,w_{k})\in T_{l+1}^{\tau}\) y \(s_{1}=_{d}s_{1}(v_{1},...,v_{n}),...,s_{k}=_{d}s_{k}(v_{1},...,v_{n})\). Probaremos que se cumplen (a), (b) y (c) para \(t,s_{1},...,s_{k}\). Por el Lema de Lectura Única de Términos Declarados hay varios casos.
Caso \(t=c,\) para algún \(c\in\mathcal{C}\). Ya fue probado en la prueba de \(\mathrm{Enu}_{0}\).
Caso \(t=w_{j}\), para algún \(j\). Ya fue probado en la prueba de \(\mathrm{Enu}_{0}\).
Caso \(t=f(t_{1},...,t_{m})\), con \(f\in\mathcal{F}_{m}\), \(m\geq1\) y \(t_{1},...,t_{m}\in T^{\tau}\). Ya que \(t\in T_{l+1}^{\tau}\) el mismo lema nos dice que \(t_{1},...,t_{m}\in T_{l}^{\tau}\). Nótese que por nuestra Convención Notacional 3 asumimos ya hechas las declaraciones \[t_{1}=_{d}t_{1}(w_{1},...,w_{k}),...,t_{m}=_{d}t_{m}(w_{1},...,w_{k})\] Ya que \(\mathrm{Enu}_{l}\) es verdadero tenemos que cada \(t_{i}(s_{1},...,s_{k})\) es un término cuyas variables están en \(\{v_{1},...,v_{n}\}\). Declaremos entonces: \[t_{i}(s_{1},...,s_{k})=_{d}t_{i}(s_{1},...,s_{k})(v_{1},...,v_{n}),\text{ }i=1,...,m\] Ya que \[t(s_{1},...,s_{k})=f(t_{1}(s_{1},...,s_{k}),...,t_{m}(s_{1},...,s_{k}))\] tenemos que \(t(s_{1},...,s_{k})\) es un término cuyas variables están en \(\{v_{1},...,v_{n}\}\). Esto prueba que se cumplen (a) y (b) para \(t,s_{1},...,s_{k}\). Para probar (c), notemos que por \(\mathrm{Enu}_{l}\) se tiene que \[t_{i}(s_{1},...,s_{k})^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=t_{i}^{\mathbf{A}}[s_{1}^{\mathbf{A}}[\vec{a}],...,s_{k}^{\mathbf{A}}[\vec{a}]],\text{ }i=1,...,m\] Declaremos \(t(s_{1},...,s_{k})=_{d}t(s_{1},...,s_{k})(v_{1},...,v_{n})\). Se tiene que \[\begin{array}{ccl} t(s_{1},...,s_{k})^{\mathbf{A}}[\vec{a}] & = & f(t_{1}(s_{1},...,s_{k}),...,t_{m}(s_{1},...,s_{k}))^{\mathbf{A}}[\vec{a}]\\ & = & f^{\mathbf{A}}(t_{1}(s_{1},...,s_{k})^{\mathbf{A}}[\vec{a}],...,t_{m}(s_{1},...,s_{k})^{\mathbf{A}}[\vec{a}])\\ & = & f^{\mathbf{A}}(t_{1}^{\mathbf{A}}[s_{1}^{\mathbf{A}}[\vec{a}],...,s_{k}^{\mathbf{A}}[\vec{a}]],...,t_{m}^{\mathbf{A}}[s_{1}^{\mathbf{A}}[\vec{a}],...,s_{k}^{\mathbf{A}}[\vec{a}]])\\ & = & t^{\mathbf{A}}[s_{1}^{\mathbf{A}}[\vec{a}],...,s_{k}^{\mathbf{A}}[\vec{a}]] \end{array}\] lo cual prueba que se cumple (c) para \(t,s_{1},...,s_{k}\).
En el sentido mas general, el reemplazo de variables libres en fórmulas por términos no preserva el significado. Por ejemplo sea \(\varphi=\exists x_{1}(f(x_{1})\equiv x_{2})\) y declaremos \(\varphi=_{d}\varphi(x_{2})\). Es claro que dada una estructura \(\mathbf{A}\), tenemos que \(\mathbf{A}\models\varphi[a]\) si y solo si \(a\) está en la imagen de \(f^{\mathbf{A}}\), es decir la fórmula \(\varphi(x_{2})\) dice "\(x_{2}\) está en la imagen de \(f^{\mathbf{A}}\)". Uno entonces esperaría que \(\varphi(x_{1})\) diga "\(x_{1}\) está en la imagen de \(f^{\mathbf{A}}\)" pero esto no es así ya que \(\varphi(x_{1})\) es igual a \(\exists x_{1}(f(x_{1})\equiv x_{1})\) y por lo tanto ni siquiera habla acerca de \(x_{1}\) ya que \(\varphi(x_{1})\) es una sentencia. Mas aún, esta sentencia es verdadera en \(\mathbf{A}\) sii \(f^{\mathbf{A}}(a)=a\), para algún \(a\in A\).
El problema aquí surge porque la variable que va a reemplazar a la variable libre \(x_{2}\) (o sea \(x_{1}\)) queda afectada por el cuantificador \(\exists x_{1}\) ya que la ocurrencia libre de \(x_{2}\) que será reemplazada por \(x_{1}\) está justamente en el alcance de dicho cuantificador. Esto obviamente rompe el significado original.
O sea que para expresar el teorema de reemplazo para fórmulas necesitaremos dar una definición que garantice que cuando reemplazamos una variable libre \(v\) por otra variable \(w\) en una fórmula, el significado de la fórmula no se altere. Daremos a continuación el concepto de sustitución de variables en forma precisa. Antes el concepto de alcance el cual esta emparentado con el de sustitución de variables.
3.35. Si \(Qv\) ocurre en \(\varphi\) a partir de \(i\), entonces hay una única fórmula \(\psi\) tal que \(Qv\psi\) ocurre en \(\varphi\) a partir de \(i\).
Proof. Nótese que la formula \(\psi\) de la que habla el enunciado es siempre única ya que nunca una formula puede ser tramo inicial propio de otra formula. O sea que sólo es necesario probar la existencia. Para esto usaremos la Regla de Inducción desde 0. Para cada \(k\in\omega\) sea \(\mathrm{Enu}_{k}\) el siguiente enunciado:
adhocprefix\(\mathrm{Enu}_{k}\):adhocsufix Si \(Qv\) ocurre en \(\varphi\) a partir de \(i\) y \(\varphi\in F_{k}^{\tau}\), entonces hay una fórmula \(\psi\) tal que \(Qv\psi\) ocurre en \(\varphi\) a partir de \(i\).
Hagamos entonces lo que nos encomienda la Regla de Inducción desde \(0\).
Prueba de que \(\mathrm{Enu}_{0}\) es verdadero. Trivial ya que \(Qv\) nunca ocurre en una fórmula atómica.
Prueba de que si \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero entonces \(\mathrm{Enu}_{k+1}\) lo es. Supongamos entonces que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\). Supongamos \(Qv\) ocurre en \(\varphi\) a partir de \(i\) y \(\varphi\in F_{k+1}^{\tau}\). Por definición de \(F_{k+1}^{\tau}\), hay varios casos.
Caso \(\varphi\in F_{k}^{\tau}\). Ya que es verdadero \(\mathrm{Enu}_{k}\), es claro que se cumple la conclusión de \(\mathrm{Enu}_{k+1}\).
Caso \(\varphi=(\varphi_{1}\vee\varphi_{2})\), con \(\varphi_{1},\varphi_{2}\in F_{k}^{\tau}\). Nótese que \(i\in\{2,\left|\varphi_{1}\right|\}\) o \(i\in\{\left|(\varphi_{1}\vee\right|+1,\left|(\varphi_{1}\vee\varphi_{2}\right|\}\). En el primer caso resulta que \(Qv\) ocurre en \(\varphi_{1}\) a partir de \(i-1\) lo cual por ser verdadero \(\mathrm{Enu}_{k}\) nos dice que hay una fórmula \(\psi\) tal que \(Qv\psi\) ocurre en \(\varphi_{1}\) a partir de \(i-1\). En el segundo caso resulta que \(Qv\) ocurre en \(\varphi_{2}\) a partir de \(i-\left|(\varphi_{1}\vee\right|\) lo cual por ser verdadero \(\mathrm{Enu}_{k}\) nos dice que hay una fórmula \(\psi\) tal que \(Qv\psi\) ocurre en \(\varphi_{1}\) a partir de \(i-\left|(\varphi_{1}\vee\right|\). En ambos casos \(Qv\psi\) ocurre en \(\varphi\) a partir de \(i\).
Los casos \(\varphi=(\varphi_{1}\wedge\varphi_{2})\), \(\varphi=(\varphi_{1}\rightarrow\varphi_{2})\), \(\varphi=(\varphi_{1}\leftrightarrow\varphi_{2})\) y \(\varphi=\neg\varphi_{1}\) son análogos al caso anterior.
Caso \(\varphi=\forall x_{j}\varphi_{1}\), \(\varphi_{1}\in F_{k}^{\tau}\) y \(j\in\mathbf{N}\). Si \(i=1\), entonces \(Q=\forall\) y \(v=x_{j}\) y claramente podemos tomar \(\psi=\varphi_{1}\) para corroborar que \(\mathrm{Enu}_{k+1}\) es cierto. Si \(i>1\), entonces claramente deberá suceder que \(i\in\{\left|\forall x_{j}\right|+1,\left|\varphi\right|\}\). Pero entonces \(Qv\) ocurre en \(\varphi_{1}\) a partir de \(i-\left|\forall x_{j}\right|\) lo cual por ser verdadero \(\mathrm{Enu}_{k}\) nos dice que hay una fórmula \(\psi\) tal que \(Qv\psi\) ocurre en \(\varphi_{1}\) a partir de \(i-\left|\forall x_{j}\right|\). Pero entonces \(Qv\psi\) ocurre en \(\varphi\) a partir de \(i\).
Caso \(\varphi=\exists x_{j}\varphi_{1}\), \(\varphi_{1}\in F_{k}^{\tau}\) y \(j\in\mathbf{N}\). Similar al caso anterior.
Dada una ocurrencia de \(Qv\) en una fórmula \(\varphi\), la fórmula \(\psi\) del lema anterior será llamada el alcance de dicha ocurrencia en \(\varphi\). Nótese que dos ocurrencias distintas de \(Qv\) en \(\varphi\) pueden tener alcances distintos por lo cual el concepto de alcance es relativo a una ocurrencia de un cuantificador y no relativo a un cuantificador a secas.
Diremos que \(v\) es sustituible por \(w\) en \(\varphi\) cuando ninguna ocurrencia libre de \(v\) en \(\varphi\) sucede dentro de una ocurrencia de una subfórmula de la forma \(Qw\psi\) en \(\varphi\). En otras palabras \(v\) no será sustituible por \(w\) en \(\varphi\) cuando alguna ocurrencia libre de \(v\) en \(\varphi\) suceda dentro de una ocurrencia en \(\varphi\) de una fórmula de la forma \(Qw\psi\). Nótese que puede suceder que \(v\) sea sustituible por \(w\) en \(\varphi\) y que sin embargo haya una subfórmula de la forma \(Qw\psi\) para la cual \(v\in Li(Qw\psi)\). Dejamos como ejercicio encontrar un ejemplo de esta situación.
Usando lemas anteriores podemos ver que se dan las siguientes propiedades:
adhocprefix(1)adhocsufix Si \(\varphi\) es atómica, entonces \(v\) es sustituible por \(w\) en \(\varphi\)
adhocprefix(2)adhocsufix Si \(\varphi=(\varphi_{1}\eta\varphi_{2})\), entonces \(v\) es sustituible por \(w\) en \(\varphi\) sii \(v\) es sustituible por \(w\) en \(\varphi_{1}\) y \(v\) es sustituible por \(w\) en \(\varphi_{2}\)
adhocprefix(3)adhocsufix Si \(\varphi=\lnot\varphi_{1}\), entonces \(v\) es sustituible por \(w\) en \(\varphi\) sii \(v\) es sustituible por \(w\) en \(\varphi_{1}\)
adhocprefix(4)adhocsufix Si \(\varphi=Qv\varphi_{1}\), entonces \(v\) es sustituible por \(w\) en \(\varphi\)
adhocprefix(5)adhocsufix Si \(\varphi=Qw\varphi_{1}\) y \(v\in Li(\varphi_{1})\), entonces \(v\) no es sustituible por \(w\) en \(\varphi\)
adhocprefix(6)adhocsufix Si \(\varphi=Qw\varphi_{1}\) y \(v\not\in Li(\varphi_{1})\), entonces \(v\) es sustituible por \(w\) en \(\varphi\)
adhocprefix(7)adhocsufix Si \(\varphi=Qu\varphi_{1}\), con \(u\neq v,w\), entonces \(v\) es sustituible por \(w\) en \(\varphi\) sii \(v\) es sustituible por \(w\) en \(\varphi_{1}\)
Nótese que las propiedades (1),...,(7) pueden usarse para dar una definición recursiva de la relación \("v\) \(\mathit{es\ sustituible\ por\ }w\mathit{\ en}\) \(\varphi"\).
Dado un término \(t\), diremos que una variable \(v\) es sustituible por \(t\) en \(\varphi\) cuando \(v\) sea sustituible en \(\varphi\) por cada variable que ocurre en \(t\).
3.5 (Teorema de Reemplazo para Fórmulas). Supongamos \(\varphi=_{d}\varphi(w_{1},...,w_{k})\), \(t_{1}=_{d}t_{1}(v_{1},...,v_{n}),...,t_{k}=_{d}t_{k}(v_{1},...,v_{n})\) y supongamos además que cada \(w_{j}\) es sustituible por \(t_{j}\) en \(\varphi.\) Entonces
adhocprefix(a)adhocsufix \(\varphi(t_{1},...,t_{k})\in F^{\tau}\)
adhocprefix(b)adhocsufix \(Li(\varphi(t_{1},...,t_{k}))\subseteq\{v_{1},...,v_{n}\}\)
adhocprefix(c)adhocsufix Si declaramos \(\varphi(t_{1},...,t_{k})=_{d}\varphi(t_{1},...,t_{k})(v_{1},...,v_{n})\), entonces para cada estructura \(\mathbf{A}\) y \(a_{1},...,a_{n}\in A\) se tiene \[\mathbf{A}\models\varphi(t_{1},...,t_{k})[a_{1},...,a_{n}]\text{ si y solo si }\mathbf{A}\models\varphi[t_{1}^{\mathbf{A}}[a_{1},...,a_{n}],...,t_{k}^{\mathbf{A}}[a_{1},...,a_{n}]]\]
Proof. Usaremos la Regla de Inducción desde 0. Para cada \(l\in\omega\) sea \(\mathrm{Enu}_{l}\) el siguiente enunciado:
adhocprefix\(\mathrm{Enu}_{l}\):adhocsufix Supongamos \(\varphi=_{d}\varphi(w_{1},...,w_{k})\in F_{l}^{\tau}\), \(t_{1}=_{d}t_{1}(v_{1},...,v_{n}),...,t_{k}=_{d}t_{k}(v_{1},...,v_{n})\) y supongamos además que cada \(w_{j}\) es sustituible por \(t_{j}\) en \(\varphi.\) Entonces
adhocprefix(a)adhocsufix \(\varphi(t_{1},...,t_{k})\in F^{\tau}\)
adhocprefix(b)adhocsufix \(Li(\varphi(t_{1},...,t_{k}))\subseteq\{v_{1},...,v_{n}\}\)
adhocprefix(c)adhocsufix Si declaramos \(\varphi(t_{1},...,t_{k})=_{d}\varphi(t_{1},...,t_{k})(v_{1},...,v_{n})\), entonces para cada estructura \(\mathbf{A}\) y \(a_{1},...,a_{n}\in A\) se tiene \[\mathbf{A}\models\varphi(t_{1},...,t_{k})[a_{1},...,a_{n}]\text{ si y solo si }\mathbf{A}\models\varphi[t_{1}^{\mathbf{A}}[a_{1},...,a_{n}],...,t_{k}^{\mathbf{A}}[a_{1},...,a_{n}]]\]
Antes de comenzar con lo que nos encomienda la Regla de Inducción desde \(0\) consideremos el siguiente enunciado:
adhocprefix\(\widetilde{\mathrm{Enu}_{l}}\):adhocsufix Supongamos \(\varphi=_{d}\varphi(w_{1},...,w_{k})\in F_{l}^{\tau}\), \(t_{1}=_{d}t_{1}(v_{1},...,v_{n}),...,t_{k}=_{d}t_{k}(v_{1},...,v_{n})\) y supongamos además que cada \(w_{j}\) es sustituible por \(t_{j}\) en \(\varphi\), cada \(v_{i}\) ocurre en algún \(t_{j}\), y que \(\{w_{1},...,w_{k}\}\subseteq Li(\varphi)\). Entonces
adhocprefix(a)adhocsufix \(\varphi(t_{1},...,t_{k})\in F^{\tau}\)
adhocprefix(b)adhocsufix \(Li(\varphi(t_{1},...,t_{k}))\subseteq\{v_{1},...,v_{n}\}\)
adhocprefix(c)adhocsufix Si declaramos \(\varphi(t_{1},...,t_{k})=_{d}\varphi(t_{1},...,t_{k})(v_{1},...,v_{n})\), entonces para cada estructura \(\mathbf{A}\) y \(a_{1},...,a_{n}\in A\) se tiene \[\mathbf{A}\models\varphi(t_{1},...,t_{k})[a_{1},...,a_{n}]\text{ si y solo si }\mathbf{A}\models\varphi[t_{1}^{\mathbf{A}}[a_{1},...,a_{n}],...,t_{k}^{\mathbf{A}}[a_{1},...,a_{n}]]\]
Es fácil (aunque largo) probar que cualquiera sea el \(l\in\omega\), se tiene que si \(\widetilde{\mathrm{Enu}_{l}}\) es verdadero, entonces \(\mathrm{Enu}_{l}\) lo es. Ahora sí hagamos lo que nos encomienda la Regla de Inducción desde \(0\).
Prueba de que \(\mathrm{Enu}_{0}\) es verdadero. Supongamos \(\varphi=_{d}\varphi(w_{1},...,w_{k})\in F_{0}^{\tau}\), \(t_{1}=_{d}t_{1}(v_{1},...,v_{n}),...,t_{k}=_{d}t_{k}(v_{1},...,v_{n})\) y supongamos además que cada \(w_{j}\) es sustituible por \(t_{j}\) en \(\varphi.\) Hay dos casos.
Caso \(\varphi=(t\equiv s)\), con \(t,s\in T^{\tau}\). Nótese que nuestra Convención Notacional 6 nos dice que tenemos implícitamente hecha las declaraciones \(t=_{d}t(w_{1},...,w_{k})\) y \(s=_{d}s(w_{1},...,w_{k})\). Ahora es fácil concluir que (a), (b) y (c) son ciertas para \(\varphi,t_{1},...,t_{k}\) usando el Teorema de Reemplazo para Términos.
Caso \(\varphi=r(s_{1},...,s_{m})\), con \(r\in\mathcal{R}_{m}\) y \(s_{1},...,s_{m}\in T^{\tau}\). La prueba es similar a la del caso anterior.
Prueba de que si \(\mathrm{Enu}_{l}\) es verdadero entonces \(\mathrm{Enu}_{l+1}\) lo es. Supongamos que vale \(\mathrm{Enu}_{l}\). En lugar de probar que vale \(\mathrm{Enu}_{l+1}\), probaremos que vale \(\widetilde{\mathrm{Enu}_{l+1}}\). Supongamos entonces \(\varphi=_{d}\varphi(w_{1},...,w_{k})\in F_{l+1}^{\tau}\), \(t_{1}=_{d}t_{1}(v_{1},...,v_{n}),...,t_{k}=_{d}t_{k}(v_{1},...,v_{n})\) y supongamos además que cada \(w_{j}\) es sustituible por \(t_{j}\) en \(\varphi\), cada \(v_{i}\) ocurre en algún \(t_{j}\), y que \(\{w_{1},...,w_{k}\}\subseteq Li(\varphi)\). Probaremos que se dan (a), (b) y (c) para \(\varphi,t_{1},...,t_{k}\). Por el Lema de Lectura Única de Fórmulas Declaradas hay varios casos.
Caso \(\varphi=(t\equiv s)\), con \(t,s\in T^{\tau}\). Ya fue probado en la prueba de \(\mathrm{Enu}_{0}\).
Caso \(\varphi=r(s_{1},...,s_{m})\), con \(r\in\mathcal{R}_{m}\) y \(s_{1},...,s_{m}\in T^{\tau}\). Ya fue probado en la prueba de \(\mathrm{Enu}_{0}\).
Caso \(\varphi=(\varphi_{1}\vee\varphi_{2})\), con \(\varphi_{1},\varphi_{2}\in F^{\tau}\). Ya que \(\varphi\in F_{l+1}^{\tau}\), el Lema de Lectura Única de Fórmulas Declaradas nos asegura que \(\varphi_{1},\varphi_{2}\in F_{l}^{\tau}\). Nuestra Convención Notacional 6 nos dice que tenemos implícitamente hecha las declaraciones \(\varphi_{1}=_{d}\varphi_{1}(w_{1},...,w_{k})\) y \(\varphi_{2}=_{d}\varphi_{2}(w_{1},...,w_{k})\). Ya que \(\mathrm{Enu}_{l}\) es verdadero y que \(\varphi_{1},\varphi_{2}\in F_{l}^{\tau}\), tenemos que se dan las siguientes propiedades:
adhocprefix(i)adhocsufix \(\varphi_{i}(t_{1},...,t_{k})\in F^{\tau}\), para \(i=1,2\)
adhocprefix(ii)adhocsufix \(Li(\varphi_{i}(t_{1},...,t_{k}))\subseteq\{v_{1},...,v_{n}\}\), para \(i=1,2\)
adhocprefix(iii)adhocsufix Para \(i=1,2\), si declaramos \(\varphi_{i}(t_{1},...,t_{k})=_{d}\varphi(t_{1},...,t_{k})(v_{1},...,v_{n})\), entonces para cada estructura \(\mathbf{A}\) y \(a_{1},...,a_{n}\in A\) se tiene \[\mathbf{A}\models\varphi_{i}(t_{1},...,t_{k})[a_{1},...,a_{n}]\text{ si y solo si }\mathbf{A}\models\varphi_{i}[t_{1}^{\mathbf{A}}[a_{1},...,a_{n}],...,t_{k}^{\mathbf{A}}[a_{1},...,a_{n}]]\]
Usando (i), (ii) y (iii) es fácil probar que se cumplen (a), (b) y (c) para \(\varphi,t_{1},...,t_{k}\).
Caso \(\varphi=\forall w\varphi_{1}\), con \(\varphi_{1}\in F_{l}^{\tau}\) y \(w\not\in\{w_{1},...,w_{k}\}\). Ya que \(\{w_{1},...,w_{k}\}\subseteq Li(\varphi)\) tenemos que cada \(w_{j}\in Li(\varphi_{1})\). Además nótese que \(w\not\in\{v_{1},...,v_{n}\}\) ya que de lo contrario \(w\) ocurriría en algún \(t_{j}\), y entonces \(w_{j}\) no sería sustituible por \(t_{j}\) en \(\varphi\). Sean \[\begin{array}{ccc} \tilde{t}_{1} & = & t_{1}\\ & \vdots\\ \tilde{t}_{k} & = & t_{k}\\ \tilde{t}_{k+1} & = & w \end{array}\] Declaremos \[\tilde{t}_{j}=_{d}\tilde{t}_{j}(v_{1},...,v_{n},w)\] Nótese que nuestra Convención Notacional 6 nos dice que tenemos implícitamente hecha la declaración \(\varphi_{1}=_{d}\varphi_{1}(w_{1},...,w_{k},w)\). Ya que \(\mathrm{Enu}_{l}\) es verdadero y \(\varphi_{1}\in F_{l}^{\tau}\), tenemos que se dan las siguientes propiedades:
adhocprefix(i)adhocsufix \(\varphi_{1}(\tilde{t}_{1},...,\tilde{t}_{k},\tilde{t}_{k+1})\in F^{\tau}\)
adhocprefix(ii)adhocsufix \(Li(\varphi_{1}(\tilde{t}_{1},...,\tilde{t}_{k},\tilde{t}_{k+1}))\subseteq\{v_{1},...,v_{n},w\}\)
adhocprefix(iii)adhocsufix Si declaramos \(\varphi_{1}(\tilde{t}_{1},...,\tilde{t}_{k},\tilde{t}_{k+1})=_{d}\varphi_{1}(\tilde{t}_{1},...,\tilde{t}_{k},\tilde{t}_{k+1})(v_{1},...,v_{n},w)\), entonces para cada estructura \(\mathbf{A}\) y \(a_{1},...,a_{n},a\in A\) se tiene \[\mathbf{A}\models\varphi_{1}(\tilde{t}_{1},...,\tilde{t}_{k},\tilde{t}_{k+1})[a_{1},...,a_{n},a]\text{ si y solo si }\mathbf{A}\models\varphi_{1}[\tilde{t}_{1}^{\mathbf{A}}[a_{1},...,a_{n},a],...,\tilde{t}_{k}^{\mathbf{A}}[a_{1},...,a_{n},a],\tilde{t}_{k+1}^{\mathbf{A}}[a_{1},...,a_{n},a]]\]
Además \[\varphi_{1}(\tilde{t}_{1},...,\tilde{t}_{k},\tilde{t}_{k+1})=\varphi_{1}(t_{1},...,t_{k},w)\] O sea que (i) y (ii) claramente implican que \(\varphi(t_{1},...,t_{k})\in F^{\tau}\) y \[Li(\varphi(t_{1},...,t_{k}))\subseteq\{v_{1},...,v_{n}\}\] lo cual prueba (a) y (b) para \(\varphi,t_{1},...,t_{k}\). Para probar que vale (c) para \(\varphi,t_{1},...,t_{k}\), declaremos \(\varphi(t_{1},...,t_{k})=_{d}\varphi(t_{1},...,t_{k})(v_{1},...,v_{n})\). Se tiene que \[\begin{array}{c} \mathbf{A}\models\varphi(t_{1},...,t_{k})\mathbf{[}\vec{a}]\\ \Updownarrow\\ \mathbf{A}\models\varphi_{1}(\tilde{t}_{1},...,\tilde{t}_{k},\tilde{t}_{k+1})[\vec{a},a]\text{, para todo }a\in A\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Updownarrow\ \text{(por (iii))}\\ \mathbf{A}\models\varphi_{1}[\tilde{t}_{1}^{\mathbf{A}}[\vec{a},a],...,\tilde{t}_{k}^{\mathbf{A}}[\vec{a},a],\tilde{t}_{k+1}^{\mathbf{A}}[\vec{a},a]]\text{, para todo }a\in A\\ \Updownarrow\\ \mathbf{A}\models\varphi_{1}[t_{1}^{\mathbf{A}}[\vec{a}],...,t_{k}^{\mathbf{A}}[\vec{a}],a]\text{, para todo }a\in A\\ \Updownarrow\\ \mathbf{A}\models\varphi[t_{1}^{\mathbf{A}}[\vec{a}],...,t_{k}^{\mathbf{A}}[\vec{a}]] \end{array}\] lo cual prueba (c).
Dejamos al lector los casos restantes.
Veamos un par de aplicaciones del teorema anterior. Recordemos que un término \(t\in T^{\tau}\) es llamado cerrado si ninguna variable es subtérmino de \(t\).
3.4. Supongamos \(\varphi=_{d}\varphi(w_{1},...,w_{k})\) y \(t_{1},...,t_{k}\) son términos cerrados. Entonces \(\varphi(t_{1},...,t_{k})\) es una sentencia
Proof. Podemos declarar \(t_{i}=_{d}t_{i}()\) para cada \(i\) y usar (a) y (b) del teorema.
3.5. Supongamos \(\varphi=_{d}\varphi(w)\) y sea \(t\) un término cerrado. Entonces \(\varphi(t)\) es una sentencia y una ves declarado \(t=_{d}t()\) se tiene que \[\mathbf{A}\models\varphi(t)\text{ si y solo si }\mathbf{A}\models\varphi[t^{\mathbf{A}}[]]\] para cada estructura \(\mathbf{A}\)
Ejemplo: Sea \(\tau=(\emptyset,\{f\},\emptyset,\{(f,1)\})\). Sean \(\varphi=\exists v_{1}(f(v_{1})\equiv w_{1})\) y \(t=v_{1}\), donde \(v_{1}\) y \(w_{1}\) son variables distintas. Declaremos \(\varphi=_{d}\varphi(w_{1})\) y \(t=_{d}t(v_{1})\). Nótese que \(w_{1}\) no es sustituible en \(\varphi\) por \(t\), por lo cual el teorema anterior no se puede aplicar. De hecho la conclusión del teorema no se da en este caso ya que puede verse fácilmente que, cualesquiera sea la estructura de tipo \(\tau\), \(\mathbf{A}\) y \(a_{1}\in A\), tenemos que:
\(\mathbf{A}\models\varphi(t)[a_{1}]\) si y solo si \(f^{\mathbf{A}}\) tiene un punto fijo, es decir, \(f^{\mathbf{A}}(a)=a\), para algún \(a\in A\)
\(\mathbf{A}\models\varphi[t^{\mathbf{A}}[a_{1}]]\) si y solo si \(a_{1}\) esta en la imagen de \(f^{\mathbf{A}}\)
las cuales son condiciones claramente no equivalentes.
En esta sección nos avocaremos a dar una solución al punto (3) de nuestro Programa de Lógica Matemática. O sea nos abocaremos al siguiente problema:
adhocprefix(3)adhocsufix Dar un modelo matemático del concepto de prueba elemental en una teoría elemental.
Este problema involucra el concepto de teoría elemental definido en la Sección Teorías Elementales y Pruebas Elementales, el cual es intuitivo y no fue definido en forma precisa ya que depende del concepto de sentencia elemental pura de tipo \(\tau\). O sea que un primer paso en la resolución de (3) será dar un modelo matemático del concepto de teoría elemental. Recordemos que una teoría elemental es por definición un par \((\Sigma,\tau)\) tal que \(\tau\) es un tipo cualquiera y \(\Sigma\) es un conjunto de sentencias elementales puras de tipo \(\tau\). Dado que ya tenemos nuestro modelo matemático para las sentencias elementales puras de tipo \(\tau\) (i.e. las sentencias de tipo \(\tau\)), podemos dar el siguiente modelo matemático del concepto de teoría elemental:
Una teoría (de primer orden) será un par \((\Sigma,\tau)\), donde \(\tau\) es un tipo y \(\Sigma\) es un conjunto de sentencias de tipo \(\tau\). Esto ya es un buen comienzo en la resolución del punto (3) pero aun nos queda por hacer lo mas complicado.
Dada una teoría de primer orden \((\Sigma,\tau)\), los elementos de \(\Sigma\) serán llamados axiomas propios de \((\Sigma,\tau)\). Un modelo de \((\Sigma,\tau)\) será una estructura de tipo \(\tau\) la cual satisfaga todos los axiomas propios de \((\Sigma,\tau)\).
Algunos ejemplos de teorías de primer orden:
La Teoría \(Po\). Sea \[Po=(\{\mathrm{A}_{\leq R},\mathrm{A}_{\leq T},\mathrm{A}_{\leq A}\},\tau_{Po})\] donde \(\tau_{Po}\) es el tipo de los posets, es decir \((\emptyset,\emptyset,\{\leq\},\{(\leq,2)\})\) y \[\begin{aligned} \mathrm{A}_{\leq R} & =\forall x_{1}\;\mathrm{\leq}(x_{1},x_{1})\\ \mathrm{A}_{\leq T} & =\forall x_{1}\forall x_{2}\forall x_{3}\;((\mathrm{\leq}(x_{1},x_{2})\wedge\mathrm{\leq}(x_{2},x_{3}))\rightarrow\mathrm{\leq}(x_{1},x_{3}))\\ \mathrm{A}_{\leq A} & =\forall x_{1}\forall x_{2}\;((\mathrm{\leq}(x_{1},x_{2})\wedge\mathrm{\leq}(x_{2},x_{1}))\rightarrow(x_{1}\equiv x_{2})) \end{aligned}\] Nótese que una estructura \(\mathbf{A}\) de tipo \(\tau_{Po}\) es un modelo de \(Po\) si y solo si \(\leq^{\mathbf{A}}\) es un orden parcial sobre \(A\). Estrictamente hablando un modelo de \(Po\) no es un poset ya que es un par \((A,i)\) donde \(A\) es un conjunto no vacío e \(i\) es una función con dominio \(\{\leq\}\) tal que \(i(\leq)\) es un orden parcial sobre \(A\). Es decir, un modelo de \(Po\) es un par \((A,\{(\leq,R)\})\) donde \(A\) es un conjunto no vacío y \(R\) es un orden parcial sobre \(A\). De todas maneras debería quedar claro que en esencia un poset y un modelo de \(Po\) son la misma cosa por lo cual llamaremos a \(Po\) la teoría de los posets y muchas veces nos referiremos a los modelos de \(Po\) como si fueran posets. Dejamos al lector el ejercicio de encontrar una biyección natural entre la clase de los modelos de \(Po\) y la clase de los posets.
La teoría \(RetCua\). Sea \(\tau_{RetCua}=(\emptyset,\{\mathsf{s}^{2},\mathsf{i}^{2}\},\{\leq^{2}\},a)\) y sea \(\Sigma_{RetCua}\) el siguiente conjunto de sentencias: \[\begin{aligned} \mathrm{A}_{\leq R} & =\forall x_{1}\;\mathrm{\leq}(x_{1},x_{1})\\ \mathrm{A}_{\leq T} & =\forall x_{1}\forall x_{2}\forall x_{3}\;((\mathrm{\leq}(x_{1},x_{2})\wedge\mathrm{\leq}(x_{2},x_{3}))\rightarrow\mathrm{\leq}(x_{1},x_{3}))\\ \mathrm{A}_{\leq A} & =\forall x_{1}\forall x_{2}\;((\mathrm{\leq}(x_{1},x_{2})\wedge\mathrm{\leq}(x_{2},x_{1}))\rightarrow(x_{1}\equiv x_{2}))\\ \mathrm{A}_{\mathsf{s}esC} & =\forall x_{1}\forall x_{2}\;(\mathrm{\leq}(x_{1},\mathsf{s}(x_{1},x_{2}))\wedge\mathrm{\leq}(x_{2},\mathsf{s}(x_{1},x_{2})))\\ \mathrm{A}_{\mathsf{s}\leq C} & =\forall x_{1}\forall x_{2}\forall x_{3}\;\left((\mathrm{\leq}(x_{1},x_{3})\wedge\mathrm{\leq}(x_{2},x_{3}))\rightarrow\mathrm{\leq}(\mathsf{s}(x_{1},x_{2}),x_{3}\right))\\ \mathrm{A}_{\mathsf{i}esC} & =\forall x_{1}\forall x_{2}\;(\mathrm{\leq}(\mathsf{i}(x_{1},x_{2}),x_{1})\wedge\mathrm{\leq}(\mathsf{i}(x_{1},x_{2}),x_{2}))\\ \mathrm{A}_{\mathsf{i}\geq C} & =\forall x_{1}\forall x_{2}\forall x_{3}\;\left((\mathrm{\leq}(x_{3},x_{1})\wedge\mathrm{\leq}(x_{3},x_{2}))\rightarrow\mathrm{\leq}(x_{3},\mathsf{i}(x_{1},x_{2}))\right) \end{aligned}\] Definamos \(RetCua=(\Sigma_{RetCua},\tau_{RetCua})\). Obviamente los modelos de esta teoría son esencialmente reticulados cuaterna en el sentido que una estructura \(\mathbf{A}\) de tipo \(\tau_{RetCua}\) es un modelo de \(RetCua\) si y solo si \((A,\mathsf{s}^{\mathbf{A}},\mathsf{i}^{\mathbf{A}},\leq^{\mathbf{A}})\) es un reticulado cuaterna. Llamaremos a \(RetCua\) la teoría de los reticulados cuaterna y muchas veces nos referiremos a los modelos de \(RetCua\) como si fueran reticulados cuaterna.
Recomendamos al lector repasar el concepto de prueba elemental en una teoría elemental, dado en el Capítulo Estructuras y su Lenguaje Elemental. Aquí daremos un modelo matemático de dicho concepto. Tal como lo hemos visto en numerosos ejemplos, una prueba es una sucesión de sentencias junto con una sucesión de "justificaciones" las cuales van explicando o justificando por que es licito que cada una de dichas sentencias aparezca en la sucesión. Por supuesto nuestra definición será precisa y matemática por lo que deberemos trabajar bastante para poder escribirla correctamente. Como objeto matemático una prueba resultara ser un par ordenado de palabras cuya primera coordenada codificara en forma natural la sucesión de sentencias y su segunda coordenada codificará la sucesión de justificaciones.
La formalización matemática del concepto de prueba elemental es uno de los grandes logros de la ciencia moderna y este hecho se debe en gran medida a que si elegimos bien la teoría, las pruebas elementales no son ni más ni menos que las pruebas de la matemática misma por lo cual se tiene una definición matemática que modeliza a la deducción matemática real!
Muchas veces los matemáticos cuando realizan pruebas usan de manera tácita reglas de deducción. Por ejemplo si un matemático ha probado una sentencia \(\varphi\) y antes había probado la sentencia \((\varphi\rightarrow\psi)\), entonces dicho matemático haciendo referencia a estas dos sentencias concluye que también es verdadera la sentencia \(\psi\). Por supuesto este uso es tácito (i.e. sin ninguna explicación) debido a su obviedad y solidez. Y esta obviedad y solidez básicamente se debe a que cualquier estructura que haga verdaderas a las sentencias \(\varphi\) y \((\varphi\rightarrow\psi)\) también hará verdadera a la sentencia \(\psi\). Ya que nosotros estamos haciendo un modelo matemático de la deducción elemental de los matemáticos les pondremos nombre a dichas reglas usadas tácitamente por los matemáticos. Por ejemplo la anterior se llamara Modus Ponens. También diremos que \(\psi\) se deduce por la regla Modus Ponens de \(\varphi\) y \((\varphi\rightarrow\psi)\). A continuación describiremos varias reglas que, como Modus Ponens, tienen la propiedad común de ser universales en el sentido que preservan la verdad (i.e. la sentencia deducida es verdadera en cada estructura que hace verdaderas a aquellas sentencias a partir de las cuales se la deduce).
Para hacer las cosas en forma más precisa matemáticamente hablando, representaremos dichas reglas con conjuntos.
Algunas reglas serán llamadas proposicionales ya que se basan solo en la fisonomía de las sentencias en relación a los símbolos proposicionales (\(\wedge\text{ }\vee\text{ }\rightarrow\text{ }\leftrightarrow\text{ }\neg\)). (No daremos una definición matemática precisa de este concepto). Veamos algunas.
Sean \[\begin{aligned} ModPon^{\tau} & =\{(\varphi,(\varphi\rightarrow\psi),\psi):\varphi,\psi\in S^{\tau}\}\\ ConjInt^{\tau} & =\{(\varphi,\psi,(\varphi\wedge\psi)):\varphi,\psi\in S^{\tau}\}\\ EquivInt^{\tau} & =\{((\varphi\rightarrow\psi),(\psi\rightarrow\varphi),(\varphi\leftrightarrow\psi)):\varphi,\psi\in S^{\tau}\}\\ DisjElim^{\tau} & =\{(\lnot\varphi,(\varphi\vee\psi),\psi):\varphi,\psi\in S^{\tau}\}\cup\{(\lnot\psi,(\varphi\vee\psi),\varphi):\varphi,\psi\in S^{\tau}\} \end{aligned}\] Diremos que \(\varphi\) se deduce de \(\psi_{1}\) y \(\psi_{2}\) por la regla de Modus Ponens (resp. conjunción-introducción, equivalencia-introducción, disjunción-eliminación), con respecto a \(\tau\) para expresar que \((\psi_{1},\psi_{2},\varphi)\in ModPon^{\tau}\) (resp. \((\psi_{1},\psi_{2},\varphi)\in ConjInt^{\tau}\), \((\psi_{1},\psi_{2},\varphi)\in EquivInt^{\tau}\), \((\psi_{1},\psi_{2},\varphi)\in DisjElim^{\tau}\)).
Sean \[\begin{aligned} Evoc^{\tau} & =\{(\varphi,\varphi):\varphi\in S^{\tau}\}\\ ConjElim^{\tau} & =\{((\varphi\wedge\psi),\varphi):\varphi,\psi\in S^{\tau}\}\cup\{((\varphi\wedge\psi),\psi):\varphi,\psi\in S^{\tau}\}\\ EquivElim^{\tau} & =\{((\varphi\leftrightarrow\psi),(\varphi\rightarrow\psi)):\varphi,\psi\in S^{\tau}\}\cup\{((\varphi\leftrightarrow\psi),(\psi\rightarrow\varphi)):\varphi,\psi\in S^{\tau}\}\\ DisjInt^{\tau} & =\{(\varphi,(\varphi\vee\psi)):\varphi,\psi\in S^{\tau}\}\cup\{(\psi,(\varphi\vee\psi)):\varphi,\psi\in S^{\tau}\}\cup\{((\lnot\varphi\rightarrow\psi),(\varphi\vee\psi)):\varphi,\psi\in S^{\tau}\} \end{aligned}\] Diremos que \(\varphi\) se deduce de \(\psi\) por la regla de evocación (resp. conjunción-eliminación, equivalencia-eliminación, disjunción-introducción), con respecto a \(\tau\) para expresar que \((\psi,\varphi)\in Evoc^{\tau}\) (resp. \((\psi,\varphi)\in ConjElim^{\tau}\), \((\psi,\varphi)\in EquivElim^{\tau}\), \((\psi,\varphi)\in DisjInt^{\tau}\)).
Sea \[Absur^{\tau}=Absur1^{\tau}\cup Absur2^{\tau}\cup Absur3^{\tau}\] donde \[\begin{aligned} Absur1^{\tau} & =\{((\lnot\varphi\rightarrow(\psi\wedge\lnot\psi)),\varphi):\varphi,\psi\in S^{\tau}\}\\ Absur2^{\tau} & =\{((\varphi\rightarrow(\psi\wedge\lnot\psi)),\lnot\varphi):\varphi,\psi\in S^{\tau}\}\\ Absur3^{\tau} & =\{((\psi\wedge\lnot\psi),\varphi):\varphi,\psi\in S^{\tau}\} \end{aligned}\] Diremos que \(\varphi\) se deduce de \(\psi\) por la regla del absurdo, con respecto a \(\tau\) para expresar que \((\psi,\varphi)\in Absur^{\tau}\).
Sea \[DivPorCas^{\tau}=\{((\varphi_{1}\vee\varphi_{2}),(\varphi_{1}\rightarrow\psi),(\varphi_{2}\rightarrow\psi),\psi):\varphi_{1},\varphi_{2},\psi\in S^{\tau}\}\] Diremos que \(\varphi\) se deduce de \(\psi_{1}\), \(\psi_{2}\) y \(\psi_{3}\) por la regla de división por casos, con respecto a \(\tau\) para expresar que \((\psi_{1},\psi_{2},\psi_{3},\varphi)\in DivPorCas^{\tau}\).
Sea \[Commut^{\tau}=Commut1^{\tau}\cup Commut2^{\tau}\] donde \[\begin{aligned} Commut1^{\tau} & =\{((t\equiv s),(s\equiv t)):s,t\in T_{c}^{\tau}\}\\ Commut2^{\tau} & =\{((\varphi\leftrightarrow\psi),(\psi\leftrightarrow\varphi)):\varphi,\psi\in S^{\tau}\} \end{aligned}\] Diremos que \(\varphi\) se deduce de \(\psi\) por la regla de conmutatividad, con respecto a \(\tau\) para expresar que \((\psi,\varphi)\in Commut^{\tau}\).
Sea \[Trans^{\tau}=Trans1^{\tau}\cup Trans2^{\tau}\cup Trans3^{\tau}\] donde \[\begin{aligned} Trans1^{\tau} & =\{((t\equiv s),(s\equiv u),(t\equiv u)):t,s,u\in T_{c}^{\tau}\}\\ Trans2^{\tau} & =\{((\varphi\rightarrow\psi),(\psi\rightarrow\Phi),(\varphi\rightarrow\Phi)):\varphi,\psi,\Phi\in S^{\tau}\}\\ Trans3^{\tau} & =\{((\varphi\leftrightarrow\psi),(\psi\leftrightarrow\Phi),(\varphi\leftrightarrow\Phi)):\varphi,\psi,\Phi\in S^{\tau}\} \end{aligned}\] Diremos que \(\varphi\) se deduce de \(\psi_{1}\)y \(\psi_{2}\) por la regla de transitividad, con respecto a \(\tau\) para expresar que \((\psi_{1},\psi_{2},\varphi)\in Trans^{\tau}\).
Recordemos que si \(\tau\) es un tipo cualquiera, un término \(t\in T^{\tau}\) es llamado cerrado si ninguna variable es subtérmino de \(t\). Con \(T_{c}^{\tau}\) denotamos el conjunto formado por todos los términos cerrados.
Sean \[Partic^{\tau}=\{(\forall v\varphi(v),\varphi(t)):\varphi=_{d}\varphi(v)\in F^{\tau}\ \mathrm{y\ }t\in T_{c}^{\tau}\}\] \[Exist^{\tau}=\{(\varphi(t),\exists v\varphi(v)):\varphi=_{d}\varphi(v)\in F^{\tau}\ \mathrm{y\ }t\in T_{c}^{\tau}\}\] Nótese que cuando \(\varphi=_{d}\varphi(v)\in F^{\tau}\ \mathrm{y\ }t\in T_{c}^{\tau}\) se tiene que \(\varphi(t)\) es una sentencia. Esto es consecuencia de (a) y (b) del Teorema de Reemplazo para Fórmulas, si hacemos la declaración \(t=_{d}t()\). O sea que los conjuntos \(Partic^{\tau}\text{ y }Exist^{\tau}\) esta contenidos en \(S^{\tau}\times S^{\tau}\).
Diremos que \(\varphi\) se deduce de \(\psi\) por la regla de particularización (resp. existencia), con respecto a \(\tau\) para expresar que \((\psi,\varphi)\in Partic^{\tau}\) (resp. \((\psi,\varphi)\in Exist^{\tau}\)).
Si \(t\) es un término y \(\varphi\) una fórmula, una ocurrencia de \(t\) en \(\varphi\) se llamara contigua cuando dicha ocurrencia no es a partir del primer símbolo de \(\varphi\) y además el símbolo anterior en \(\varphi\) a dicha ocurrencia es ya sea \(\forall\) o \(\exists\). Dicho de otra forma una ocurrencia de \(t\) en \(\varphi\) se llamara contigua cuando dicha ocurrencia este contenida en una ocurrencia de una palabra de la forma \(Qt\), con \(Q\in\{\forall,\exists\}\). Ya probamos en el Lema de Ocurrencias de Términos en Fórmulas que si reemplazamos una ocurrencia no contigua de un término en una fórmula, por otro término, el resultado es una fórmula.
Sea \[Reemp^{\tau}=Reemp1^{\tau}\cup Reemp2^{\tau}\] donde
\(Reemp1^{\tau}=\{(\forall v_{1}...\forall v_{n}(t\equiv s),\gamma,\tilde{\gamma}):s,t\in T^{\tau},\) \(Li((t\equiv s))\subseteq\{v_{1},...,v_{n}\}\),
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n\geq0,\text{ }\gamma,\tilde{\gamma}\in S^{\tau}\ \mathrm{y\ }\tilde{\gamma}=\mathrm{resultado\ de\ reemplazar\ en\ }\gamma\ \)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ una\ ocurrencia\ no\ contigua\ de\ }t\ \mathrm{por\ }s\}\)
\(Reemp2^{\tau}=\{(\forall v_{1}...\forall v_{n}(\varphi\leftrightarrow\psi),\gamma,\tilde{\gamma}):\varphi,\psi\in F^{\tau}\), \(Li(\varphi)\cup Li(\psi)\subseteq\{v_{1},...,v_{n}\}\),
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n\geq0,\) \(\gamma,\tilde{\gamma}\in S^{\tau}\ \mathrm{y\ }\tilde{\gamma}=\mathrm{resultado\ de\ reemplazar\ en\ }\gamma\ \mathrm{una\ ocurrencia\ de\ }\varphi\ \mathrm{por\ }\psi\}\)
Diremos que \(\varphi\) se deduce de \(\psi_{1}\)y \(\psi_{2}\) por la regla de reemplazo, con respecto a \(\tau\), para expresar que \((\psi_{1},\psi_{2},\varphi)\in Reemp^{\tau}\).
Una regla \(R\) será llamada universal cuando se dé que si \(\varphi\) se deduce de \(\psi_{1},...,\psi_{k}\) por \(R\), entonces \(\left((\psi_{1}\wedge...\wedge\psi_{k})\rightarrow\varphi\right)\) es una sentencia universalmente válida. Nótese que la regla \(R\) será universal si cada ves que se dé que
adhocprefix-adhocsufix \(\varphi\) se deduce de \(\psi_{1},...,\psi_{k}\) por \(R\)
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\psi_{i}\), para cada \(i=1,...,k\)
se tiene que \(\mathbf{A}\models\varphi\).
3.36. Sea \(\tau\) un tipo. Todas las reglas dadas hasta el momento son universales.
Proof. Veamos que la regla de existencia es universal. Por definición, un par de \(Exist^{\tau}\) es siempre de la forma \((\varphi(t),\exists v\varphi(v))\), con \(\varphi=_{d}\varphi(v)\) y \(t\in T_{c}^{\tau}\). Sea \(\mathbf{A}\) una estructura de tipo \(\tau\) tal que \(\mathbf{A}\models\varphi(t)\), veremos que entonces \(\mathbf{A}\models\exists v\varphi(v)\). Declaremos \(t=_{d}t()\). Entonces ya que \(v\) es substituible por \(t\) en \(\varphi\), (c) del Teorema de Reemplazo para Fórmulas nos dice que \(\varphi(t)\) es una sentencia y que si declaramos \(\varphi(t)=_{d}\varphi(t)()\), entonces \[\mathbf{A}\models\varphi(t)[]\text{ si y solo si }\mathbf{A}\models\varphi[t^{\mathbf{A}}[]]\] Pero ya que \(\mathbf{A}\models\varphi(t)\), tenemos que \(\mathbf{A}\models\varphi(t)[]\) por lo cual \(\mathbf{A}\models\varphi[t^{\mathbf{A}}[]]\). Ahora podemos aplicar el Corolario 3.3 y obtener que \(\mathbf{A}\models\exists v\varphi(v)\).
Que la regla de particularización es universal se prueba en forma completamente análoga y es dejada al lector en un ejercicio.
Veamos que la regla de reemplazo es universal. Supongamos entonces que \((\psi_{1},\psi_{2},\varphi)\in Reemp^{\tau}=Reemp1^{\tau}\cup Reemp2^{\tau}\).
Para el caso en que \((\psi_{1},\psi_{2},\varphi)\in Reemp2^{\tau}\) basta con probar, usando la Regla de Inducción desde 0, que cualquiera sea el \(k\in\omega\), el siguiente enunciado es verdadero:
adhocprefix\(\mathrm{Enu}_{k}\):adhocsufix Supongamos que
adhocprefix-adhocsufix \(\alpha\in F_{k}^{\tau}\) y \(\varphi_{1},\varphi_{2}\in F^{\tau}\)
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\) es una estructura de tipo \(\tau\)
adhocprefix-adhocsufix \(\overline{\alpha}=\) resultado de reemplazar en \(\alpha\) una ocurrencia de \(\varphi_{1}\) por \(\varphi_{2}\),
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi_{1}\left[\vec{a}\right]\) si y solo si \(\mathbf{A}\models\varphi_{2}\left[\vec{a}\right]\), para cada \(\vec{a}\in A^{\mathbf{N}}\).
Entonces \(\mathbf{A}\models\alpha\left[\vec{a}\right]\) si y solo si \(\mathbf{A}\models\overline{\alpha}\left[\vec{a}\right]\), para cada \(\vec{a}\in A^{\mathbf{N}}\).
Hagamos lo que nos encomienda la Regla de Inducción desde \(0\).
Prueba de que \(\mathrm{Enu}_{0}\) es verdadero. Ya que \(\alpha\) es atómica, \(\alpha\) es la única subfórmula de \(\alpha\).
Prueba de que si \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero entonces \(\mathrm{Enu}_{k+1}\) lo es. Supongamos que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\) y supongamos que
adhocprefix-adhocsufix \(\alpha\in F_{k+1}^{\tau}\) y \(\varphi_{1},\varphi_{2}\in F^{\tau}\)
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\) es una estructura de tipo \(\tau\)
adhocprefix-adhocsufix \(\overline{\alpha}=\) resultado de reemplazar en \(\alpha\) una ocurrencia de \(\varphi_{1}\) por \(\varphi_{2}\),
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi_{1}\left[\vec{a}\right]\) si y solo si \(\mathbf{A}\models\varphi_{2}\left[\vec{a}\right]\), para cada \(\vec{a}\in A^{\mathbf{N}}\).
Probaremos que \(\mathbf{A}\models\alpha\left[\vec{a}\right]\) si y solo si \(\mathbf{A}\models\overline{\alpha}\left[\vec{a}\right]\), para cada \(\vec{a}\in A^{\mathbf{N}}\). Por definición de \(F_{k+1}^{\tau}\), hay varios casos.
Caso \(\alpha\in F_{k}^{\tau}\). Trivial ya que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\).
Caso \(\alpha=\forall x_{i}\alpha_{1}\), con \(\alpha_{1}\in F_{k}^{\tau}\) y \(i\in\mathbf{N}\). Si \(\varphi_{1}=\alpha\), entonces la situación es fácil de probar. Si \(\varphi_{1}\neq\alpha\), entonces por el Lema de Ocurrencias de Fórmulas en Fórmulas la ocurrencia de \(\varphi_{1}\) en \(\alpha\), a reemplazar por \(\varphi_{2}\), sucede en \(\alpha_{1}\). Sea \(\overline{\alpha_{1}}=\) resultado de reemplazar en \(\alpha_{1}\) dicha ocurrencia de \(\varphi_{1}\) por \(\varphi_{2}\). O sea que \(\overline{\alpha}=\forall x_{i}\overline{\alpha_{1}}\). Ya que \(\alpha_{1}\in F_{k}^{\tau}\) y \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero, tenemos que
adhocprefix(*)adhocsufix \(\mathbf{A}\models\alpha_{1}\left[\vec{a}\right]\text{ si y solo si \ensuremath{\mathbf{A}}\models\ensuremath{\overline{\alpha_{1}}\left[\vec{a}\right]}},\)para cada \(\vec{a}\in A^{\mathbf{N}}\).
Fijemos un \(\vec{a}\in A^{\mathbf{N}}\). Se tiene que \[\begin{array}{cc} \mathbf{A}\models\alpha\left[\vec{a}\right]\\ \Updownarrow\\ \mathbf{A}\models\alpha_{1}\left[\downarrow_{i}^{a}(\vec{a})\right],\text{ para cada }a\in A\\ \Updownarrow & (\text{por }(*))\\ \mathbf{A}\models\overline{\alpha_{1}}\left[\downarrow_{i}^{a}(\vec{a})\right],\text{ para cada }a\in A\\ \Updownarrow\\ \mathbf{A}\models\overline{\alpha}\left[\vec{a}\right] \end{array}\] Caso \(\alpha=(\alpha_{1}\vee\alpha_{2})\), , con \(\alpha_{1},\alpha_{2}\in F_{k}^{\tau}\). Si \(\varphi_{1}=\alpha\), entonces la situación es fácil de probar. Si \(\varphi_{1}\neq\alpha\), entonces por el Lema de Ocurrencias de Fórmulas en Fórmulas la ocurrencia de \(\varphi_{1}\) en \(\alpha\), a reemplazar por \(\varphi_{2}\), sucede en \(\alpha_{1}\) o en \(\alpha_{2}\). Supongamos que sucede en \(\alpha_{2}\). Sea \(\overline{\alpha_{2}}=\) resultado de reemplazar en \(\alpha_{2}\) dicha ocurrencia de \(\varphi_{1}\) por \(\varphi_{2}\). O sea que \(\overline{\alpha}=(\alpha_{1}\vee\overline{\alpha_{2}})\). Ya que \(\alpha_{2}\in F_{k}^{\tau}\) y \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero, tenemos que
adhocprefix(**)adhocsufix \(\mathbf{A}\models\alpha_{2}\left[\vec{a}\right]\text{ si y solo si \ensuremath{\mathbf{A}}\models\ensuremath{\overline{\alpha_{2}}\left[\vec{a}\right]}},\)para cada \(\vec{a}\in A^{\mathbf{N}}\).
Fijemos un \(\vec{a}\in A^{\mathbf{N}}\). Se tiene que
\[\begin{array}{cc} \mathbf{A}\models\alpha\left[\vec{a}\right]\\ \Updownarrow\\ \mathbf{A}\models\alpha_{1}\left[\vec{a}\right]\text{ o }\mathbf{A}\models\alpha_{2}\left[\vec{a}\right]\\ \Updownarrow & (\text{por }(**))\\ \mathbf{A}\models\alpha_{2}\left[\vec{a}\right]\text{ o }\mathbf{A}\models\overline{\alpha_{2}}\left[\vec{a}\right]\\ \Updownarrow\\ \mathbf{A}\models\overline{\alpha}\left[\vec{a}\right] \end{array}\] Los demás casos son dejados al lector.
El caso en el que \((\psi_{1},\psi_{2},\varphi)\in Reemp1^{\tau}\), es consecuencia directa del siguiente resultado el cual es dejado como ejercicio.
adhocprefix(***)adhocsufix Supongamos \(s,t\in T^{\tau}\). Sea \(\gamma\in F^{\tau}\) y sea \[\tilde{\gamma}=\mathrm{resultado\ de\ reemplazar\ en\ }\gamma\ una\ ocurrencia\ no\ contigua\ de\ t\ \mathrm{por\ }s\] Entonces \(\tilde{\gamma}\in F^{\tau}\) y si \(\mathbf{A}\) es una estructura de tipo \(\tau\) tal que \(t^{\mathbf{A}}\left[\vec{a}\right]=s^{\mathbf{A}}\left[\vec{a}\right]\), para cada \(\vec{a}\in A^{\mathbf{N}}\), se tiene que \[\mathbf{A}\models\gamma\left[\vec{a}\right]\text{ si y solo si }\mathbf{A}\models\tilde{\gamma}\left[\vec{a}\right]\] para cada \(\vec{a}\in A^{\mathbf{N}}\)
El chequeo de la universalidad del resto de las reglas es mas directo y es dejado al lector.
Esta regla es muy usada por los matemáticos cuando pasan de haber probado cierta propiedad para un elemento fijo pero arbitrario a escribir que dicha propiedad se cumple para todos los elementos de la estructura en cuestión. Tomemos: \[Generaliz^{\tau}=\{(\varphi(c),\forall v\varphi(v)):\varphi=_{d}\varphi(v)\in F^{\tau},\ Li(\varphi)=\{v\}\ \mathrm{y\ }c\in\mathcal{C}\ \mathrm{no\ ocurre\ en}\ \varphi\}\] Es importante el siguiente
3.37. Si \((\varphi_{1},\varphi_{2})\in Generaliz^{\tau}\), entonces el nombre de constante \(c\) del cual habla la definición de \(Generaliz^{\tau}\) esta unívocamente determinado por el par \((\varphi_{1},\varphi_{2})\).
Proof. Nótese que \(c\) es el único nombre de constante que ocurre en \(\varphi_{1}\) y no ocurre en \(\varphi_{2}\)
Escribiremos \((\varphi_{1},\varphi_{2})\in Generaliz^{\tau}\) vía \(c\) para expresar que \((\varphi_{1},\varphi_{2})\in Generaliz^{\tau}\) y que \(c\) es el único nombre de constante que ocurre en \(\varphi_{1}\) y no ocurre en \(\varphi_{2}\). Diremos que \(\varphi_{2}\) se deduce de \(\varphi_{1}\) por la regla de generalización con nombre de constante \(c\), con respecto a \(\tau\), para expresar que \((\varphi_{1},\varphi_{2})\in Generaliz^{\tau}\) vía \(c\).
Otra regla muy usada por los matemáticos en sus pruebas elementales es aquella que le permite, una ves probada una sentencia que asegura la existencia de al menos un objeto con cierta propiedad, introducir un nuevo nombre para denotar alguno de esos objetos con tal propiedad. Tomemos \[Elec^{\tau}=\{(\exists v\varphi(v),\varphi(e)):\varphi=_{d}\varphi(v)\in F^{\tau},\ Li(\varphi)=\{v\}\ \mathrm{y\ }e\in\mathcal{C}\ \mathrm{no\ ocurre\ en}\ \varphi\}\] Es importante el siguiente
3.38. Si \((\varphi_{1},\varphi_{2})\in Elec^{\tau}\), entonces el nombre de constante \(e\) del cual habla la definición de \(Elec^{\tau}\) esta unívocamente determinado por el par \((\varphi_{1},\varphi_{2})\).
Proof. Nótese que \(e\) es el único nombre de constante que ocurre en \(\varphi_{2}\) y no ocurre en \(\varphi_{1}\).
Escribiremos \((\varphi_{1},\varphi_{2})\in Elec^{\tau}\) vía \(e\) para expresar que \((\varphi_{1},\varphi_{2})\in Elec^{\tau}\) y que \(e\) es el único nombre de constante que ocurre en \(\varphi_{2}\) y no ocurre en \(\varphi_{1}\). Diremos que \(\varphi_{2}\) se deduce de \(\varphi_{1}\) por la regla de elección con nombre de constante \(e\), con respecto a \(\tau\) para expresar que \((\varphi_{1},\varphi_{2})\in Elec^{\tau}\) vía \(e\).
Recordemos que dada una teoría \((\Sigma,\tau)\), los elementos de \(\Sigma\) son llamados axiomas propios y en general no son sentencias universalmente válidas.
En las pruebas formales será necesario usar ciertas verdades universales y obvias las cuales llamaremos axiomas lógicos. Mas concretamente, llamaremos axiomas lógicos de tipo \(\tau\) a todas las sentencias de alguna de las siguientes formas.
adhocprefix(1)adhocsufix \((t\equiv t)\), con \(t\in T_{c}^{\tau}\)
adhocprefix(2)adhocsufix \((Qv\varphi\leftrightarrow\varphi)\), con \(Q\in\{\forall,\exists\}\), \(v\in Var\) y \(\varphi\in S^{\tau}\)
adhocprefix(3)adhocsufix \((\lnot(\varphi\vee\psi)\leftrightarrow(\lnot\varphi\wedge\lnot\psi))\), con \(\varphi,\psi\in S^{\tau}\)
adhocprefix(4)adhocsufix \((\lnot(\varphi\wedge\psi)\leftrightarrow(\lnot\varphi\vee\lnot\psi))\), con \(\varphi,\psi\in S^{\tau}\)
adhocprefix(5)adhocsufix \((\lnot(\varphi\rightarrow\psi)\leftrightarrow(\varphi\wedge\lnot\psi))\), con \(\varphi,\psi\in S^{\tau}\)
adhocprefix(6)adhocsufix \((\lnot(\varphi\leftrightarrow\psi)\leftrightarrow((\varphi\wedge\lnot\psi)\vee(\lnot\varphi\wedge\psi)))\), con \(\varphi,\psi\in S^{\tau}\)
adhocprefix(7)adhocsufix \((\lnot\lnot\varphi\leftrightarrow\varphi)\), con \(\varphi\in S^{\tau}\)
adhocprefix(8)adhocsufix \((\lnot\forall v\gamma\leftrightarrow\exists v\lnot\gamma)\), con \(v\in Var\), \(\gamma\in F^{\tau}\) y \(Li(\gamma)\subseteq\{v\}\)
adhocprefix(9)adhocsufix \((\lnot\exists v\gamma\leftrightarrow\forall v\lnot\gamma)\), con \(v\in Var\), \(\gamma\in F^{\tau}\) y \(Li(\gamma)\subseteq\{v\}\)
Con \(AxLog^{\tau}\) denotaremos el conjunto \[\{\varphi\in S^{\tau}:\varphi\ \mathrm{es\ un\ axioma\ logico\ de\ tipo\ }\tau\}\] Nótese que hay infinitos axiomas lógicos de tipo \(\tau\), es decir el conjunto \(AxLog^{\tau}\) es un conjunto infinito de palabras. Por ejemplo, el formato dado en (4) produce una cantidad infinita de axiomas lógicos, a saber todas las sentencias de la forma \((\lnot(\varphi\wedge\psi)\leftrightarrow(\lnot\varphi\vee\lnot\psi))\), donde \(\varphi\) y \(\psi\) son cualquier par de sentencias de tipo \(\tau\). O sea que cada renglón de arriba corresponde no a un axioma sino a una cantidad infinita de axiomas, todos con un formato determinado. Se le suelen llamar Axiomas Esquema a este tipo de formatos que describen una morfología de cierta familia de axiomas.
El axioma esquema dado en (1) sin dudas describe la familia de axiomas mas básicos que uno puede imaginar. Llamaremos a este axioma esquema el Axioma Esquema de Identidad. Al axioma esquema dado en (2) lo llamaremos el Axioma Esquema de Cuantificación Vacua. Al axioma esquema dado en (3) lo llamaremos el Axioma Esquema de Negación del \(\vee\). Al dado en (4) lo llamaremos el Axioma Esquema de Negación del \(\wedge\). Al dado en (5) lo llamaremos el Axioma Esquema de Negación del \(\rightarrow\). Al dado en (6) lo llamaremos el Axioma Esquema de Negación del \(\leftrightarrow\). Al dado en (7) lo llamaremos el Axioma Esquema de Negación de \(\neg\). Al dado en (8) lo llamaremos el Axioma Esquema de Negación del \(\forall\). Al dado en (9) lo llamaremos el Axioma Esquema de Negación del \(\exists\).
Nótese que los 7 últimos axiomas esquema nos dan formas equivalentes a las negaciones de cada uno de los formatos posibles de fórmulas no atómicas dados en el Teorema de Lectura Única de Fórmulas. Ya veremos en Mecánicas de negación como estos axiomas se pueden usar para simular los comienzos de pruebas por el absurdo que usualmente hacen los matemáticos.
adhocprefixEjercicio:adhocsufix Pruebe que cada sentencia de \(AxLog^{\tau}\) es universalmente válida
Llamaremos numerales a los siguientes símbolos \[0\ 1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6\ 7\ 8\ 9\] Usaremos \(Num\) para denotar el conjunto de numerales. Nótese que \(Num\cap\omega=\emptyset\). Sea \(Sig:Num^{\ast}\rightarrow Num^{\ast}\) definida de la siguiente manera \[\begin{aligned} Sig(\varepsilon) & =1\\ Sig(\alpha0) & =\alpha1\\ Sig(\alpha1) & =\alpha2\\ Sig(\alpha2) & =\alpha3\\ Sig(\alpha3) & =\alpha4\\ Sig(\alpha4) & =\alpha5\\ Sig(\alpha5) & =\alpha6\\ Sig(\alpha6) & =\alpha7\\ Sig(\alpha7) & =\alpha8\\ Sig(\alpha8) & =\alpha9\\ Sig(\alpha9) & =Sig(\alpha)0 \end{aligned}\] Definamos \(Dec:\omega\rightarrow Num^{\ast}\) de la siguiente manera \[\begin{aligned} Dec(0) & =\varepsilon\\ Dec(n+1) & =Sig(Dec(n)) \end{aligned}\] Nótese que para \(n\in\mathbf{N}\), la palabra \(Dec(n)\) es la notación usual decimal de \(n\). Para hacer mas ágil la notación escribiremos \(\bar{n}\) en lugar de \(Dec(n)\).
Sea \(Nombres_{1}\) el conjunto formado por las siguientes palabras \[\begin{aligned} & \text{EXISTENCIA}\\ & \text{COMMUTATIVIDAD}\\ & \text{PARTICULARIZACION}\\ & \text{ABSURDO}\\ & \text{EVOCACION}\\ & \text{CONJUNCIONELIMINACION}\\ & \text{EQUIVALENCIAELIMINACION}\\ & \text{DISJUNCIONINTRODUCCION}\\ & \text{ELECCION}\\ & \text{GENERALIZACION} \end{aligned}\] Sea \(Nombres_{2}\) el conjunto formado por las siguientes palabras \[\begin{aligned} & \text{MODUSPONENS}\\ & \text{TRANSITIVIDAD}\\ & \text{CONJUNCIONINTRODUCCION}\\ & \text{EQUIVALENCIAINTRODUCCION}\\ & \text{DISJUNCIONELIMINACION}\\ & \text{REEMPLAZO} \end{aligned}\] Una justificación básica es una palabra perteneciente a la unión de los siguientes conjuntos de palabras \[\{\text{CONCLUSION},\text{AXIOMAPROPIO},\text{AXIOMALOGICO}\}\] \[\{\alpha(\bar{k}):k\in\mathbf{N}\text{ y }\alpha\in Nombres_{1}\}\] \[\{\alpha(\bar{j},\bar{k}):j,k\in\mathbf{N}\text{ y }\alpha\in Nombres_{2}\}\] \[\{\text{DIVISIONPORCASOS}(\bar{j},\bar{k},\bar{l}):j,k,l\in\mathbf{N}\}\] Usaremos \(JustBas\) para denotar el conjunto formado por todas las justificaciones básicas. Una justificación es una palabra que ya sea es una justificación básica o pertenece a la unión de los siguientes conjuntos de palabras \[\{\text{HIPOTESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\] \[\{\text{TESIS}\bar{j}\alpha:j\in\mathbf{N}\text{ y }\alpha\in JustBas\}\] Usaremos \(Just\) para denotar el conjunto formado por todas las justificaciones. Cabe destacar que los elementos de \(Just\) son palabras del alfabeto formado por los siguientes símbolos \[(\ )\ ,\ 0\ 1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6\ 7\ 8\ 9\ \mathrm{A}\ \mathrm{B}\ \mathrm{C}\ \mathrm{D}\ \mathrm{E}\ \mathrm{G}\ \mathrm{H}\ \mathrm{I}\ \mathrm{J}\ \mathrm{L}\ \mathrm{M}\ \mathrm{N}\ \mathrm{O}\ \mathrm{P}\ \mathrm{Q}\ \mathrm{R}\ \mathrm{S}\ \mathrm{T}\ \mathrm{U}\ \mathrm{V}\ \mathrm{X}\ \mathrm{Z}\]
Para construir el concepto de prueba elemental deberíamos trabajar con sucesiones finitas de justificaciones pero el siguiente lema nos dice que podemos reemplazarlas por ciertas palabras, i.e. sus concatenaciones, sin perder información. Recordemos que si \(L\) es un conjunto de palabras, entonces denotaremos con \(L^{+}\) al conjunto formado por todas las concatenaciones de sucesiones finitas no nulas de elementos de \(L\). Es decir: \[L^{+}=\{\alpha_{1}...\alpha_{n}:\alpha_{1},...,\alpha_{n}\in L\text{ y }n\geq1\}\]
3.39. Sea \(\mathbf{J}\in Just^{+}\). Hay únicos \(n\geq1\) y \(J_{1},...,J_{n}\in Just\) tales que \(\mathbf{J}=J_{1}...J_{n}\).
Proof. Supongamos \(J_{1},...,J_{n}\), \(J_{1}^{\prime},...,J_{m}^{\prime}\), con \(n,m\geq1\), son justificaciones tales que \(J_{1}...J_{n}=J_{1}^{\prime}...J_{m}^{\prime}\). Es fácil ver que entonces tenemos \(J_{1}=J_{1}^{\prime}\), por lo cual \(J_{2}...J_{n}=J_{2}^{\prime}...J_{m}^{\prime}\). Un argumento inductivo nos dice que entonces \(n=m\) y \(J_{i}=J_{i}^{\prime}\), \(i=1,...,n\)
Es decir el lema anterior nos dice que la sucesión \(J_{1},...,J_{n}\) se puede codificar con la palabra \(J_{1}...J_{n}\) sin perder información. Dada \(\mathbf{J}\in Just^{+}\), usaremos \(n(\mathbf{J})\) y \(\mathbf{J}_{1},...,\mathbf{J}_{n(\mathbf{J})}\) para denotar los únicos \(n\) y \(J_{1},...,J_{n}\) cuya existencia garantiza el lema anterior.
Dados números naturales \(i\leq j\), usaremos \(\left\langle i,j\right\rangle\) para denotar el conjunto \(\{i,i+1,...,j\}.\) A los conjuntos de la forma \(\left\langle i,j\right\rangle\) los llamaremos bloques.
Dada \(\mathbf{J}\in Just^{+}\) definamos \[\begin{gathered} \mathcal{B}^{\mathbf{J}}=\{\left\langle i,j\right\rangle :1\leq i\leq j\leq n(\mathbf{J})\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \exists k\ \mathbf{J}_{i}=\text{HIPOTESIS}\bar{k}\text{ y}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{J}_{j}=\text{TESIS}\bar{k}\alpha\text{ para algún }\alpha\in JustBas\} \end{gathered}\] Diremos que \(\mathbf{J}\in Just^{+}\) es balanceada si se dan las siguientes
adhocprefix(1)adhocsufix Por cada \(k\in\mathbf{N}\) a lo sumo hay un \(i\) tal que \(\mathbf{J}_{i}=\) \(\mathrm{HIPOTESIS}\bar{k}\) y a lo sumo hay un \(i\) tal que \(\mathbf{J}_{i}=\) \(\mathrm{TESIS}\bar{k}\alpha\), con \(\alpha\in JustBas\)
adhocprefix(2)adhocsufix Si \(\mathbf{J}_{i}=\mathrm{HIPOTESIS}\bar{k}\) entonces hay un \(l>i\) tal que \(\mathbf{J}_{l}=\mathrm{TESIS}\bar{k}\alpha\), con \(\alpha\in JustBas\)
adhocprefix(3)adhocsufix Si \(\mathbf{J}_{i}=\mathrm{TESIS}\bar{k}\alpha\), con \(\alpha\in JustBas\), entonces hay un \(l<i\) tal que \(\mathbf{J}_{l}=\mathrm{HIPOTESIS}\bar{k}\)
adhocprefix(4)adhocsufix Si \(B_{1},B_{2}\in\mathcal{B}^{\mathbf{J}}\), entonces \(B_{1}\cap B_{2}=\emptyset\) o \(B_{1}\subseteq B_{2}\) o \(B_{2}\subseteq B_{1}\)
adhocprefixEjercicio:adhocsufix Supongamos \(\mathbf{J}\in Just^{+}\) es balanceada. Entonces
Si \(\left\langle i,j\right\rangle \in\mathcal{B}^{\mathbf{J}}\), entonces \(i<j\)
Si \(\left\langle i,j\right\rangle ,\left\langle i^{\prime},j^{\prime}\right\rangle \in\mathcal{B}^{\mathbf{J}}\) y \(i=i^{\prime}\), entonces \(j=j^{\prime}\)
Si \(\left\langle i,j\right\rangle ,\left\langle i^{\prime},j^{\prime}\right\rangle \in\mathcal{B}^{\mathbf{J}}\) y \(j=j^{\prime}\), entonces \(i=i^{\prime}\)
Para construir el concepto de prueba elemental deberíamos trabajar con sucesiones finitas de sentencias pero el siguiente lema nos dice que podemos reemplazarlas por ciertas palabras, i.e. sus concatenaciones, sin perder información.
3.40. Sea \(\boldsymbol{\varphi}\in S^{\tau+}\). Hay únicos \(n\geq1\) y \(\varphi_{1},...,\varphi_{n}\in S^{\tau}\) tales que \(\boldsymbol{\varphi}=\varphi_{1}...\varphi_{n}\).
Proof. Solo hay que probar la unicidad la cual sigue de la Proposición 3.1.
Es decir el lema anterior nos dice que la sucesión \(\varphi_{1},...,\varphi_{n}\) se puede codificar con la palabra \(\varphi_{1}...\varphi_{n}\) sin perder información. Dada \(\boldsymbol{\varphi}\in S^{\tau+}\), usaremos \(n(\boldsymbol{\varphi})\) y \(\boldsymbol{\varphi}_{1},...,\boldsymbol{\varphi}_{n(\boldsymbol{\varphi})}\) para denotar los únicos \(n\) y \(\varphi_{1},...,\varphi_{n}\) cuya existencia garantiza el lema anterior.
Un par adecuado de tipo \(\tau\) es un par \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\in S^{\tau+}\times Just^{+}\) tal que \(n(\boldsymbol{\varphi})=n(\mathbf{J})\) y \(\mathbf{J}\) es balanceada.
Sea \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) un par adecuado de tipo \(\tau\). Si \(\left\langle i,j\right\rangle \in\mathcal{B}^{\mathbf{J}}\), entonces \(\boldsymbol{\varphi}_{i}\) será la hipótesis del bloque \(\left\langle i,j\right\rangle\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) y \(\boldsymbol{\varphi}_{j}\) será la tesis del bloque \(\left\langle i,j\right\rangle\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\). Diremos que \(\boldsymbol{\varphi}_{i}\) esta bajo la hipótesis \(\boldsymbol{\varphi}_{l}\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) o que \(\boldsymbol{\varphi}_{l}\) es una hipótesis de \(\boldsymbol{\varphi}_{i}\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) cuando haya en \(\mathcal{B}^{\mathbf{J}}\) un bloque de la forma \(\left\langle l,j\right\rangle\) el cual contenga a \(i\). Sean \(i,j\in\left\langle 1,n(\boldsymbol{\varphi})\right\rangle .\) Diremos que \(i\) es anterior a \(j\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) si \(i<j\) y además para todo \(B\in\mathcal{B}^{\mathbf{J}}\) se tiene que \(i\in B\Rightarrow j\in B\).
Sea \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) un par adecuado de tipo \(\tau\). Dadas \(e,d\in\mathcal{C}\), diremos que \(e\) depende directamente de \(d\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) si hay números \(1\leq l<j\leq n(\boldsymbol{\varphi})\) tales que
adhocprefix(1)adhocsufix \(l\) es anterior a \(j\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\)
adhocprefix(2)adhocsufix \(\mathbf{J}_{j}=\alpha\mathrm{ELECCION}(\bar{l})\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\) y \((\boldsymbol{\varphi}_{l},\boldsymbol{\varphi}_{j})\in Elec^{\tau}\) vía \(e\)
adhocprefix(3)adhocsufix \(d\) ocurre en \(\boldsymbol{\varphi}_{l}\).
Dados \(e,d\in\mathcal{C}\), diremos que \(e\) depende de \(d\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) si existen \(e_{0},...,e_{k+1}\in\mathcal{C}\), con \(k\geq0\), tales que
adhocprefix(1)adhocsufix \(e_{0}=e\) y \(e_{k+1}=d\)
adhocprefix(2)adhocsufix \(e_{i}\) depende directamente de \(e_{i+1}\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\), para \(i=0,...,k\).
Ahora sí estamos en condiciones de definir el concepto de prueba formal en una teoría de primer orden. Sea \((\Sigma,\tau)\) una teoría de primer orden. Sea \(\varphi\) una sentencia de tipo \(\tau\). Una prueba formal de \(\varphi\) en \((\Sigma,\tau)\) será un par adecuado \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) de algún tipo \(\tau_{1}=(\mathcal{C}\cup\mathcal{C}_{1},\mathcal{F},\mathcal{R},a)\), con \(\mathcal{C}_{1}\) finito y disjunto con \(\mathcal{C}\), tal que
adhocprefix(1)adhocsufix Cada \(\boldsymbol{\varphi}_{i}\) es una sentencia de tipo \(\tau_{1}\)
adhocprefix(2)adhocsufix \(\boldsymbol{\varphi}_{n(\boldsymbol{\varphi})}=\varphi\)
adhocprefix(3)adhocsufix Si \(\left\langle i,j\right\rangle \in\mathcal{B}^{\mathbf{J}}\), entonces \(\boldsymbol{\varphi}_{j+1}=(\boldsymbol{\varphi}_{i}\rightarrow\boldsymbol{\varphi}_{j})\) y \(\mathbf{J}_{j+1}=\alpha\mathrm{CONCLUSION}\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\)
adhocprefix(4)adhocsufix Para cada \(i=1,...,n(\boldsymbol{\varphi})\), se da una de las siguientes
adhocprefix(a)adhocsufix \(\mathbf{J}_{i}=\mathrm{HIPOTESIS}\bar{k}\) para algún \(k\in\mathbf{N}\)
adhocprefix(b)adhocsufix \(\mathbf{J}_{i}=\alpha\mathrm{CONCLUSION}\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\) y hay un \(j\) tal que \(\left\langle j,i-1\right\rangle \in\mathcal{B}^{\mathbf{J}}\) y \(\boldsymbol{\varphi}_{i}=(\boldsymbol{\varphi}_{j}\rightarrow\boldsymbol{\varphi}_{i-1})\)
adhocprefix(c)adhocsufix \(\mathbf{J}_{i}=\alpha\mathrm{AXIOMALOGICO}\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\) y \(\boldsymbol{\varphi}_{i}\) es un axioma lógico de tipo \(\tau_{1}\)
adhocprefix(d)adhocsufix \(\mathbf{J}_{i}=\alpha\mathrm{AXIOMAPROPIO}\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\) y \(\boldsymbol{\varphi}_{i}\in\Sigma\)
adhocprefix(e)adhocsufix \(\mathbf{J}_{i}=\alpha\mathrm{PARTICULARIZACION}(\bar{l})\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\), \(l\) anterior a \(i\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) y \((\boldsymbol{\varphi}_{l},\boldsymbol{\varphi}_{i})\in Partic^{\tau_{1}}\)
adhocprefix(f)adhocsufix \(\mathbf{J}_{i}=\alpha\mathrm{COMMUTATIVIDAD}(\bar{l})\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\), \(l\) anterior a \(i\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) y \((\boldsymbol{\varphi}_{l},\boldsymbol{\varphi}_{i})\in Commut^{\tau_{1}}\)
adhocprefix(g)adhocsufix \(\mathbf{J}_{i}=\alpha\mathrm{ABSURDO}(\bar{l})\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\), \(l\) anterior a \(i\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) y \((\boldsymbol{\varphi}_{l},\boldsymbol{\varphi}_{i})\in Absur^{\tau_{1}}\)
adhocprefix(h)adhocsufix \(\mathbf{J}_{i}=\alpha\mathrm{EVOCACION}(\bar{l})\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\), \(l\) anterior a \(i\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) y \((\boldsymbol{\varphi}_{l},\boldsymbol{\varphi}_{i})\in Evoc^{\tau_{1}}\)
adhocprefix(i)adhocsufix \(\mathbf{J}_{i}=\alpha\mathrm{EXISTENCIA}(\bar{l})\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\), \(l\) anterior a \(i\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) y \((\boldsymbol{\varphi}_{l},\boldsymbol{\varphi}_{i})\in Exist^{\tau_{1}}\)
adhocprefix(j)adhocsufix \(\mathbf{J}_{i}=\alpha\mathrm{CONJUNCIONELIMINACION}(\bar{l})\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\), \(l\) anterior a \(i\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) y \((\boldsymbol{\varphi}_{l},\boldsymbol{\varphi}_{i})\in ConjElim^{\tau_{1}}\)
adhocprefix(k)adhocsufix \(\mathbf{J}_{i}=\alpha\mathrm{DISJUNCIONINTRODUCCION}(\bar{l})\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\), \(l\) anterior a \(i\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) y \((\boldsymbol{\varphi}_{l},\boldsymbol{\varphi}_{i})\in DisjInt^{\tau_{1}}\)
adhocprefix(l)adhocsufix \(\mathbf{J}_{i}=\alpha\mathrm{EQUIVALENCIAELIMINACION}(\bar{l})\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\), \(l\) anterior a \(i\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) y \((\boldsymbol{\varphi}_{l},\boldsymbol{\varphi}_{i})\in EquivElim^{\tau_{1}}\)
adhocprefix(m)adhocsufix \(\mathbf{J}_{i}=\alpha\mathrm{MODUSPONENS}(\overline{l_{1}},\overline{l_{2}})\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\), \(l_{1}\) y \(l_{2}\) anteriores a \(i\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) y \((\boldsymbol{\varphi}_{l_{1}},\boldsymbol{\varphi}_{l_{2}},\boldsymbol{\varphi}_{i})\in ModPon^{\tau_{1}}\)
adhocprefix(n)adhocsufix \(\mathbf{J}_{i}=\alpha\mathrm{CONJUNCIONINTRODUCCION}(\overline{l_{1}},\overline{l_{2}})\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\), \(l_{1}\) y \(l_{2}\) anteriores a \(i\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) y \((\boldsymbol{\varphi}_{l_{1}},\boldsymbol{\varphi}_{l_{2}},\boldsymbol{\varphi}_{i})\in ConjInt^{\tau_{1}}\)
adhocprefix(o)adhocsufix \(\mathbf{J}_{i}=\alpha\mathrm{EQUIVALENCIAINTRODUCCION}(\overline{l_{1}},\overline{l_{2}})\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\), \(l_{1}\) y \(l_{2}\) anteriores a \(i\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) y \((\boldsymbol{\varphi}_{l_{1}},\boldsymbol{\varphi}_{l_{2}},\boldsymbol{\varphi}_{i})\in EquivInt^{\tau_{1}}\)
adhocprefix(p)adhocsufix \(\mathbf{J}_{i}=\alpha\mathrm{DISJUNCIONELIMINACION}(\overline{l_{1}},\overline{l_{2}})\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\), \(l_{1}\) y \(l_{2}\) anteriores a \(i\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) y \((\boldsymbol{\varphi}_{l_{1}},\boldsymbol{\varphi}_{l_{2}},\boldsymbol{\varphi}_{i})\in DisjElim^{\tau_{1}}\)
adhocprefix(q)adhocsufix \(\mathbf{J}_{i}=\alpha\mathrm{REEMPLAZO}(\overline{l_{1}},\overline{l_{2}})\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\), \(l_{1}\) y \(l_{2}\) anteriores a \(i\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) y \((\boldsymbol{\varphi}_{l_{1}},\boldsymbol{\varphi}_{l_{2}},\boldsymbol{\varphi}_{i})\in Reemp^{\tau_{1}}\)
adhocprefix(r)adhocsufix \(\mathbf{J}_{i}=\alpha\mathrm{TRANSITIVIDAD}(\overline{l_{1}},\overline{l_{2}})\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\), \(l_{1}\) y \(l_{2}\) anteriores a \(i\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) y \((\boldsymbol{\varphi}_{l_{1}},\boldsymbol{\varphi}_{l_{2}},\boldsymbol{\varphi}_{i})\in Trans^{\tau_{1}}\)
adhocprefix(s)adhocsufix \(\mathbf{J}_{i}=\alpha\mathrm{DIVISIONPORCASOS}(\overline{l_{1}},\overline{l_{2}},\overline{l_{3}})\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\), \(l_{1},l_{2}\) y \(l_{3}\) anteriores a \(i\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) y \((\boldsymbol{\varphi}_{l_{1}},\boldsymbol{\varphi}_{l_{2}},\boldsymbol{\varphi}_{l_{3}},\boldsymbol{\varphi}_{i})\in DivPorCas^{\tau_{1}}\)
adhocprefix(t)adhocsufix \(\mathbf{J}_{i}=\alpha\mathrm{ELECCION}(\bar{l})\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\), \(l\) anterior a \(i\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) y \((\boldsymbol{\varphi}_{l},\boldsymbol{\varphi}_{i})\in Elec^{\tau_{1}}\) vía un nombre de cte \(e\), el cual no pertenece a \(\mathcal{C}\) y no ocurre en \(\boldsymbol{\varphi}_{1},...,\boldsymbol{\varphi}_{i-1}\).
adhocprefix(u)adhocsufix \(\mathbf{J}_{i}=\alpha\mathrm{GENERALIZACION}(\bar{l})\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\), \(l\) anterior a \(i\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) y \((\boldsymbol{\varphi}_{l},\boldsymbol{\varphi}_{i})\in Generaliz^{\tau_{1}}\) vía un nombre de cte \(c\) el cual cumple:
adhocprefix(i)adhocsufix \(c\not\in\mathcal{C}\)
adhocprefix(ii)adhocsufix \(c\) no es un nombre de cte que sea introducido en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) por la aplicación de la regla de elección; es decir para cada \(u\in\{1,...,n(\boldsymbol{\varphi})\}\), si \(\mathbf{J}_{u}=\alpha\mathrm{ELECCION}(\bar{v})\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\) y \(v\) anterior a \(u\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\), entonces no se da que \((\boldsymbol{\varphi}_{v},\boldsymbol{\varphi}_{u})\in Elec^{\tau_{1}}\) vía \(c\).
adhocprefix(iii)adhocsufix Para cada \(u\in\{1,...,n(\boldsymbol{\varphi})\}\), si \(\boldsymbol{\varphi}_{u}\) es hipótesis de \(\boldsymbol{\varphi}_{l}\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\), entonces \(c\) no ocurre en \(\boldsymbol{\varphi}_{u}\)
adhocprefix(iv)adhocsufix Ningún nombre de constante que ocurra en \(\boldsymbol{\varphi}_{l}\) depende de \(c\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\)
adhocprefix(v)adhocsufix Para cada \(u\in\{1,...,n(\boldsymbol{\varphi})\}\), si \(\boldsymbol{\varphi}_{u}\) es hipótesis de \(\boldsymbol{\varphi}_{l}\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\), entonces ningún nombre de constante que ocurra en \(\boldsymbol{\varphi}_{u}\) depende de \(c\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\)
Los nombres de constante de \(\mathcal{C}_{1}\) que ocurran en \(\boldsymbol{\varphi}\) serán llamados los nombres de constante auxiliares de \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\). Nótese que los nombres de constante auxiliares de \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) son la versión formalizada de los nombres de elementos fijos usados en una prueba elemental. Al tipo \((\mathcal{C}\cup\{\text{nombres de cte auxiliares de }(\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\},\mathcal{F},\mathcal{R},a)\) lo llamaremos el tipo ambiente de \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\).
Cuando haya una prueba de \(\varphi\) en \((\Sigma,\tau)\), diremos que \(\varphi\) es un teorema de la teoría \((\Sigma,\tau)\) y escribiremos \((\Sigma,\tau)\vdash\varphi\). A continuación daremos algunos ejemplos de teoremas exhibiendo sus pruebas formales.
Sea \(\mu=\forall x_{1}\forall x_{2}((\forall x_{3}\leq(x_{3},x_{1})\wedge\forall x_{3}\leq(x_{3},x_{2}))\rightarrow(x_{1}\equiv x_{2}))\). Veamos que \(\mu\) es un teorema de \(Po\). La idea para hacer la prueba formal es ir copiando la estructura de la prueba elemental de \(\mu\) dada la Sección Pruebas Elementales de Posets. Para facilitar la lectura la escribiremos secuencialmente \[\begin{array}{llll} 1.\; & (\forall x_{3}\leq(x_{3},a)\wedge\forall x_{3}\leq(x_{3},b)) & & \mathrm{HIPOTESIS}1\\ 2.\; & \forall x_{3}\leq(x_{3},a) & & \mathrm{CONJUNCIONELIMINACION}(1)\\ 3.\; & \leq(b,a) & & \mathrm{PARTICULARIZACION}(2)\\ 4.\; & \forall x_{3}\leq(x_{3},b) & & \mathrm{CONJUNCIONELIMINACION}(1)\\ 5. & \leq(a,b) & & \mathrm{PARTICULARIZACION}(4)\\ 6. & (\leq(a,b)\wedge\leq(b,a)) & & \text{CONJUNCIONINTRODUCCION}(5,3)\\ 7. & \forall x_{1}\forall x_{2}((\leq(x_{1},x_{2})\wedge\leq(x_{2},x_{1}))\rightarrow(x_{1}\equiv x_{2})) & & \text{AXIOMAPROPIO}\\ 8. & \forall x_{2}((\leq(a,x_{2})\wedge\leq(x_{2},a))\rightarrow(a\equiv x_{2})) & & \text{PARTICULARIZACION}(7)\\ 9. & ((\leq(a,b)\wedge\leq(b,a))\rightarrow(a\equiv b)) & & \text{PARTICULARIZACION}(8)\\ 10. & (a\equiv b) & & \text{TESIS}1\text{MODUSPONENS}(6,9)\\ 11. & ((\forall x_{3}\leq(x_{3},a)\wedge\forall x_{3}\leq(x_{3},b))\rightarrow(a\equiv b)) & & \text{CONCLUSION}\\ 12. & \forall x_{2}((\forall x_{3}\leq(x_{3},a)\wedge\forall x_{3}\leq(x_{3},x_{2}))\rightarrow(a\equiv x_{2})) & & \text{GENERALIZACION}(11)\\ 13. & \forall x_{1}\forall x_{2}((\forall x_{3}\leq(x_{3},x_{1})\wedge\forall x_{3}\leq(x_{3},x_{2}))\rightarrow(x_{1}\equiv x_{2})) & & \text{GENERALIZACION}(12) \end{array}\] Pero por supuesto, nuestra prueba formal es en realidad el par \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) donde \(\boldsymbol{\varphi}\) es la concatenación de la secuencia de sentencias de arriba y \(\mathbf{J}\) es la concatenación de la secuencia de justificaciones de arriba. Nótese que las sentencias de esta prueba formal son de tipo \((\{a,b\},\emptyset,\{\leq\},\{(\leq,2)\})\) es decir extendimos \(\tau_{Po}\) agregando dos nombres de constante nuevos, los cuales en la “idea” de la prueba denotan elementos fijos pero arbitrarios. O sea que para esta prueba tenemos que el \(\mathcal{C}_{1}\) al que se refiere la definición de prueba es el conjunto \(\{a,b\}\). Es decir las palabras \(a\) y \(b\) son los nombres de constante auxiliares de \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) y el tipo ambiente de \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) es \((\{a,b\},\emptyset,\{\leq\},\{(\leq,2)\})\).
Veamos algunos teoremas con sus pruebas formales de esta teoría.
adhocprefix-adhocsufix \(\forall x_{1}(x_{1}\equiv x_{1})\) es un teorema de \((\emptyset,\tau)\), atestiguado por la prueba formal \[\begin{array}{llll} 1.\; & c\equiv c & & \text{AXIOMALOGICO}\\ 2.\; & \forall x_{1}(x_{1}\equiv x_{1}) & & \text{GENERALIZACION}(1) \end{array}\] (\(c\) es un nombre de cte no perteneciente a \(\mathcal{C}\) y tal que \((\mathcal{C}\cup\{c\},\mathcal{F},\mathcal{R},a)\) es un tipo).
adhocprefix-adhocsufix Cualesquiera sea la sentencia \(\varphi\) de tipo \(\tau\) se tiene que \((\varphi\rightarrow\varphi)\) es un teorema de \((\emptyset,\tau)\). Una prueba formal: \[\begin{array}{llll} 1. & \varphi & & \text{HIPOTESIS}1\\ 2. & \varphi & & \text{TESIS}1\text{EVOCACION}(1)\\ 3. & (\varphi\rightarrow\varphi) & & \text{CONCLUSION} \end{array}\]
adhocprefix-adhocsufix Cualesquiera sea la sentencia \(\varphi\) de tipo \(\tau\) se tiene que \((\varphi\leftrightarrow\varphi)\) es un teorema de \((\emptyset,\tau)\). Una prueba formal: \[\begin{array}{llll} 1. & \varphi & & \text{HIPOTESIS}1\\ 2. & \varphi & & \text{TESIS}1\text{EVOCACION}(1)\\ 3. & (\varphi\rightarrow\varphi) & & \text{CONCLUSION}\\ 4. & (\varphi\rightarrow\varphi) & & \text{EVOCACION}(3)\\ 5. & (\varphi\leftrightarrow\varphi) & & \text{EQUIVALENCIAINTRODUCCION}(3,4) \end{array}\] Cualesquiera sea la sentencias \(\varphi\) de tipo \(\tau\) se tiene que \((\varphi\vee\neg\varphi)\) es un teorema de \((\emptyset,\tau)\). Una prueba formal: \[\begin{array}{llll} 1. & \neg\varphi & & \text{HIPOTESIS}1\\ 2. & \neg\varphi & & \text{TESIS}1\text{EVOCACION}(1)\\ 3. & (\neg\varphi\rightarrow\neg\varphi) & & \text{CONCLUSION}\\ 4. & (\varphi\vee\neg\varphi) & & \text{DISJUNCIONINTRODUCCION}(3) \end{array}\] Cualesquiera sea la sentencias \(\varphi\) de tipo \(\tau\) se tiene que \(\neg(\varphi\wedge\neg\varphi)\) es un teorema de \((\emptyset,\tau)\). Una prueba formal: \[\begin{array}{llll} 1. & (\varphi\wedge\neg\varphi) & & \text{HIPOTESIS}1\\ 2. & (\varphi\wedge\neg\varphi) & & \text{TESIS}1\text{EVOCACION}(1)\\ 3. & ((\varphi\wedge\neg\varphi)\rightarrow(\varphi\wedge\neg\varphi)) & & \text{CONCLUSION}\\ 4. & \neg(\varphi\wedge\neg\varphi) & & \text{ABSURDO}(3) \end{array}\] Cualesquiera sean las sentencias \(\varphi_{1}\text{ y }\varphi_{2}\) de tipo \(\tau\) se tiene que \(((\varphi_{1}\vee\varphi_{2})\rightarrow(\varphi_{2}\vee\varphi_{1}))\) es un teorema de \((\emptyset,\tau)\). Una prueba formal: \[\begin{array}{llll} 1. & (\varphi_{1}\vee\varphi_{2}) & & \text{HIPOTESIS}1\\ 2. & \varphi_{1} & & \text{HIPOTESIS}2\\ 3. & (\varphi_{2}\vee\varphi_{1}) & & \text{TESIS}2\text{DISJUNCIONINTRODUCCION}(2)\\ 4. & (\varphi_{1}\rightarrow(\varphi_{2}\vee\varphi_{1})) & & \text{CONCLUSION}\\ 5. & \varphi_{2} & & \text{HIPOTESIS}3\\ 6. & (\varphi_{2}\vee\varphi_{1}) & & \text{TESIS}3\text{DISJUNCIONINTRODUCCION}(5)\\ 7. & \varphi_{2}\rightarrow(\varphi_{2}\vee\varphi_{1}) & & \text{CONCLUSION}\\ 8. & (\varphi_{2}\vee\varphi_{1}) & & \text{TESIS}1\text{DIVISIONPORCASOS}(1,4,7)\\ 9. & ((\varphi_{1}\vee\varphi_{2})\rightarrow(\varphi_{2}\vee\varphi_{1})) & & \text{CONCLUSION} \end{array}\]
adhocprefix-adhocsufix Cualesquiera sean las sentencias \(\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3}\) de tipo \(\tau\) se tiene que \(((\varphi_{1}\vee(\varphi_{2}\vee\varphi_{3}))\rightarrow((\varphi_{1}\vee\varphi_{2})\vee\varphi_{3}))\) es un teorema de \((\emptyset,\tau)\). Una prueba formal: \[\begin{array}{llll} 1. & (\varphi_{1}\vee(\varphi_{2}\vee\varphi_{3})) & & \text{HIPOTESIS}1\\ 2. & \varphi_{1} & & \text{HIPOTESIS}2\\ 3. & (\varphi_{1}\vee\varphi_{2}) & & \text{DISJUNCIONINTRODUCCION}(2)\\ 4. & ((\varphi_{1}\vee\varphi_{2})\vee\varphi_{3}) & & \text{TESIS}2\text{DISJUNCIONINTRODUCCION}(3)\\ 5. & (\varphi_{1}\rightarrow((\varphi_{1}\vee\varphi_{2})\vee\varphi_{3})) & & \text{CONCLUSION}\\ 6. & (\varphi_{2}\vee\varphi_{3}) & & \text{HIPOTESIS}3\\ 7. & \varphi_{2} & & \text{HIPOTESIS}4\\ 8. & (\varphi_{1}\vee\varphi_{2}) & & \text{DISJUNCIONINTRODUCCION}(7)\\ 9. & ((\varphi_{1}\vee\varphi_{2})\vee\varphi_{3}) & & \text{TESIS}4\text{DISJUNCIONINTRODUCCION}(8)\\ 10. & (\varphi_{2}\rightarrow((\varphi_{1}\vee\varphi_{2})\vee\varphi_{3})) & & \text{CONCLUSION}\\ 11. & \varphi_{3} & & \text{HIPOTESIS}5\\ 12. & ((\varphi_{1}\vee\varphi_{2})\vee\varphi_{3}) & & \text{TESIS}5\text{DISJUNCIONINTRODUCCION}(11)\\ 13. & (\varphi_{3}\rightarrow((\varphi_{1}\vee\varphi_{2})\vee\varphi_{3})) & & \text{CONCLUSION}\\ 14. & ((\varphi_{1}\vee\varphi_{2})\vee\varphi_{3}) & & \text{TESIS}3\text{DIVISIONPORCASOS}(6,10,13)\\ 15. & ((\varphi_{2}\vee\varphi_{3})\rightarrow((\varphi_{1}\vee\varphi_{2})\vee\varphi_{3})) & & \text{CONCLUSION}\\ 16. & ((\varphi_{1}\vee\varphi_{2})\vee\varphi_{3}) & & \text{TESIS}1\text{DIVISIONPORCASOS}(1,5,15)\\ 17. & ((\varphi_{1}\vee(\varphi_{2}\vee\varphi_{3}))\rightarrow((\varphi_{1}\vee\varphi_{2})\vee\varphi_{3})) & & \text{CONCLUSION} \end{array}\]
adhocprefix-adhocsufix Cualesquiera sean las sentencias \(\varphi\text{ y }\psi\) la sentencia \(((\varphi\wedge(\varphi\vee\psi))\leftrightarrow\varphi)\) es un teorema de \((\emptyset,\tau)\). Una prueba formal: \[\begin{array}{llll} 1.\; & (\varphi\wedge(\varphi\vee\psi)) & & \text{HIPOTESIS}1\\ 2.\; & \varphi & & \text{TESIS}1\text{CONJUNCIONELIMINACION}(1)\\ 3.\; & ((\varphi\wedge(\varphi\vee\psi))\rightarrow\varphi) & & \text{CONCLUSION}\\ 4.\; & \varphi & & \text{HIPOTESIS}2\\ 5. & (\varphi\vee\psi) & & \text{DISJUNCIONINTRODUCCION}(4)\\ 6. & (\varphi\wedge(\varphi\vee\psi)) & & \text{TESIS}2\text{CONJUNCIONINTRODUCCION}(4,5)\\ 7. & (\varphi\rightarrow(\varphi\wedge(\varphi\vee\psi))) & & \text{CONCLUSION}\\ 8. & ((\varphi\wedge(\varphi\vee\psi))\leftrightarrow\varphi) & & \text{EQUIVALENCIAINTRODUCCION}(3,7) \end{array}\]
adhocprefix-adhocsufix Cualesquiera sean las sentencias \(\varphi\text{ y }\psi\) la sentencia \(((\varphi\vee(\varphi\wedge\psi))\leftrightarrow\varphi)\) es un teorema de \((\emptyset,\tau)\). Una prueba formal: \[\begin{array}{llll} 1.\; & (\varphi\vee(\varphi\wedge\psi)) & & \text{HIPOTESIS}1\\ 2.\; & \varphi & & \text{HIPOTESIS}2\\ 3.\; & \varphi & & \text{TESIS}2\text{EVOCACION}(2)\\ 4.\; & (\varphi\rightarrow\varphi) & & \text{CONCLUSION}\\ 5. & (\varphi\wedge\psi) & & \text{HIPOTESIS}3\\ 6. & \varphi & & \text{TESIS}3\text{CONJUNCIONELIMINACION}(5)\\ 7. & ((\varphi\wedge\psi)\rightarrow\varphi) & & \text{CONCLUSION}\\ 8. & \varphi & & \text{TESIS}1\text{DIVISIONPORCASOS}(1,4,7)\\ 9. & ((\varphi\vee(\varphi\wedge\psi))\rightarrow\varphi) & & \text{CONCLUSION}\\ 10. & \varphi & & \text{HIPOTESIS}4\\ 11. & (\varphi\vee(\varphi\wedge\psi)) & & \text{TESIS}4\text{DISJUNCIONINTRODUCCION}(10)\\ 12. & (\varphi\rightarrow(\varphi\vee(\varphi\wedge\psi))) & & \text{CONCLUSION}\\ 13. & ((\varphi\vee(\varphi\wedge\psi))\leftrightarrow\varphi) & & \text{EQUIVALENCIAINTRODUCCION}(9,12) \end{array}\]
adhocprefix-adhocsufix Cualesquiera sean las sentencias \(\varphi_{1},\varphi_{2}\text{ y }\varphi\) la sentencia \(((\varphi\wedge(\varphi_{1}\vee\varphi_{2}))\rightarrow((\varphi\wedge\varphi_{1})\vee(\varphi\wedge\varphi_{2})))\) es un teorema de \((\emptyset,\tau)\). Una prueba formal: \[\begin{array}{llll} 1.\; & (\varphi\wedge(\varphi_{1}\vee\varphi_{2})) & & \text{HIPOTESIS}1\\ 2.\; & \varphi & & \text{CONJUNCIONELIMINACION}(1)\\ 3.\; & (\varphi_{1}\vee\varphi_{2}) & & \text{CONJUNCIONELIMINACION}(1)\\ 4.\; & \varphi_{1} & & \text{HIPOTESIS}2\\ 5. & (\varphi\wedge\varphi_{1}) & & \text{CONJUNCIONINTRODUCCION}(2,4)\\ 6. & ((\varphi\wedge\varphi_{1})\vee(\varphi\wedge\varphi_{2})) & & \text{TESIS}2\text{DISJUNCIONINTRODUCCION}(5)\\ 7. & (\varphi_{1}\rightarrow((\varphi\wedge\varphi_{1})\vee(\varphi\wedge\varphi_{2}))) & & \text{CONCLUSION}\\ 8. & \varphi_{2} & & \text{HIPOTESIS}3\\ 9. & (\varphi\wedge\varphi_{2}) & & \text{CONJUNCIONINTRODUCCION}(2,8)\\ 10. & ((\varphi\wedge\varphi_{1})\vee(\varphi\wedge\varphi_{2})) & & \text{TESIS}3\text{DISJUNCIONINTRODUCCION}(9)\\ 11. & (\varphi_{2}\rightarrow((\varphi\wedge\varphi_{1})\vee(\varphi\wedge\varphi_{2}))) & & \text{CONCLUSION}\\ 12. & ((\varphi\wedge\varphi_{1})\vee(\varphi\wedge\varphi_{2})) & & \text{TESIS}1\text{DIVISIONPORCASOS}(3,7,11)\\ 13. & ((\varphi\wedge(\varphi_{1}\vee\varphi_{2}))\rightarrow((\varphi\wedge\varphi_{1})\vee(\varphi\wedge\varphi_{2}))) & & \text{CONCLUSION} \end{array}\]
adhocprefix-adhocsufix Cualesquiera sean las sentencias \(\varphi_{1},\varphi_{2}\text{ y }\varphi\) la sentencia \((((\varphi\wedge\varphi_{1})\vee(\varphi\wedge\varphi_{2}))\rightarrow(\varphi\wedge(\varphi_{1}\vee\varphi_{2})))\) es un teorema de \((\emptyset,\tau)\). Una prueba formal: \[\begin{array}{llll} 1.\; & ((\varphi\wedge\varphi_{1})\vee(\varphi\wedge\varphi_{2})) & & \text{HIPOTESIS}1\\ 2.\; & (\varphi\wedge\varphi_{1}) & & \text{HIPOTESIS}2\\ 3.\; & \varphi & & \text{CONJUNCIONELIMINACION}(2)\\ 4.\; & \varphi_{1} & & \text{CONJUNCIONELIMINACION}(2)\\ 5. & (\varphi_{1}\vee\varphi_{2}) & & \text{DISJUNCIONINTRODUCCION}(4)\\ 6. & (\varphi\wedge(\varphi_{1}\vee\varphi_{2})) & & \text{TESIS}2\text{CONJUNCIONINTRODUCCION}(3,5)\\ 7. & ((\varphi\wedge\varphi_{1})\rightarrow(\varphi\wedge(\varphi_{1}\vee\varphi_{2}))) & & \text{CONCLUSION}\\ 8. & (\varphi\wedge\varphi_{2}) & & \text{HIPOTESIS}3\\ 9. & \varphi & & \text{CONJUNCIONELIMINACION}(8)\\ 10. & \varphi_{2} & & \text{CONJUNCIONELIMINACION}(8)\\ 11. & (\varphi_{1}\vee\varphi_{2}) & & \text{DISJUNCIONINTRODUCCION}(10)\\ 12. & (\varphi\wedge(\varphi_{1}\vee\varphi_{2})) & & \text{TESIS}3\text{CONJUNCIONINTRODUCCION}(9,11)\\ 13. & ((\varphi\wedge\varphi_{2})\rightarrow(\varphi\wedge(\varphi_{1}\vee\varphi_{2}))) & & \text{CONCLUSION}\\ 14. & (\varphi\wedge(\varphi_{1}\vee\varphi_{2})) & & \text{TESIS}1\text{DIVISIONPORCASOS}(1,7,13)\\ 15. & (((\varphi\wedge\varphi_{1})\vee(\varphi\wedge\varphi_{2}))\rightarrow(\varphi\wedge(\varphi_{1}\vee\varphi_{2}))) & & \text{CONCLUSION} \end{array}\]
A continuación damos varias sentencias para que el lector de pruebas formales en \(RetCua\). La forma mas fácil de hacer esto es primero dar la prueba elemental tal como se lo hizo en la Sección de Reticulados Cuaterna y luego traducir la prueba elemental a una prueba formal. No se recomienda al lector que “cuan escarabajo” intente aplicar las reglas mecánicamente para obtener la prueba formal. Todo lo contrario el debe volver a la sección de reticulados cuaterna y hacer la respectiva prueba elemental imaginando como matemático la “novela” de su prueba elemental para luego dedicarse a traducirla a una formal. Reescribimos aquí los consejos dados en la sección de reticulados cuaterna para realizar pruebas elementales de reticulados cuaterna:
adhocprefixConsejos importantes:adhocsufix Por favor contengan a su escarabajo interior...
adhocprefix-adhocsufix Cuando queramos hacer una prueba elemental de alguna sentencia elemental pura es importante no perder nuestro rol de matemáticos y creer que porque debemos realizar la prueba escribiendo las cosas con sentencias elementales debemos dejar de pensar como matemáticos y volvernos escarabajos sintácticos mecánicos que solo usan reglas y van encadenando sentencias elementales sin pensar e imaginar. Es decir, debemos hacer la prueba a lo mariposa pensando, imaginando. Tal como lo venimos haciendo pero agregando la consigna de que a la matemática involucrada la escribamos usando sentencias elementales.
adhocprefix-adhocsufix Una buena manera de hacer una prueba elemental de una sentencia elemental pura \(\varphi\) es primero hacer la prueba matemática sin fijarse demasiado si es elemental o no. Es decir partir de la suposición de que tenemos un reticulado cuaterna \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},\leq)\) fijo (pero arbitrario) e intentar (como matemáticos) probar que entonces en \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},\leq)\) se cumple \(\varphi\). Muchas ideas para esto las podrá obtener de las pruebas dadas en la Sección de Reticulados Par. Una ves que hayamos hecho nuestra prueba como matemáticos, intentar tunearla para que se vuelva una prueba elemental.
adhocprefix-adhocsufix Es decir debemos ser el mismo matemático de siempre solo que haciendo pruebas de un estilo muy particular.
adhocprefix-adhocsufix Además es un sano consejo que cuando hagamos la prueba matemática y también la elemental, no llenemos de “basura lógica”. Es decir, debemos ser fieles a que en tales pruebas nuestro rol es el de un matemático común y corriente (que hasta podría odiar la lógica como disciplina!) por lo cual no tiene sentido ahí hacer referencia a las reglas y mecánicas que constituyen una prueba formal. Por ejemplo poner en la prueba matemática o en la prueba elemental: Por Modus Ponens se tiene que....., es obviamente algo que un matemático no haría! Otro ejemplo: Usar \(\equiv\) en lugar del \(=\). Es decir todas estas cosas distraen y nos alejan de las ideas (por eso enojan en algún sentido a los matemáticos) en momentos donde la concentración e imaginación matemáticas son cruciales. Consejo: guarde para la prueba formal todos esos impulsos.
Cabe destacar que dar una prueba formal concreta no es ni mas ni menos que dar una formalización matemáticamente perfecta de la matemática informal existente en la respectiva prueba elemental. Es decir estamos formalizando “porciones de matemática real”.
adhocprefixEjercicio:adhocsufix De una prueba formal de \(\forall x_{1}(\mathsf{s}(x_{1},x_{1})\equiv x_{1})\) en \(RetCua\)
adhocprefixEjercicio:adhocsufix De una prueba formal de \(\forall x_{1}\forall x_{2}(\mathsf{s}(x_{1},x_{2})\equiv\mathsf{s}(x_{2},x_{1}))\) en \(RetCua\)
adhocprefixEjercicio:adhocsufix De una prueba formal de \(\forall x_{1}\forall x_{2}(\mathsf{i}(\mathsf{s}(x_{1},x_{2}),x_{1})\equiv x_{1})\) en \(RetCua\)
adhocprefixEjercicio:adhocsufix De una prueba formal de \(\forall x_{1}\forall x_{2}(\leq(x_{1},x_{2})\leftrightarrow(\mathsf{s}(x_{1},x_{2})\equiv x_{2}))\) en \(RetCua\)
Las pruebas formales modelizan nuestras pruebas elementales y hemos hecho las cosas para que la modelización sea lo mas fidedigna posible. En general el pasaje de la prueba elemental a la formal es rutinario y obvio. Es decir la idea subyacente a nuestra definición de prueba formal es que las pruebas (elementales) hechas por un matemático sean traducibles a una formal de la forma mas natural posible. A continuación daremos algunas de las mecánicas mas comunes usadas por los matemáticos en las pruebas y para cada caso daremos la forma en la que podemos “copiar” esto dentro de una prueba formal.
Es muy común que el matemático deduzca la sentencia \(\psi\) a partir de sentencias \((\varphi\leftrightarrow\psi)\) y \(\varphi\). Esto formalmente se puede hacer exactamente igual ya que \(\psi\) se deduce por la regla de reemplazo de \((\varphi\leftrightarrow\psi)\) y \(\varphi\) (es justo el caso \(n=0\) y \(\gamma=\varphi\)).
Cuando un matemático en el contexto de una prueba intenta probar una sentencia de la forma \((\varphi\rightarrow\psi)\) suele asumir como hipótesis \(\varphi\), luego sigue razonando y prueba \(\psi\) para entonces concluir que vale \((\varphi\rightarrow\psi)\). Esto formalmente lo podemos hacer de la misma manera: \[\begin{array}{llll} \;\;\vdots & \vdots & & \;\;\;\vdots\\ \;\;k.\; & \varphi & & \text{HIPOTESIS}1\\ \;\;\vdots & \vdots & & \;\;\;\vdots\\ \;\;j. & \psi & & \text{TESIS1}...\\ \;j+1. & (\varphi\rightarrow\psi) & & \text{CONCLUSION}\\ \;\;\vdots & \vdots & & \;\;\;\vdots \end{array}\]
Cuando un matemático en el contexto de una prueba intenta probar una sentencia de la forma \((\varphi\vee\psi)\) suele probar \((\lnot\varphi\rightarrow\psi)\) y entonces concluir que vale \((\varphi\vee\psi)\). Esto claramente puede emularse en nuestras pruebas formales usando la regla de disjunción-introducción (caso 3).
Cuando un matemático en el contexto de una prueba intenta probar una sentencia de la forma \((\varphi\leftrightarrow\psi)\) suele probar \((\varphi\rightarrow\psi)\) y \((\psi\rightarrow\varphi)\) y entonces concluir que vale \((\varphi\leftrightarrow\psi)\). Esto claramente puede emularse en nuestras pruebas formales usando la regla de equivalencia-introducción
Cuando un matemático ya sabe que es cierta una disjunción \((\varphi\vee\psi)\) e intenta probar una sentencia \(\gamma\) suele probar \((\varphi\rightarrow\gamma)\) y \((\psi\rightarrow\gamma)\) y entonces concluir que vale \(\gamma\). Esto claramente puede emularse en nuestras pruebas formales usando la regla de división por casos
Cuando un matemático intenta probar una sentencia por el absurdo asume su negación pero muchas veces se saltea un paso y pone directamente algo equivalente a la negación de dicha sentencia. Por ejemplo: El matemático va a probar por el absurdo una sentencia de la forma \((\varphi\vee\psi)\). Para esto asume \((\lnot\varphi\wedge\lnot\psi)\) y luego de cierto razonamiento llega a una contradicción de la forma \((\gamma\wedge\lnot\gamma)\). Concluye entonces \((\varphi\vee\psi)\). Formalmente haremos: \[\begin{array}{llll} \;\;\;1.\; & \lnot(\varphi\vee\psi) & & \text{HIPOTESIS}1\\ \;\;\;2.\; & (\lnot(\varphi\vee\psi)\leftrightarrow(\lnot\varphi\wedge\lnot\psi)) & & \text{AXIOMALOGICO}\\ \;\;\;3.\; & (\lnot\varphi\wedge\lnot\psi) & & \text{REEMPLAZO}(1,2)\\ \;\;\;\vdots & \;\;\;\vdots & & \;\;\;\;\;\vdots\\ \;\;\;k. & (\gamma\wedge\lnot\gamma) & & \text{TESIS1}...\\ \;k+1. & (\lnot(\varphi\vee\psi)\rightarrow(\gamma\wedge\lnot\gamma)) & & \text{CONCLUSION}\\ \;k+2. & (\varphi\vee\psi) & & \text{ABSURDO}(k+1) \end{array}\] Es decir hacemos exactamente lo mismo pero sin saltearnos el paso de negar la sentencia que queremos probar (i.e. \((\varphi\vee\psi)\)). Otro ejemplo: El matemático va a probar por el absurdo una sentencia de la forma \(\forall v\varphi\). Para esto asume \(\exists v\lnot\varphi(v)\) y luego de cierto razonamiento llega a una contradicción de la forma \((\gamma\wedge\lnot\gamma)\). Concluye entonces \(\forall v\varphi(v)\). Formalmente haremos: \[\begin{array}{llll} \;\;\;1.\; & \lnot\forall v\varphi & & \text{HIPOTESIS}1\\ \;\;\;2.\; & (\lnot\forall v\varphi\leftrightarrow\exists v\lnot\varphi) & & \text{AXIOMALOGICO}\\ \;\;\;3.\; & \exists v\lnot\varphi & & \text{REEMPLAZO}(1,2)\\ \;\;\;\vdots & \;\;\;\vdots & & \;\;\;\;\;\vdots\\ \;\;\;k. & (\gamma\wedge\lnot\gamma) & & \text{TESIS1}...\\ \;k+1. & (\lnot\forall v\varphi\rightarrow(\gamma\wedge\lnot\gamma)) & & \text{CONCLUSION}\\ \;k+2. & \forall v\varphi & & \text{ABSURDO}(k+1) \end{array}\] Un último ejemplo: El matemático va a probar por el absurdo una sentencia de la forma \((\varphi\rightarrow\psi)\). Para esto asume \((\varphi\wedge\lnot\psi)\) y luego de cierto razonamiento llega a una contradicción de la forma \((\gamma\wedge\lnot\gamma)\). Concluye entonces \((\varphi\rightarrow\psi)\). Formalmente haremos: \[\begin{array}{llll} \;\;\;1.\; & \lnot(\varphi\rightarrow\psi) & & \text{HIPOTESIS}1\\ \;\;\;2.\; & (\lnot(\varphi\rightarrow\psi)\leftrightarrow(\varphi\wedge\lnot\psi)) & & \text{AXIOMALOGICO}\\ \;\;\;3.\; & (\varphi\wedge\lnot\psi) & & \text{REEMPLAZO}(1,2)\\ \;\;\;\vdots & \;\;\;\vdots & & \;\;\;\;\;\vdots\\ \;\;\;k. & (\gamma\wedge\lnot\gamma) & & \text{TESIS1}...\\ \;k+1. & (\lnot(\varphi\rightarrow\psi)\rightarrow(\gamma\wedge\lnot\gamma)) & & \text{CONCLUSION}\\ \;k+2. & (\varphi\rightarrow\psi) & & \text{ABSURDO}(k+1) \end{array}\] Nótese que este tipo de situaciones se dan para los 7 distintos tipos de fórmulas no atómicas dados en el Lema Menú para Fórmulas. En cada caso para formalizar usamos el respectivo axioma esquema de negación junto con la regla de reemplazo. Dejamos al lector hacer lo mismo con los conectivos restantes (i.e. \(\wedge,\leftrightarrow,\neg,\exists\)).
Si bien acabamos de dar muchas mecánicas de deducción, cabe destacar que han sido dadas para mostrar como emular a los matemáticos en determinadas situaciones cotidianas y no para que el alumno suelte a su escarabajo y que cuando intente dar una prueba formal se saltee la prueba matemática, se olvide de su rol matemático y se dedique a aplicar estas reglas mecánicamente sin pensar!!! Es decir, es importante que se olvide de estas mecánicas (y de todas las baratijas lógicas) y primero intente dar una prueba como matemático, luego tunee esta prueba a una elemental y recién cuando empiece a traducir esta prueba elemental a una formal se fije en como estas mecánicas ayudan a emular ciertas partes de la prueba matemática.
Ya que nuestra definición de prueba formal esta hecha intentando que las pruebas (elementales) hechas por un matemático sean traducibles a una formal de la forma mas natural posible, muchas veces habrá “redundancia deductiva”. Algunos ejemplos de redundancia deductiva:
adhocprefix-adhocsufix Se podrán probar algunos axiomas lógicos usando solo los otros, es decir algunos axiomas lógicos podrían sacarse y el concepto de prueba resultante tendría la misma “potencia” (i.e. se podrían seguir probando los mismos teoremas). Por ejemplo el lector no tendrá problemas en dar una prueba de \((\lnot\exists v\varphi\leftrightarrow\forall v\lnot\varphi)\) (por supuesto sin usarlo a el como axioma). Sin embargo se lo incluye como axioma dado que interviene naturalmente cuando un matemático quiere probar por el absurdo una sentencia de la forma \(\exists v\varphi\) (ver arriba en Mecánicas de negación)
adhocprefix-adhocsufix Muchas de las reglas podrían sacarse y se podrían seguir probando los mismos teoremas, por ejemplo la regla de elección.
De todas maneras esta redundancia es anecdótica ya que lo importante es que nuestro concepto de prueba formal sea un modelo lo mas natural posible. Cuando quitamos redundancia puede volverse muy ingenioso probar alguna sentencia obviamente cierta. Veamos un ejemplo: Sea \(\varphi=_{d}\varphi(v)\) una fórmula de tipo \(\tau\). Ya que \((\lnot\forall v\varphi\leftrightarrow\exists v\lnot\varphi)\) es un axioma lógico, tenemos que \[((\lnot\forall v\varphi\leftrightarrow\exists v\lnot\varphi),\text{AXIOMALOGICO})\] es una prueba formal de \((\lnot\forall v\varphi\leftrightarrow\exists v\lnot\varphi)\) en la teoría \((\emptyset,\tau)\). A continuación se da una prueba formal en la teoría \((\emptyset,\tau)\) de la sentencia \((\lnot\forall v\varphi\leftrightarrow\exists v\lnot\varphi)\) la cual no usa el hecho de que \((\lnot\forall v\varphi\leftrightarrow\exists v\lnot\varphi)\) sea un axioma lógico. Notar que en las primeras 10 lineas se prueba \((\lnot\exists v\lnot\varphi\rightarrow\lnot\lnot\forall v\varphi)\), es decir el contrarecíproco de \((\lnot\forall v\varphi\rightarrow\exists v\lnot\varphi)\). De la linea 11 hasta la 17 se prueba \((\lnot\forall v\varphi\rightarrow\exists v\lnot\varphi)\). En las lineas restantes se prueba la implicación reciproca de \((\lnot\forall v\varphi\rightarrow\exists v\lnot\varphi)\), es decir \((\exists v\lnot\varphi\rightarrow\lnot\forall v\varphi)\) y en el último paso se obtiene \((\lnot\forall v\varphi\leftrightarrow\exists v\lnot\varphi)\) por la regla de equivalencia-introducción. Cabe observar que esta prueba formal no es natural u obvia, mas bien es difícil de encontrar. \[\begin{array}{clll} 1. & \lnot\exists v\lnot\varphi & & \text{HIPOTESIS}1\\ 2. & \lnot\varphi(c) & & \text{HIPOTESIS}2\\ 3. & \exists v\lnot\varphi & & \text{EXISTENCIAL}(2)\\ 4. & (\exists v\lnot\varphi\wedge\lnot\exists v\lnot\varphi) & & \text{TESIS}2\text{CONJUNCIONINTRODUCCION}(3,1)\\ 5. & \lnot\varphi(c)\rightarrow(\exists v\lnot\varphi\wedge\lnot\exists v\lnot\varphi) & & \text{CONCLUSION}\\ 6. & \varphi(c) & & \text{ABSURDO}(5)\\ 7. & \forall v\varphi & & \text{GENERALIZACION}(6)\\ 8. & (\forall v\varphi\leftrightarrow\lnot\lnot\forall v\varphi) & & \text{AXIOMALOGICO}\\ 9. & \lnot\lnot\forall v\varphi & & \text{TESIS}1\text{REEMPLAZO}(7,8)\\ 10. & (\lnot\exists v\lnot\varphi\rightarrow\lnot\lnot\forall v\varphi) & & \text{CONCLUSION}\\ 11. & \lnot\forall v\varphi & & \text{HIPOTESIS}3\\ 12. & \lnot\exists v\lnot\varphi & & \text{HIPOTESIS}4\\ 13. & \lnot\lnot\forall v\varphi & & \text{MODUSPONENS}(12,10)\\ 14. & (\lnot\forall v\varphi\wedge\lnot\lnot\forall v\varphi) & & \text{TESIS}4\text{CONJUNCIONINTRODUCCION}(11,13)\\ 15. & \lnot\exists v\lnot\varphi\rightarrow(\lnot\forall v\varphi\wedge\lnot\lnot\forall v\varphi) & & \text{CONCLUSION}\\ 16. & \exists v\lnot\varphi & & \text{TESIS}3\text{ABSURDO}(15)\\ 17. & (\lnot\forall v\varphi\rightarrow\exists v\lnot\varphi) & & \text{CONCLUSION}\\ 18. & \exists v\lnot\varphi & & \text{HIPOTESIS}5\\ 19. & \lnot\varphi(e) & & \text{ELECCION}(18)\\ 20. & \forall v\varphi & & \text{HIPOTESIS}6\\ 21. & \varphi(e) & & \text{PARTICULARIZACION}(20)\\ 22. & (\varphi(e)\wedge\lnot\varphi(e)) & & \text{TESIS}6\text{CONJUNCIONINTRODUCCION}(21,19)\\ 23. & \forall v\varphi\rightarrow(\varphi(e)\wedge\lnot\varphi(e)) & & \text{CONCLUSION}\\ 24. & \lnot\forall v\varphi & & \text{TESIS}5\text{ABSURDO}(23)\\ 25. & (\exists v\lnot\varphi\rightarrow\lnot\forall v\varphi) & & \text{CONCLUSION}\\ 26. & (\lnot\forall v\varphi\leftrightarrow\exists v\lnot\varphi) & & \text{EQUIVALENCIAINTRODUCCION}(17,25) \end{array}\]
Como detalle sorprendente de cuanto mas minimal se puede hacer la definición de prueba, el concepto de prueba dado en el libro de Mendelson solo usa cinco axiomas esquema y dos reglas, (Modus Ponens y generalización) y prueba los mismos teoremas que el nuestro ya que también en dicho texto se prueba el Teorema de Completitud relativo a tal definición de prueba. Por supuesto esta simplificación del concepto de prueba hace mucho mas difícil y técnico el desarrollo.
Por supuesto los números asociados a las hipótesis en una prueba son completamente arbitrarios y pueden cambiarse, es decir:
3.41 (Cambio de Índice de Hipótesis). Sea \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) una prueba formal de \(\varphi\) en \((\Sigma,\tau)\). Sea \(m\in\mathbf{N}\) tal que \(\mathbf{J}_{i}\neq\) \(\mathrm{HIPOTESIS}\bar{m}\), para cada \(i=1,...,n(\boldsymbol{\varphi})\). Supongamos que \(\mathbf{J}_{i}=\) \(\mathrm{HIPOTESIS}\bar{k}\) y que \(\mathbf{J}_{j}=\) \(\mathrm{TESIS}\bar{k}\alpha\), con \([\alpha]_{1}\notin Num\). Sea \(\mathbf{\tilde{J}}\) el resultado de reemplazar en \(\mathbf{J}\) la justificación \(\mathbf{J}_{i}\) por \(\mathrm{HIPOTESIS}\bar{m}\) y reemplazar la justificación \(\mathbf{J}_{j}\) por \(\mathrm{TESIS}\bar{m}\alpha\). Entonces \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{\tilde{J}})\) es una prueba formal de \(\varphi\) en \((\Sigma,\tau)\).
Proof. Es un chequeo largo pero trivial.
También podemos cambiar los nombres de cte auxiliares
3.42 (Cambio de Nombres de Constante Auxiliares). Sea \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) una prueba formal de \(\varphi\) en \((\Sigma,\tau)\). Sea \(\mathcal{C}_{1}\) el conjunto de nombres de constante auxiliares de \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\). Sea \(e\in\mathcal{C}_{1}\). Sea \(\tilde{e}\notin\mathcal{C}\cup\mathcal{C}_{1}\) tal que \((\mathcal{C}\cup(\mathcal{C}_{1}-\{e\})\cup\{\tilde{e}\},\mathcal{F},\mathcal{R},a)\) es un tipo. Sea \(\mathbf{\tilde{\boldsymbol{\varphi}}}_{i}=\) resultado de reemplazar en \(\boldsymbol{\varphi}_{i}\) cada ocurrencia de \(e\) por \(\tilde{e}.\) Entonces \((\mathbf{\tilde{\boldsymbol{\varphi}}}_{1}...\mathbf{\tilde{\boldsymbol{\varphi}}}_{n(\boldsymbol{\varphi})},\mathbf{J})\) es una prueba formal de \(\varphi\) en \((\Sigma,\tau)\).
Proof. Sean \[\begin{aligned} \tau_{1} & =(\mathcal{C}\cup\mathcal{C}_{1},\mathcal{F},\mathcal{R},a)\\ \tau_{2} & =(\mathcal{C}\cup(\mathcal{C}_{1}-\{e\})\cup\{\tilde{e}\},\mathcal{F},\mathcal{R},a) \end{aligned}\] Para cada \(c\in\mathcal{C}\cup(\mathcal{C}_{1}-\{e\})\) definamos \(\tilde{c}=c\). Nótese que el mapeo \(c\rightarrow\tilde{c}\) es una biyección entre el conjunto de nombres de constante de \(\tau_{1}\) y el conjunto de nombres de cte de \(\tau_{2}\). Para cada \(t\in T^{\tau_{1}}\) sea \(\tilde{t}=\) resultado de reemplazar en \(t\) cada ocurrencia de \(c\) por \(\tilde{c}\), para cada \(c\in\mathcal{C}\cup\mathcal{C}_{1}\). Análogamente para una fórmula \(\psi\in F^{\tau_{1}}\), sea \(\tilde{\psi}=\) resultado de reemplazar en \(\psi\) cada ocurrencia de \(c\) por \(\tilde{c}\), para cada \(c\in\mathcal{C}\cup\mathcal{C}_{1}\). Nótese que los mapeos \(t\rightarrow\tilde{t}\) y \(\psi\rightarrow\tilde{\psi}\) son biyecciones naturales entre \(T^{\tau_{1}}\) y \(T^{\tau_{2}}\) y entre \(F^{\tau_{1}}\) y \(F^{\tau_{2}}\), respectivamente. Nótese que cualesquiera sean \(\psi_{1},\psi_{2}\in F^{\tau_{1}}\), tenemos que \(\psi_{1}\) se deduce de \(\psi_{2}\) por la regla de generalización con constante \(c\) sii \(\tilde{\psi}_{1}\) se deduce de \(\tilde{\psi}_{2}\) por la regla de generalización con constante \(\tilde{c}\). Para las otras reglas sucede lo mismo. Nótese también que \(c\) ocurre en \(\psi\) sii \(\tilde{c}\) ocurre en \(\tilde{\psi}.\) Mas aun nótese que \(c\) depende de \(d\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) sii \(\tilde{c}\) depende de \(\tilde{d}\) en \((\mathbf{\tilde{\boldsymbol{\varphi}}},\mathbf{J})\), donde \(\mathbf{\tilde{\boldsymbol{\varphi}}}=\widetilde{\boldsymbol{\varphi}_{1}}...\widetilde{\boldsymbol{\varphi}_{n(\boldsymbol{\varphi})}}\). Ahora es fácil chequear que \((\mathbf{\tilde{\boldsymbol{\varphi}}},\mathbf{J})\) es una prueba formal de \(\varphi\) en \((\Sigma,\tau)\) basándose en que \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) es una prueba formal de \(\varphi\) en \((\Sigma,\tau)\).
3.43 (Propiedades Básicas de \(\vdash\)). Sea \((\Sigma,\tau)\) una teoría.
adhocprefix(1)adhocsufix (Uso de Teoremas) Si \((\Sigma,\tau)\vdash\varphi_{1},...,\varphi_{n}\) y \((\Sigma\cup\{\varphi_{1},...,\varphi_{n}\},\tau)\vdash\varphi,\) entonces \((\Sigma,\tau)\vdash\varphi.\)
adhocprefix(2)adhocsufix Supongamos \((\Sigma,\tau)\vdash\varphi_{1},...,\varphi_{n}\). Si \(R\) es una regla distinta de GENERALIZACIÓN y ELECCIÓN y \(\varphi\) se deduce de \(\varphi_{1},...,\varphi_{n}\) por la regla \(R\), entonces \((\Sigma,\tau)\vdash\varphi\).
adhocprefix(3)adhocsufix \((\Sigma,\tau)\vdash(\varphi\rightarrow\psi)\) si y solo si \((\Sigma\cup\{\varphi\},\tau)\vdash\psi\).
Proof. (1) Nótese que basta con hacer el caso \(n=1\). El caso con \(n\geq2\) se obtiene aplicando \(n\) veces el caso \(n=1\). Supongamos entonces que \((\Sigma,\tau)\vdash\varphi_{1}\) y \((\Sigma\cup\{\varphi_{1}\},\tau)\vdash\varphi\). Sea \((\alpha_{1}...\alpha_{h},I_{1}...I_{h})\) una prueba formal de \(\varphi_{1}\) en \((\Sigma,\tau)\). Sea \((\psi_{1}...\psi_{m},J_{1}...J_{m})\) una prueba formal de \(\varphi\) en \((\Sigma\cup\{\varphi_{1}\},\tau)\). Nótese que por los Lemas 3.41 y 3.42 podemos suponer que estas dos pruebas no comparten ningún nombre de constante auxiliar y que tampoco comparten números asociados a hipótesis o tesis. Para cada \(i=1,...,m\), definamos \(\widetilde{J_{i}}\) de la siguiente manera.
adhocprefix-adhocsufix Si \(J_{i}=\alpha\mathrm{AXIOMAPROPIO}\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\) y \(\psi_{i}=\varphi_{1}\), entonces \(\widetilde{J_{i}}=\alpha\mathrm{EVOCACION}(\overline{h})\)
adhocprefix-adhocsufix Si \(J_{i}=\alpha\mathrm{AXIOMAPROPIO}\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\) y \(\psi_{i}\notin\{\varphi_{1}\}\), entonces \(\widetilde{J_{i}}=\alpha\mathrm{AXIOMAPROPIO}\).
adhocprefix-adhocsufix Si \(J_{i}=\alpha\mathrm{AXIOMALOGICO}\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\), entonces \(\widetilde{J_{i}}=\alpha\mathrm{AXIOMALOGICO}\)
adhocprefix-adhocsufix Si \(J_{i}=\alpha\mathrm{CONCLUSION}\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\), entonces \(\widetilde{J_{i}}=\alpha\mathrm{CONCLUSION}\).
adhocprefix-adhocsufix Si \(J_{i}=\mathrm{HIPOTESIS}\bar{k}\), entonces \(\widetilde{J_{i}}=\mathrm{HIPOTESIS}\bar{k}\)
adhocprefix-adhocsufix Si \(J_{i}=\alpha R(\overline{l_{1}},...,\overline{l_{k}})\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\), entonces \(\widetilde{J_{i}}=\alpha R(\overline{l_{1}+h},...,\overline{l_{k}+h})\)
Es fácil chequear que \[(\alpha_{1}...\alpha_{h}\psi_{1}...\psi_{m},I_{1}...I_{h}\widetilde{J_{1}}...\widetilde{J_{m}})\] es una prueba formal de \(\varphi\) en \((\Sigma,\tau)\)
(2) Nótese que \[\begin{array}{llll} 1.\; & \varphi_{1} & & \text{AXIOMAPROPIO}\\ 2.\; & \varphi_{2} & & \text{AXIOMAPROPIO}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ n. & \varphi_{n} & & \text{AXIOMAPROPIO}\\ n+1. & \varphi & & R(\bar{1},...,\bar{n}) \end{array}\] es una prueba formal de \(\varphi\) en \((\Sigma\cup\{\varphi_{1},...,\varphi_{n}\},\tau)\), lo cual por (1) nos dice que \((\Sigma,\tau)\vdash\varphi\).
(3) Supongamos \((\Sigma,\tau)\vdash(\varphi\rightarrow\psi)\). Entonces tenemos que \((\Sigma\cup\{\varphi\},\tau)\vdash(\varphi\rightarrow\psi),\varphi\), lo cual por (2) nos dice que \((\Sigma\cup\{\varphi\},\tau)\vdash\psi\). Supongamos ahora que \((\Sigma\cup\{\varphi\},\tau)\vdash\psi\). Sea \((\varphi_{1}...\varphi_{n},J_{1}...,J_{n})\) una prueba formal de \(\psi\) en \((\Sigma\cup\{\varphi\},\tau)\). Para cada \(i=1,...,n\), definamos \(\widetilde{J_{i}}\) de la siguiente manera.
adhocprefix-adhocsufix Si \(\varphi_{i}=\varphi\) y \(J_{i}=\alpha\mathrm{AXIOMAPROPIO}\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\), entonces \(\widetilde{J_{i}}=\alpha\mathrm{EVOCACION}(1)\)
adhocprefix-adhocsufix Si \(\varphi_{i}\neq\varphi\) y \(J_{i}=\alpha\mathrm{AXIOMAPROPIO}\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\), entonces \(\widetilde{J_{i}}=\alpha\mathrm{AXIOMAPROPIO}\)
adhocprefix-adhocsufix Si \(J_{i}=\alpha\mathrm{AXIOMALOGICO}\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\), entonces \(\widetilde{J_{i}}=\alpha\mathrm{AXIOMALOGICO}\)
adhocprefix-adhocsufix Si \(J_{i}=\alpha\mathrm{CONCLUSION}\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\), entonces \(\widetilde{J_{i}}=\alpha\mathrm{CONCLUSION}\)
adhocprefix-adhocsufix Si \(J_{i}=\mathrm{HIPOTESIS}\bar{k}\), entonces \(\widetilde{J_{i}}=\mathrm{HIPOTESIS}\bar{k}\)
adhocprefix-adhocsufix Si \(J_{i}=\alpha R(\overline{l_{1}},...,\overline{l_{k}})\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\), entonces \(\widetilde{J_{i}}=\alpha R(\overline{l_{1}+1},...,\overline{l_{k}+1})\)
Sea \(m\) tal que ninguna \(J_{i}\) es igual a \(\mathrm{HIPOTESIS}\bar{m}\). Nótese que \(\widetilde{J_{n}}\) no es de la forma \(\mathrm{TESIS}\bar{k}\beta\) ni de la forma \(\mathrm{HIPOTESIS}\bar{k}\) (por que?) por lo cual \(\mathrm{TESIS}\bar{m}\widetilde{J_{n}}\) es una justificación. Es fácil chequear que \[(\varphi\varphi_{1}...\varphi_{n}(\varphi\rightarrow\psi),\text{HIPOTESIS}\bar{m}\widetilde{J_{1}}...\widetilde{J_{n-1}}\mathrm{TESIS}\bar{m}\widetilde{J_{n}}\text{CONCLUSION})\] es una prueba formal de \((\varphi\rightarrow\psi)\) en \((\Sigma,\tau)\)
Una teoría \((\Sigma,\tau)\) será inconsistente cuando haya una sentencia \(\varphi\) tal que \((\Sigma,\tau)\vdash(\varphi\wedge\lnot\varphi).\) Una teoría \((\Sigma,\tau)\) será consistente cuando no sea inconsistente.
3.44 (Propiedades Básicas de la Consistencia). Sea \((\Sigma,\tau)\) una teoría.
adhocprefix(1)adhocsufix Si \((\Sigma,\tau)\) es inconsistente, entonces \((\Sigma,\tau)\vdash\varphi\), para toda sentencia \(\varphi.\)
adhocprefix(2)adhocsufix Si \((\Sigma,\tau)\) es consistente y \((\Sigma,\tau)\vdash\varphi\), entonces \((\Sigma\cup\{\varphi\},\tau)\) es consistente.
adhocprefix(3)adhocsufix Si \((\Sigma,\tau)\not\vdash\lnot\varphi\), entonces \((\Sigma\cup\{\varphi\},\tau)\) es consistente.
Proof. (1) Si \((\Sigma,\tau)\) es inconsistente, entonces por definición tenemos que \((\Sigma,\tau)\vdash\psi\wedge\lnot\psi\) para alguna sentencia \(\psi\). Dada una sentencia cualquiera \(\varphi\) tenemos que \(\varphi\) se deduce por la regla del absurdo a partir de \(\psi\wedge\lnot\psi\) con lo cual (2) del Lema 3.43 nos dice que \((\Sigma,\tau)\vdash\varphi\)
(2) Supongamos \((\Sigma,\tau)\) es consistente y \((\Sigma,\tau)\vdash\varphi\). Si \((\Sigma\cup\{\varphi\},\tau)\) fuera inconsistente, entonces \((\Sigma\cup\{\varphi\},\tau)\vdash\psi\wedge\lnot\psi\), para alguna sentencia \(\psi\), lo cual por (1) del Lema 3.43 nos diría que \((\Sigma,\tau)\vdash\psi\wedge\lnot\psi\), es decir nos diría que \((\Sigma,\tau)\) es inconsistente.
(3) es dejada al lector.
Como ya vimos en las secciones anteriores, el concepto matemático de prueba formal en una teoría \((\Sigma,\tau)\) fue hecho como un intento de modelizar ciertas pruebas que realizan los matemáticos profesionales, a las que llamamos pruebas elementales. Es claro que cuando un matemático hace una prueba elemental de una sentencia \(\varphi\) en una teoría \((\Sigma,\tau)\), comienza imaginando una estructura \(\mathbf{A}\) de tipo \(\tau\) de la cual lo único que sabe es que ella satisface todas las sentencias de \(\Sigma\), y luego al finalizar la prueba concluye que dicho modelo imaginario satisface la última sentencia de la prueba, i.e. \(\varphi\). En algún sentido la misión de una prueba es justamente eso: justificar con solidez que la sentencia a probar vale en todos los modelos de la teoría.
O sea que si nuestro concepto de prueba formal permitiera probar sentencias que no sean verdaderas en todos los modelos de la teoría, no seria correcto. Este no es el caso y el teorema que asegura que las pruebas formales solo prueban sentencias verdaderas en todos los modelos de la teoría se llama Teorema de Corrección. Lo enunciaremos formalmente a continuación aunque no daremos la prueba ya que es dificultosa. Antes una definición. Dada \((\Sigma,\tau)\) una teoría y \(\varphi\) una sentencia de tipo \(\tau\), escribiremos \((\Sigma,\tau)\models\varphi\) cuando \(\varphi\) sea verdadera en todo modelo de \((\Sigma,\tau)\).
3.6 (Teorema de Corrección). \((\Sigma,\tau)\vdash\varphi\) implica \((\Sigma,\tau)\models\varphi\).
Cabe destacar que el Teorema de Corrección hace parte de la tarea encomendada en el punto (4) del Programa de Lógica Matemática ya que asegura que nuestro concepto de prueba formal no es demasiado permisivo como para permitir probar sentencias que son falsas en algún modelo de la teoría. Pero dicho concepto podría ser incorrecto en el sentido que podría haber pruebas elementales dadas por matemáticos la cuales no puedan ser simuladas por pruebas formales. Por ejemplo podría pasar que mañana un matemático diera una prueba elemental de una sentencia \(\varphi\) en una teoría \((\Sigma,\tau)\) pero que no haya una prueba formal de \(\varphi\) en \((\Sigma,\tau)\). En tal caso nuestro modelo de prueba formal seria un modelo erróneo del concepto de prueba elemental, por ser incompleto. Por supuesto en ese caso podríamos mejorarlo viendo la prueba elemental dada por dicho matemático y enriqueciendo a la luz de dicha prueba nuestra definición de prueba formal. De todas maneras nos quedaría la duda de que aun esta nueva definición de prueba sea incompleta .... Como veremos el Teorema de Completitud de Godel prueba que este no es el caso!
Un corolario muy importante del Teorema de Corrección es el siguiente.
3.6. Si \((\Sigma,\tau)\) tiene un modelo, entonces \((\Sigma,\tau)\) es consistente.
Proof. Supongamos \(\mathbf{A}\) es un modelo de \((\Sigma,\tau)\). Si \((\Sigma,\tau)\) fuera inconsistente, entonces toda sentencia de tipo \(\tau\) seria un teorema de \((\Sigma,\tau)\), en particular tendríamos que \(\exists x_{1}\lnot(x_{1}\equiv x_{1})\) seria un teorema de \((\Sigma,\tau)\), lo cual por el Teorema de Corrección nos diría que \(\mathbf{A}\models\exists x_{1}\lnot(x_{1}\equiv x_{1})\), lo cual no es cierto. O sea que \((\Sigma,\tau)\) es consistente
El Teorema de Corrección es muy útil para asegurar que una sentencia no es un teorema de una teoría dada. Mas concretamente tenemos el siguiente criterio:
adhocprefixNoEsTeoremaadhocsufix Si Ud quiere probar que una sentencia \(\varphi\in S^{\tau}\) no es teorema de una teoría \((\Sigma,\tau)\) basta con encontrar un modelo de \((\Sigma,\tau)\) para el cual \(\varphi\) sea falsa.
Dejamos al lector justificar este criterio usando el Teorema de Corrección. Podemos usarlo, por ejemplo, para ver que ni la sentencia \[Dis_{1}=\forall x_{1}\forall x_{2}(\mathsf{i}(x_{1},\mathsf{s}(x_{2},x_{3}))\equiv\mathsf{s}(\mathsf{i}(x_{1},x_{2}),\mathsf{i}(x_{1},x_{3})))\] ni su negación son teoremas de \(RetCua\) ya que hay reticulados cuaterna distributivos y también hay reticulados cuaterna no distributivos.
Concluimos la subsección dando algunos ejemplos que muestran que si hacemos mas permisiva la definición de prueba formal, esta ya no resulta correcta, es decir ya no vale el Teorema de Corrección.
adhocprefixEjemplo 1:adhocsufix Este ejemplo muestra que en la sentencia a generalizar (dentro de una prueba formal) no puede ocurrir un nombre de cte el cual dependa del nombre de cte a generalizar. Sea \(\tau=(\emptyset,\{f^{1}\},\emptyset,a)\) y sea \(\Sigma=\{\forall y\exists x\;y\equiv f(x)\}\). Sea \(T=(\Sigma,\tau)\). Nótese que una estructura \(\mathbf{A}\) de tipo \(\tau\) es modelo de \(T\) sii \(f^{\mathbf{A}}\) es una función sobre. Consideremos \[\begin{array}{llll} \ 1. & \forall y\exists x\;y\equiv f(x) & & \text{AXIOMAPROPIO}\\ \ 2. & \exists x\;y_{0}\equiv f(x) & & \text{PARTICULARIZACION}(1)\\ \ 3. & y_{0}\equiv f(e) & & \text{ELECCION}(2)\\ \ 4. & \forall y\;y\equiv f(e) & & \text{GENERALIZACION}(3)\\ \ 5. & c\equiv f(e) & & \text{PARTICULARIZACION}(4)\\ \ 6. & d\equiv f(e) & & \text{PARTICULARIZACION}(4)\\ \ 7. & f(e)\equiv d & & \text{COMMUTATIVIDAD}(6)\\ \ 8. & c\equiv d & & \text{TRANSITIVIDAD}(5,7)\\ \ 9. & \forall y\;c\equiv y & & \text{GENERALIZACION}(8)\\ 10. & \forall x\forall y\;x\equiv y & & \text{GENERALIZACION}(9) \end{array}\] Obviamente, si permitiéramos que lo anterior fuera una prueba formal, dejaría de valer el Teorema de Corrección ya que hay muchos modelos de \(T\), los cuales no satisfacen \(\forall x\forall y\;x\equiv y\).
adhocprefixEjemplo 2:adhocsufix El siguiente ejemplo muestra que el nombre de cte a generalizar no puede ocurrir en hipótesis de la sentencia a la cual se le aplica la generalización. Sea \(\tau=(\{1\},\emptyset,\emptyset,\emptyset)\) y sea \(T=(\emptyset,\tau)\). Consideremos \[\begin{array}{llll} 1.\; & c\equiv1 & & \text{HIPOTESIS}1\\ 2.\; & \forall x\;x\equiv1 & & \text{TESIS}1\text{GENERALIZACION}(1)\\ 3.\; & (c\equiv1\rightarrow\forall x\;x\equiv1) & & \text{CONCLUSION}\\ 4.\; & \forall y\;\left(y\equiv1\rightarrow\forall x\;x\equiv1\right) & & \text{GENERALIZACION}(3)\\ 5.\; & \left(1\equiv1\rightarrow\forall x\;x\equiv1\right) & & \text{PARTICULARIZACION}(4)\\ 6. & 1\equiv1 & & \text{AXIOMALOGICO}\\ 7. & \forall x\;x\equiv1 & & \text{MODUSPONENS}(5,6) \end{array}\] Si permitiéramos que lo anterior fuera una prueba formal, dejaría de valer el Teorema de Corrección ya que hay muchos modelos de \(T\) (toda estructura es un modelo de \(T\)) los cuales no satisfacen \(\forall x\;x\equiv1\).
adhocprefixEjemplo 3:adhocsufix El siguiente ejemplo muestra que la sentencia a generalizar no puede tener una hipótesis en la cual ocurra un nombre de cte que dependa del nombre de cte que se generaliza. Sea \(\tau=(\emptyset,\emptyset,\emptyset,\emptyset)\) y sea \(T=(\emptyset,\tau)\). Consideremos \[\begin{array}{llll} \ 1. & c\equiv c & & \text{AXIOMALOGICO}\\ \ 2. & \exists z\;z\equiv c & & \text{EXISTENCIA}(1)\\ \ 3. & e\equiv c & & \text{ELECCION}(2)\\ \ 4. & d\equiv e & & \text{HIPOTESIS}1\\ \ 5. & d\equiv c & & \text{TRANSITIVIDAD}(4,3)\\ \ 6. & \forall y\;d\equiv y & & \text{TESIS}1\text{GENERALIZACION}(5)\\ \ 7. & d\equiv e\rightarrow\forall y\;d\equiv y & & \text{CONCLUSION}\\ \ 8. & \forall x(x\equiv e\rightarrow\forall y\;x\equiv y) & & \text{GENERALIZACION}(7)\\ \ 9. & e\equiv e\rightarrow\forall y\;e\equiv y & & \text{PARTICULARIZACION}(8)\\ 10. & e\equiv e & & \text{AXIOMALOGICO}\\ 11. & \forall y\;e\equiv y & & \text{MODUSPONENS}(10,9)\\ 12. & \forall y\;c\equiv y & & \text{REEMPLAZO}(3,11)\\ 13. & \forall x\forall y\;x\equiv y & & \text{GENERALIZACION}(12) \end{array}\]
Recordemos que dado un tipo \(\tau\), con \(S^{\tau}\) denotamos el conjunto de las sentencias de tipo \(\tau\), es decir \[S^{\tau}=\{\varphi\in F^{\tau}:Li(\varphi)=\emptyset\}\] Sea \(T=(\Sigma,\tau)\) una teoría. Podemos definir la siguiente relación binaria sobre \(S^{\tau}\): \[\varphi\dashv\vdash_{T}\psi\text{ si y solo si }T\vdash\left(\varphi\leftrightarrow\psi\right)\] Es decir \[\dashv\vdash_{T}=\{(\varphi,\psi)\in S^{\tau}\times S^{\tau}:T\vdash\left(\varphi\leftrightarrow\psi\right)\}\]
3.45. \(\dashv\vdash_{T}\) es una relación de equivalencia.
Proof. La relación es reflexiva ya que cualquiera sea la \(\varphi\in S^{\tau}\) tenemos que \[\begin{array}{llll} 1. & \varphi & & \text{HIPOTESIS}1\\ 2. & \varphi & & \text{TESIS}1\text{EVOCACION}(1)\\ 3. & (\varphi\rightarrow\varphi) & & \text{CONCLUSION}\\ 4. & (\varphi\rightarrow\varphi) & & \text{EVOCACION}(3)\\ 5. & (\varphi\leftrightarrow\varphi) & & \text{EQUIVALENCIAINTRODUCCION}(3,4) \end{array}\] es una prueba formal de \(((\varphi\leftrightarrow\varphi)\) en \(T\). Veamos que es simétrica. Supongamos que \(\varphi\dashv\vdash_{T}\psi\), es decir \(T\vdash\left(\varphi\leftrightarrow\psi\right)\). Ya que \(\left(\psi\leftrightarrow\varphi\right)\) se deduce de \((\varphi\leftrightarrow\psi)\) por la regla de conmutatividad, (2) del Lema 3.43 nos dice que \(T\vdash\left(\psi\leftrightarrow\varphi\right)\).
Análogamente, usando la regla de transitividad se puede probar que \(\dashv\vdash_{T}\) es transitiva.
Dada una teoría \(T=(\Sigma,\tau)\) y \(\varphi\in S^{\tau}\), \([\varphi]_{T}\) denotará la clase de \(\varphi\) con respecto a la relación de equivalencia \(\dashv\vdash_{T}\). Una sentencia \(\varphi\) se dice refutable en \(T\) si \(T\vdash\lnot\varphi\).
3.46. Dada una teoría \(T=(\Sigma,\tau)\), se tiene que:
adhocprefix(1)adhocsufix \([\forall x_{1}(x_{1}\equiv x_{1})]_{T}=\{\varphi\in S^{\tau}:\varphi\text{ es un teorema de }T\}\)
adhocprefix(2)adhocsufix \([\exists x_{1}\neg(x_{1}\equiv x_{1})]_{T}=\{\varphi\in S^{\tau}:\varphi\text{ es refutable en }T\}\)
Proof. Haremos la prueba de (2) y dejaremos la prueba de (1) como ejercicio. Nótese que \(\exists x_{1}\neg(x_{1}\equiv x_{1})\) es refutable en \(T\) ya que \[\begin{array}{llll} 1.\; & \exists x_{1}\neg(x_{1}\equiv x_{1}) & & \text{HIPOTESIS1}\\ 2.\; & \neg(e\equiv e) & & \text{ELECCION}(1)\\ 3.\; & (e\equiv e) & & \text{AXIOMALOGICO}\\ 4.\; & ((e\equiv e)\wedge\neg(e\equiv e)) & & \text{TESIS1CONJUNCIONINTRODUCCION}(3,2)\\ 5.\; & (\exists x_{1}\neg(x_{1}\equiv x_{1})\rightarrow((e\equiv e)\wedge\neg(e\equiv e))) & & \text{CONCLUSION}\\ 6.\; & \neg\exists x_{1}\neg(x_{1}\equiv x_{1}) & & \text{ABSURDO}(5) \end{array}\] es una prueba de \(\neg\exists x_{1}\neg(x_{1}\equiv x_{1})\) en \(T\). Ahora veamos que si \(\varphi\) es refutable en \(T\) y \(\varphi\dashv\vdash_{T}\psi\), entonces \(\psi\) es refutable en \(T\). Nótese que \[\begin{array}{llll} 1.\; & \lnot\varphi & & \text{AXIOMAPROPIO}\\ 2.\; & (\varphi\leftrightarrow\psi) & & \text{AXIOMAPROPIO}\\ 3.\; & \lnot\psi & & \text{REEMPLAZO}(2,1) \end{array}\] es una prueba de \(\lnot\psi\) en \((\Sigma\cup\{\lnot\varphi,(\varphi\leftrightarrow\psi)\},\tau)\), lo cual por (1) del Lema 3.43 nos dice que \(\psi\) es refutable en \(T\). Ya que \(\exists x_{1}\neg(x_{1}\equiv x_{1})\) es refutable en \(T\), lo anterior nos dice que \[[\exists x_{1}\neg(x_{1}\equiv x_{1})]_{T}\subseteq\{\varphi\in S^{\tau}:\varphi\text{ es refutable en }T\}\] Para terminar la prueba de (2) nótese que basta con probar que si \(\varphi\text{ y }\psi\) son refutables en \(T\), entonces \(\varphi\dashv\vdash_{T}\psi\). Pero \[\begin{array}{llll} 1.\; & \varphi & & \text{HIPOTESIS}1\\ 2.\; & \lnot\varphi & & \text{AXIOMAPROPIO}\\ 3.\; & (\varphi\wedge\lnot\varphi) & & \text{CONJUNCIONINTRODUCCION}(1,3)\\ 4. & \psi & & \text{TESIS}1\text{ABSURDO}(3)\\ 5. & (\varphi\rightarrow\psi) & & \text{CONCLUSION}\\ 6. & \psi & & \text{HIPOTESIS}2\\ 7. & \lnot\psi & & \text{AXIOMAPROPIO}\\ 8. & (\psi\wedge\lnot\psi) & & \text{CONJUNCIONINTRODUCCION}(6,7)\\ 9. & \varphi & & \text{TESIS}2\text{ABSURDO}(8)\\ 10. & (\psi\rightarrow\varphi) & & \text{CONCLUSION}\\ 11. & (\varphi\leftrightarrow\psi) & & \text{EQUIVALENCIAINTRODUCCION}(5,10) \end{array}\] justifica que \((\Sigma\cup\{\lnot\varphi,\lnot\psi\},\tau)\vdash(\varphi\leftrightarrow\psi)\) por lo cual si \(\varphi\text{ y }\psi\) son refutables en \(T\), se puede aplicar (1) del Lema 3.43 y obtener que \(\varphi\dashv\vdash_{T}\psi\).
Definiremos sobre \(S^{\tau}/\mathrm{\dashv\vdash}_{T}\) la siguiente operación binaria \(\mathsf{s}^{T}\): \[[\varphi]_{T}\;\mathsf{s}^{T}\mathsf{\;}[\psi]_{T}=[(\varphi\vee\psi)]_{T}\] Una observación importante es que para que la definición anterior de la operación \(\mathsf{s}^{T}\) sea inambigua, debemos probar la siguiente propiedad
adhocprefix-adhocsufix Si \([\varphi]_{T}=[\varphi^{\prime}]_{T}\) y \([\psi]_{T}=[\psi^{\prime}]_{T}\) entonces \([(\varphi\vee\psi)]_{T}=[(\varphi^{\prime}\vee\psi^{\prime})]_{T}\)
Es decir debemos probar que si \(T\vdash\left(\varphi\leftrightarrow\varphi^{\prime}\right)\) y \(T\vdash\left(\psi\leftrightarrow\psi^{\prime}\right)\), entonces \(T\vdash((\varphi\vee\psi)\leftrightarrow(\varphi^{\prime}\vee\psi^{\prime}))\). Supongamos que \(T\vdash\left(\varphi\leftrightarrow\varphi^{\prime}\right)\) y \(T\vdash\left(\psi\leftrightarrow\psi^{\prime}\right)\). Nótese que también \(T\vdash((\varphi\vee\psi)\leftrightarrow(\varphi\vee\psi))\) (ya probamos que \(\dashv\vdash_{T}\) es reflexiva). Además tenemos que \[\begin{array}{llll} 1.\; & \left(\varphi\leftrightarrow\varphi^{\prime}\right) & & \text{AXIOMAPROPIO}\\ 2.\; & \left(\psi\leftrightarrow\psi^{\prime}\right) & & \text{AXIOMAPROPIO}\\ 3.\; & ((\varphi\vee\psi)\leftrightarrow(\varphi\vee\psi)) & & \text{AXIOMALOGICO}\\ 4.\; & ((\varphi\vee\psi)\leftrightarrow(\varphi^{\prime}\vee\psi)) & & \text{REEMPLAZO}(1,3)\\ 5.\; & ((\varphi\vee\psi)\leftrightarrow(\varphi^{\prime}\vee\psi^{\prime})) & & \text{REEMPLAZO}(2,4) \end{array}\] atestigua que \[(\Sigma\cup\{\left(\varphi\leftrightarrow\varphi^{\prime}\right),\left(\psi\leftrightarrow\psi^{\prime}\right),((\varphi\vee\psi)\leftrightarrow(\varphi\vee\psi))\},\tau)\vdash((\varphi\vee\psi)\leftrightarrow(\varphi^{\prime}\vee\psi^{\prime}))\] lo cual nos dice por (1) del Lema 3.43 que \(T\vdash((\varphi\vee\psi)\leftrightarrow(\varphi^{\prime}\vee\psi^{\prime}))\).
En forma análoga se puede ver que las siguientes igualdades definen en forma inambigua una operación binaria \(\mathsf{i}^{T}\) sobre \(S^{\tau}/\mathrm{\dashv\vdash}_{T}\) y una operación unaria \(^{\mathsf{c}^{T}}\) sobre \(S^{\tau}/\mathrm{\dashv\vdash}_{T}\): \[\begin{aligned} _{T}\;\mathsf{i}^{T}\mathsf{\;}[\psi]_{T} & =[(\varphi\wedge\psi)]_{T}\\ ([\varphi]_{T})^{\mathsf{c}^{T}} & =[\lnot\varphi]_{T} \end{aligned}\] Dejamos al lector los detalles.
Dada una teoría \(T=(\Sigma,\tau)\), denotemos con \(1^{T}\) al conjunto \(\{\varphi\in S^{\tau}:\varphi\) es un teorema de \(T\}\) y con \(0^{T}\) al conjunto \(\{\varphi\in S^{\tau}:\varphi\) es refutable en \(T\}\). Ya vimos en un lema anterior que \(0^{T}\) y \(1^{T}\) pertenecen a \(S^{\tau}/\mathrm{\dashv\vdash}_{T}\). Podemos enunciar ahora el siguiente resultado, inspirado en la idea clásica de Boole para el calculo proposicional.
3.7. Sea \(T=(\Sigma,\tau)\) una teoría. Entonces \((S^{\tau}/\mathrm{\dashv\vdash}_{T},\mathsf{s}^{T},\mathsf{i}^{T},^{\mathsf{c}^{T}},0^{T},1^{T})\) es un álgebra de Boole.
Proof. Por definición de álgebra de Boole, debemos probar que cualesquiera sean \(\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3}\in S^{\tau}\), se cumplen las siguientes igualdades:
adhocprefix(1)adhocsufix \([\varphi_{1}]_{T}\;\mathsf{i}^{T}\mathsf{\;}[\varphi_{1}]_{T}=[\varphi_{1}]_{T}\)
adhocprefix(2)adhocsufix \([\varphi_{1}]_{T}\;\mathsf{s}^{T}\mathsf{\;}[\varphi_{1}]_{T}=[\varphi_{1}]_{T}\)
adhocprefix(3)adhocsufix \([\varphi_{1}]_{T}\;\mathsf{i}^{T}\mathsf{\;}[\varphi_{2}]_{T}=[\varphi_{2}]_{T}\;\mathsf{i}^{T}\mathsf{\;}[\varphi_{1}]_{T}\)
adhocprefix(4)adhocsufix \([\varphi_{1}]_{T}\;\mathsf{s}^{T}\mathsf{\;}[\varphi_{2}]_{T}=[\varphi_{2}]_{T}\;\mathsf{s}^{T}\mathsf{\;}[\varphi_{1}]_{T}\)
adhocprefix(5)adhocsufix \([\varphi_{1}]_{T}\;\mathsf{i}^{T}\mathsf{\;}([\varphi_{2}]_{T}\;\mathsf{i}^{T}\mathsf{\;}[\varphi_{3}]_{T})=([\varphi_{1}]_{T}\;\mathsf{i}^{T}\mathsf{\;}[\varphi_{2}]_{T})\;\mathsf{i}^{T}\mathsf{\;}[\varphi_{3}]_{T}\)
adhocprefix(6)adhocsufix \([\varphi_{1}]_{T}\;\mathsf{s}^{T}\mathsf{\;}([\varphi_{2}]_{T}\;\mathsf{s}^{T}\mathsf{\;}[\varphi_{3}]_{T})=([\varphi_{1}]_{T}\;\mathsf{s}^{T}\mathsf{\;}[\varphi_{2}]_{T})\;\mathsf{s}^{T}\mathsf{\;}[\varphi_{3}]_{T}\)
adhocprefix(7)adhocsufix \([\varphi_{1}]_{T}\;\mathsf{s}^{T}\mathsf{\;}([\varphi_{1}]_{T}\;\mathsf{i}^{T}\mathsf{\;}[\varphi_{2}]_{T})=[\varphi_{1}]_{T}\)
adhocprefix(8)adhocsufix \([\varphi_{1}]_{T}\;\mathsf{i}^{T}\mathsf{\;}([\varphi_{1}]_{T}\;\mathsf{s}^{T}\mathsf{\;}[\varphi_{2}]_{T})=[\varphi_{1}]_{T}\)
adhocprefix(9)adhocsufix \(0^{T}\;\mathsf{s}^{T}\mathsf{\;}[\varphi_{1}]_{T}=[\varphi_{1}]_{T}\)
adhocprefix(10)adhocsufix \([\varphi_{1}]_{T}\;\mathsf{s}^{T}\mathsf{\;}1^{T}=1^{T}\)
adhocprefix(11)adhocsufix \([\varphi_{1}]_{T}\;\mathsf{s}^{T}\mathsf{\;}([\varphi_{1}]_{T})^{\mathsf{c}^{T}}=1^{T}\)
adhocprefix(12)adhocsufix \([\varphi_{1}]_{T}\;\mathsf{i}^{T}\mathsf{\;}([\varphi_{1}]_{T})^{\mathsf{c}^{T}}=0^{T}\)
adhocprefix(13)adhocsufix \([\varphi_{1}]_{T}\;\mathsf{i}^{T}\mathsf{\;}([\varphi_{2}]_{T}\;\mathsf{s}^{T}\mathsf{\;}[\varphi_{3}]_{T})=([\varphi_{1}]_{T}\;\mathsf{i}^{T}\mathsf{\;}[\varphi_{2}]_{T})\;\mathsf{s}^{T}\mathsf{\;}([\varphi_{1}]_{T}\;\mathsf{i}^{T}\mathsf{\;}[\varphi_{3}]_{T})\)
Veamos por ejemplo que se da (10), es decir probaremos que \([\varphi_{1}]_{T}\;\mathsf{s}^{T}\mathsf{\;}1^{T}=1^{T}\), cualesquiera sea la sentencia \(\varphi_{1}\). Por el Lema 3.46 debemos probar que para cualquier \(\varphi_{1}\in S^{\tau}\), se da que \[[\varphi_{1}]_{T}\;\mathsf{s}^{T}\mathsf{\;}[\forall x_{1}(x_{1}\equiv x_{1})]_{T}=[\forall x_{1}(x_{1}\equiv x_{1})]_{T}\] Ya que \([\varphi_{1}]_{T}\;\mathsf{s}^{T}\mathsf{\;}[\forall x_{1}(x_{1}\equiv x_{1})]_{T}=[(\varphi_{1}\vee\forall x_{1}(x_{1}\equiv x_{1}))]_{T}\), debemos probar que \[[(\varphi_{1}\vee\forall x_{1}(x_{1}\equiv x_{1}))]_{T}=[\forall x_{1}(x_{1}\equiv x_{1})]_{T}\] o equivalentemente \[T\vdash((\varphi_{1}\vee\forall x_{1}(x_{1}\equiv x_{1}))\leftrightarrow\forall x_{1}(x_{1}\equiv x_{1}))\] Nótese que por (2) del Lema 3.43, basta con probar que \[\begin{aligned} T & \vdash((\varphi_{1}\vee\forall x_{1}(x_{1}\equiv x_{1}))\rightarrow\forall x_{1}(x_{1}\equiv x_{1}))\\ T & \vdash(\forall x_{1}(x_{1}\equiv x_{1})\rightarrow(\varphi_{1}\vee\forall x_{1}(x_{1}\equiv x_{1}))) \end{aligned}\] Dejamos la segunda al lector. Para la primera tenemos la siguiente prueba formal \[\begin{array}{llll} 1.\; & c\equiv c & & \text{AXIOMALOGICO}\\ 2.\; & \forall x_{1}(x_{1}\equiv x_{1}) & & \text{GENERALIZACION}(1)\\ 3. & (\varphi_{1}\vee\forall x_{1}(x_{1}\equiv x_{1})) & & \text{HIPOTESIS1}\\ 4. & \forall x_{1}(x_{1}\equiv x_{1}) & & \text{TESIS1EVOCACION}\text{(2)}\\ 5. & ((\varphi_{1}\vee\forall x_{1}(x_{1}\equiv x_{1}))\rightarrow\forall x_{1}(x_{1}\equiv x_{1})) & & \text{CONCLUSION} \end{array}\] (\(c\) es un nombre de cte no perteneciente a \(\mathcal{C}\) y tal que \((\mathcal{C}\cup\{c\},\mathcal{F},\mathcal{R},a)\) es un tipo).
Veamos ahora que se da (6), es decir veamos que \[[\varphi_{1}]_{T}\;\mathsf{s}^{T}\mathsf{\;}([\varphi_{2}]_{T}\;\mathsf{s}^{T}\mathsf{\;}[\varphi_{3}]_{T})=([\varphi_{1}]_{T}\;\mathsf{s}^{T}\mathsf{\;}[\varphi_{2}]_{T})\;\mathsf{s}^{T}\mathsf{\;}[\varphi_{3}]_{T}\] cualesquiera sean \(\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3}\in S^{\tau}\). Sean \(\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3}\in S^{\tau}\) fijas. Por la definición de la operación \(\mathsf{s}^{T}\) tenemos que \[\begin{array}{llll} [\varphi_{1}]_{T}\;\mathsf{s}^{T}\mathsf{\;}([\varphi_{2}]_{T}\;\mathsf{s}^{T}\mathsf{\;}[\varphi_{3}]_{T}) & = & [\varphi_{1}]_{T}\;\mathsf{s}^{T}\mathsf{\;}[(\varphi_{2}\vee\varphi_{3})]_{T}\\ & = & [(\varphi_{1}\vee(\varphi_{2}\vee\varphi_{3}))]_{T}\\ \\([\varphi_{1}]_{T}\;\mathsf{s}^{T}\mathsf{\;}[\varphi_{2}]_{T})\;\mathsf{s}^{T}\mathsf{\;}[\varphi_{3}]_{T} & = & [(\varphi_{1}\vee\varphi_{2})]_{T}\;\mathsf{s}^{T}\mathsf{\;}[\varphi_{3}]_{T}\\ & = & [((\varphi_{1}\vee\varphi_{2})\vee\varphi_{3})]_{T} \end{array}\] O sea que debemos probar que \[[(\varphi_{1}\vee(\varphi_{2}\vee\varphi_{3}))]_{T}=[((\varphi_{1}\vee\varphi_{2})\vee\varphi_{3})]_{T}\] es decir, debemos probar que \[T\vdash((\varphi_{1}\vee(\varphi_{2}\vee\varphi_{3}))\leftrightarrow((\varphi_{1}\vee\varphi_{2})\vee\varphi_{3}))\] Nótese que por (2) del Lema 3.43, basta con probar que \[\begin{aligned} T & \vdash((\varphi_{1}\vee(\varphi_{2}\vee\varphi_{3}))\rightarrow((\varphi_{1}\vee\varphi_{2})\vee\varphi_{3}))\\ T & \vdash(((\varphi_{1}\vee\varphi_{2})\vee\varphi_{3})\rightarrow(\varphi_{1}\vee(\varphi_{2}\vee\varphi_{3}))) \end{aligned}\] La siguiente es una prueba formal de \(((\varphi_{1}\vee(\varphi_{2}\vee\varphi_{3}))\rightarrow((\varphi_{1}\vee\varphi_{2})\vee\varphi_{3}))\) en \(T\) y dejamos al lector la otra prueba formal. \[\begin{array}{llll} 1. & (\varphi_{1}\vee(\varphi_{2}\vee\varphi_{3})) & & \text{HIPOTESIS}1\\ 2. & \varphi_{1} & & \text{HIPOTESIS}2\\ 3. & (\varphi_{1}\vee\varphi_{2}) & & \text{DISJUNCIONINTRODUCCION}(2)\\ 4. & ((\varphi_{1}\vee\varphi_{2})\vee\varphi_{3}) & & \text{TESIS}2\text{DISJUNCIONINTRODUCCION}(3)\\ 5. & \varphi_{1}\rightarrow((\varphi_{1}\vee\varphi_{2})\vee\varphi_{3}) & & \text{CONCLUSION}\\ 6. & (\varphi_{2}\vee\varphi_{3}) & & \text{HIPOTESIS}3\\ 7. & \varphi_{2} & & \text{HIPOTESIS}4\\ 8. & (\varphi_{1}\vee\varphi_{2}) & & \text{DISJUNCIONINTRODUCCION}(7)\\ 9. & ((\varphi_{1}\vee\varphi_{2})\vee\varphi_{3}) & & \text{TESIS}4\text{DISJUNCIONINTRODUCCION}(8)\\ 10. & \varphi_{2}\rightarrow((\varphi_{1}\vee\varphi_{2})\vee\varphi_{3}) & & \text{CONCLUSION}\\ 11. & \varphi_{3} & & \text{HIPOTESIS}5\\ 12. & ((\varphi_{1}\vee\varphi_{2})\vee\varphi_{3}) & & \text{TESIS}5\text{DISJUNCIONINTRODUCCION}(11)\\ 13. & \varphi_{3}\rightarrow((\varphi_{1}\vee\varphi_{2})\vee\varphi_{3}) & & \text{CONCLUSION}\\ 14. & ((\varphi_{1}\vee\varphi_{2})\vee\varphi_{3}) & & \text{TESIS}3\text{DIVISIONPORCASOS}(6,10,13)\\ 15. & (\varphi_{2}\vee\varphi_{3})\rightarrow((\varphi_{1}\vee\varphi_{2})\vee\varphi_{3}) & & \text{CONCLUSION}\\ 16. & ((\varphi_{1}\vee\varphi_{2})\vee\varphi_{3}) & & \text{TESIS}1\text{DIVISIONPORCASOS}(1,5,15)\\ 17. & (\varphi_{1}\vee(\varphi_{2}\vee\varphi_{3}))\rightarrow((\varphi_{1}\vee\varphi_{2})\vee\varphi_{3}) & & \text{CONCLUSION} \end{array}\] El resto de las propiedades pueden ser probadas en forma similar, algunas de las pruebas formales necesarias han sido dadas en los ejemplos que siguen a la definición de prueba formal
Dada una teoría \(T=(\Sigma,\tau)\), denotaremos con \(\mathcal{A}_{T}\) al álgebra de Boole \((S^{\tau}/\mathrm{\dashv\vdash}_{T},\mathsf{s}^{T},\mathsf{i}^{T},^{\mathsf{c}^{T}},0^{T},1^{T})\). El álgebra \(\mathcal{A}_{T}\) será llamada el álgebra de Lindenbaum de \(T\). Denotaremos con \(\leq^{T}\) al orden parcial asociado al álgebra de Boole \(\mathcal{A}_{T}\) (es decir \([\varphi]_{T}\leq^{T}[\psi]_{T}\) si y solo si \([\varphi]_{T}\;\mathsf{s}^{T}\mathsf{\;}[\psi]_{T}=[\psi]_{T}\)). El siguiente lema nos da una descripción agradable de \(\leq^{T}\).
3.47. Sea \(T\) una teoría. Se tiene que \[[\varphi]_{T}\leq^{T}[\psi]_{T}\text{ si y solo si }T\vdash\left(\varphi\rightarrow\psi\right)\]
Proof. Supongamos que \([\varphi]_{T}\leq^{T}[\psi]_{T}\), es decir supongamos que \([\varphi]_{T}\;\mathsf{s}^{T}\mathsf{\;}[\psi]_{T}=[\psi]_{T}\). Por la definición de \(\mathsf{s}^{T}\) tenemos que \([(\varphi\vee\psi)]_{T}=[\psi]_{T}\), es decir \(T\vdash((\varphi\vee\psi)\leftrightarrow\psi)\). Es fácil ver entonces que \(T\vdash\left(\varphi\rightarrow\psi\right)\). Recíprocamente si \(T\vdash\left(\varphi\rightarrow\psi\right)\), entonces fácilmente podemos probar que \(T\vdash((\varphi\vee\psi)\leftrightarrow\psi)\), lo cual nos dice que \([(\varphi\vee\psi)]_{T}=[\psi]_{T}\). Por la definición de\(\ \mathsf{s}^{T}\) tenemos que \([\varphi]_{T}\;\mathsf{s}^{T}\mathsf{\;}[\psi]_{T}=[\psi]_{T}\), lo cual nos dice que \([\varphi]_{T}\leq^{T}[\psi]_{T}\)
Hasta el momento tenemos una definición matemática de prueba formal que modeliza el concepto intuitivo de prueba elemental, el cual corresponde al mundo real de los matemáticos profesionales. Ahora bien, nada nos asegura que no aparezca un matemático que realice una prueba elemental de una sentencia \(\varphi\) en una teoría \((\Sigma,\tau)\), y que no haya una prueba formal de \(\varphi\) en \((\Sigma,\tau)\). En tal caso nuestro concepto de prueba seria incompleto (como modelo) aunque, como ya se vio, el mismo es correcto. Esto podría pasar por ejemplo si nos hubiésemos olvidado de incluir en nuestra definición de prueba formal alguna regla o acción que el matemático usara para probar dicha \(\varphi\), es decir nos podría pasar que no podamos "traducir" dicha prueba elemental a una prueba formal. Parece difícil poder asegurar o probar que nuestro concepto de prueba formal sea completo en el sentido antes descripto ya que el concepto de prueba elemental es empírico puesto que depende de las acciones de la comunidad matemática profesional y además no tiene una formulación precisa. Por otra parte nada nos asegura que los matemáticos profesionales no vayan a descubrir en el futuro algún nuevo "truco" elemental y que nuestro concepto que era completo pase a ser incompleto.
Fue un verdadero desafío científico (de los años cercanos a 1900) lidiar con estos problemas, y el Teorema de Completitud de Godel resuelve todo de una manera limpia y asombrosa. La razón es muy simple: Godel prueba que si una sentencia \(\varphi\) es verdadera en todos los modelos de \((\Sigma,\tau)\), entonces hay una prueba formal de \(\varphi\) en \((\Sigma,\tau)\). Ya que toda prueba elemental que haga un matemático (ahora o en el futuro) siempre probara una sentencia que es verdadera en cada modelo de \((\Sigma,\tau)\), el teorema de Godel nos garantiza que para cada prueba elemental (de ahora y del futuro) habrá una prueba formal que pruebe la misma sentencia!
Por supuesto queda la posibilidad de que una prueba elemental dada por algún matemático (ahora o en el futuro) no sea traducible en forma natural a una prueba formal que pruebe lo mismo (mas allá de que sepamos que hay una gracias a Godel). Sin embargo el lector se ira convenciendo que esto es improbable que suceda, a medida que vaya formalizando distintas pruebas elementales clásicas dadas por los matemáticos a lo largo de la historia.
Cabe destacar que entonces el Teorema de Corrección junto con el Teorema de Completitud resuelven el punto (4) del Programa de Lógica Matemática.
Para probar el Teorema de Completitud necesitaremos algunos resultados. Dados dos tipos cualesquiera \(\tau\) y \(\tau^{\prime}\) definamos \(\tau_{\cap}=(\mathcal{C}_{\cap},\mathcal{F}_{\cap},\mathcal{R}_{\cap},a_{\cap})\), donde \[\begin{aligned} \mathcal{C}_{\cap} & =\mathcal{C}\cap\mathcal{C}^{\prime}\\ \mathcal{F}_{\cap} & =\{f\in\mathcal{F}\cap\mathcal{F}^{\prime}:a(f)=a^{\prime}(f)\}\\ \mathcal{R}_{\cap} & =\{r\in\mathcal{R}\cap\mathcal{R}^{\prime}:a(r)=a^{\prime}(r)\}\\ a_{\cap} & =a|_{\mathcal{F}_{\cap}\cup\mathcal{R}_{\cap}} \end{aligned}\]
3.48 (Intersección de Tipos). Sean \(\tau\) y \(\tau^{\prime}\) dos tipos cualesquiera. Entonces
adhocprefix(a)adhocsufix \(\tau_{\cap}\) es un tipo
adhocprefix(b)adhocsufix \(T^{\tau_{\cap}}=T^{\tau}\cap T^{\tau^{\prime}}\)
adhocprefix(c)adhocsufix \(F^{\tau_{\cap}}=F^{\tau}\cap F^{\tau^{\prime}}\).
Proof. (a) Es directo y dejado al lector.
(b) Es directo (y dejado al lector) probar por inducción que \(T_{k}^{\tau_{\cap}}\subseteq T^{\tau}\cap T^{\tau^{\prime}}\), para cada \(k\in\omega\). Esto prueba que \(T^{\tau_{\cap}}\subseteq T^{\tau}\cap T^{\tau^{\prime}}\). Veamos la otra inclusión. Lo probaremos usando la Regla de Inducción desde 0. Para cada \(k\in\omega\) sea \(\mathrm{Enu}_{k}\) el siguiente enunciado:
adhocprefix\(\mathrm{Enu}_{k}\):adhocsufix Si \(t\in T_{k}^{\tau}\cap T^{\tau^{\prime}}\), entonces \(t\in T^{\tau_{\cap}}\).
Hagamos entonces lo que nos encomienda la Regla de Inducción desde \(0\).
Prueba de que \(\mathrm{Enu}_{0}\) es verdadero. Supongamos \(t\in T_{0}^{\tau}\cap T^{\tau^{\prime}}\). Obviamente si \(t\in Var\), entonces \(t\in T^{\tau_{\cap}}\). Supongamos que \(t\in\mathcal{C}\). Ya que en \(t\) no ocurren paréntesis ni numerales y además \(t\in T^{\tau^{\prime}}\), tenemos que \(t\) debe estar en \(\mathcal{C}^{\prime}\). O sea que \(t\in\mathcal{C}\cap\mathcal{C}^{\prime}\subseteq T^{\tau_{\cap}}\).
Prueba de que si \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero entonces \(\mathrm{Enu}_{k+1}\) lo es. Supongamos entonces que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\). Supongamos \(t\in T_{k+1}^{\tau}\cap T^{\tau^{\prime}}\). Veremos que \(t\in T^{\tau_{\cap}}\). Por la definición de \(T_{k+1}^{\tau}\) hay dos casos.
Caso \(t\in T_{k}^{\tau}\). Trivial ya que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\).
Caso \(t=f(t_{1},...,t_{n})\), con \(f\in\mathcal{F}\), \(a(f)=n\) y \(t_{1},...,t_{n}\in T_{k}^{\tau}\). Ya que \(t\in T^{\tau^{\prime}}\) y en \(t\) ocurren paréntesis se tiene que \(t\) es de la forma \(g(s_{1},...,s_{m})\), con \(g\in\mathcal{F}^{\prime}\), \(a^{\prime}(g)=m\) y \(s_{1},...,s_{m}\in T^{\tau^{\prime}}\). Tenemos entonces que \[f(t_{1},...,t_{n})=g(s_{1},...,s_{m})\] lo cual claramente nos dice que \(f=g\) ya que ambas palabras no tienen paréntesis. O sea que
adhocprefix(1)adhocsufix \(t_{1},...,t_{n}=s_{1},...,s_{m}\)
Probaremos que
adhocprefix(2)adhocsufix \(n=m\) y \(t_{i}=s_{i}\), para \(i=1,...,n\)
Nótese que (1) nos dice que \(t_{1}\) es tramo inicial de \(s_{1}\) o viceversa. Supongamos \(t_{1}\) es tramo inicial propio de \(s_{1}\). O sea que debe ser \(n>1\) y la palabra \(t_{1},\) debe ser tramo inicial de \(s_{1}\). Ya que \(,\) ocurre en \(s_{1}\) tenemos que \(s_{1}\) es de la forma \(h(u_{1},...,u_{l})\), con \(h\in\mathcal{F}^{\prime}\), \(a^{\prime}(h)=l\) y \(u_{1},...,u_{l}\in T^{\tau^{\prime}}\). Esto nos dice que \(t_{1}\) no es una variable ya que \(s_{1}\) no comienza con \(\mathsf{X}\). Si \(t_{1}\in\mathcal{C}\), entonces ya que \(t_{1},\) es inicial de \(s_{1}\) llegamos a un absurdo. O sea que en \(t_{1}\) ocurren paréntesis. Pero entonces (4) del Lema \(SPar\) en Términos (aplicado al término \(s_{1}\)) nos dice que \(SPar(t_{1},)>0\), lo cual es absurdo porque (1) del mismo lema (aplicado al término \(t_{1}\)) nos dice que \(SPar(t_{1},)=0\). El absurdo provino de suponer que \(t_{1}\) es tramo inicial propio de \(s_{1}\). De la misma forma si suponemos que \(s_{1}\) es tramo inicial propio de \(t_{1}\) llegamos a un absurdo. Esto prueba que \(t_{1}=s_{1}\). Sea \(i_{0}\) el mayor \(i\in\{1,...,min\{n,m\}\}\) tal que \(t_{j}=s_{j}\), para \(j\in\{1,...,i\}\). Si \(i_{0}=n\), entonces \(m\) no puede ser mayor que \(n\) ya que en tal caso tendríamos simplificando en (1) que \[\varepsilon=s_{n+1},...,s_{m}\] Similarmente si \(i_{0}=m\), entonces \(n\) no puede ser mayor que \(m\). O sea que \(i_{0}=n=m\) o \(i_{0}<n,m\). Si \(i_{0}=n=m\) entonces claramente hemos probado (2). Pero veamos que \(i_{0}<n,m\) conduce a un absurdo. Supongamos \(i_{0}<n,m\). Entonces simplificando tenemos que \[t_{i_{0}+1},...,t_{n}=s_{i_{0}+1},...,s_{m}\] y además \(t_{i_{0}+1}\neq s_{i_{0}+1}\). Pero haciendo el mismo argumento hecho para ver que \(t_{1}=s_{1}\)podríamos probar que \(t_{i_{0}+1}=s_{i_{0}+1}\) y llegar a un absurdo. O sea que siempre \(i_{0}=n=m\) lo cual completa la prueba de (2).
Ya que \(t_{i}=s_{i}\), para \(i=1,...,n\) tenemos que \(t_{i}\in T_{k}^{\tau}\cap T^{\tau^{\prime}}\) para \(i=1,...,n\). O sea que como vale \(\mathrm{Enu}_{k}\) tenemos que \(t_{i}\in T^{\tau_{\cap}}\) para \(i=1,...,n\). Pero \(f=g\) y \(n=m\) nos dice que \(f\in\mathcal{F}_{\cap}\), lo cual implica que \(t=f(t_{1},...,t_{n})\in T^{\tau_{\cap}}\).
(c) Es directo (y dejado al lector) probar por inducción que \(F_{k}^{\tau_{\cap}}\subseteq F^{\tau}\cap F^{\tau^{\prime}}\), para cada \(k\in\omega\). Esto prueba que \(F^{\tau_{\cap}}\subseteq F^{\tau}\cap F^{\tau^{\prime}}\). Veamos la otra inclusión. Lo probaremos usando la Regla de Inducción desde 0. Para cada \(k\in\omega\) sea \(\mathrm{Enu}_{k}\) el siguiente enunciado:
adhocprefix\(\mathrm{Enu}_{k}\):adhocsufix Si \(\varphi\in F_{k}^{\tau}\cap F^{\tau^{\prime}}\), entonces \(\varphi\in F^{\tau_{\cap}}\).
Hagamos entonces lo que nos encomienda la Regla de Inducción desde \(0\).
Prueba de que \(\mathrm{Enu}_{0}\) es verdadero. Supongamos \(\varphi\in F_{0}^{\tau}\cap F^{\tau^{\prime}}\). Ya que \(\varphi\in F_{0}^{\tau}\) hay dos casos.
Caso \(\varphi=(t\equiv s)\), con \(t,s\in T^{\tau}\). Ya que \(\varphi\in F^{\tau^{\prime}}\) y en \(\varphi\) no ocurre ningún símbolo del conjunto \(\{\vee,\wedge,\leftrightarrow,\rightarrow,\neg,\exists,\forall\}\cup\mathcal{R}^{\prime}\), el Teorema de Lectura Única de Fórmulas nos dice que \(\varphi=(u\equiv v)\), con \(u,v\in T^{\tau^{\prime}}\). Obviamente esto nos dice que \(t=u\) y \(s=v\), por lo cual \(t,s\in T^{\tau}\cap T^{\tau^{\prime}}\). Por (b) obtenemos entonces que \(t,s\in T^{\tau_{\cap}}\). Pero esto claramente nos asegura que \(\varphi\in F^{\tau_{\cap}}\).
Caso \(\varphi=r(t_{1},...,t_{n})\), con \(r\in\mathcal{R}\), \(a(r)=n\) y \(t_{1},...,t_{n}\in T^{\tau}\). Ya que \(\varphi\in F^{\tau^{\prime}}\) y en \(\varphi\) no ocurre ningún símbolo del conjunto \(\{\equiv,\vee,\wedge,\leftrightarrow,\rightarrow,\neg,\exists,\forall\}\), el Teorema de Lectura Única de Fórmulas nos dice que \(\varphi=h(s_{1},...,s_{m})\), con \(h\in\mathcal{R}\), \(a(h)=m\) y \(s_{1},...,s_{m}\in T^{\tau^{\prime}}\). Pero entonces ya que \[r(t_{1},...,t_{n})=h(s_{1},...,s_{m})\] deberá suceder que \(r=h\) y \(t_{1},...,t_{n}=s_{1},...,s_{m}\). Usando el mismo argumento que se uso para probar (2) en la prueba de (b) obtenemos que \(n=m\) y \(t_{i}=s_{i}\), para \(i=1,...,n\). Ya que \(t_{i}\in T^{\tau}\cap T^{\tau^{\prime}}\), para \(i=1,...,n\), (b) nos dice que \(t_{i}\in T^{\tau_{\cap}}\), para \(i=1,...,n\). Pero \(f=g\) y \(n=m\) nos dice que \(r\in\mathcal{R}_{\cap}\), lo cual implica que \(\varphi=r(t_{1},...,t_{n})\in F^{\tau_{\cap}}\).
Prueba de que si \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero entonces \(\mathrm{Enu}_{k+1}\) lo es. Supongamos entonces que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\). Supongamos \(\varphi\in F_{k+1}^{\tau}\cap F^{\tau^{\prime}}\). Veremos que \(\varphi\in F^{\tau_{\cap}}\). Por la definición de \(F_{k+1}^{\tau}\) hay varios casos.
Caso \(\varphi\in F_{k}^{\tau}\). Trivial ya que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\).
Caso \(\varphi=\left(\varphi_{1}\eta\varphi_{2}\right)\), con \(\eta\in\{\vee,\wedge,\leftrightarrow,\rightarrow\}\) y \(\varphi_{1},\varphi_{2}\in F_{k}^{\tau}\). Ya que \(\varphi\in F^{\tau^{\prime}}\)el Teorema de Lectura Única de Fórmulas nos dice que \(\varphi=\left(\psi_{1}\mu\psi_{2}\right)\), con \(\mu\in\{\vee,\wedge,\leftrightarrow,\rightarrow\}\) y \(\psi_{1},\psi_{2}\in F^{\tau^{\prime}}\) (\(\varphi\) no puede ser de la forma \((t\equiv s)\) ya que en \((t\equiv s)\) no ocurre ningún símbolo de \(\{\vee,\wedge,\leftrightarrow,\rightarrow\}\)). Ya que \(\left(\varphi_{1}\eta\varphi_{2}\right)=\left(\psi_{1}\mu\psi_{2}\right)\) tenemos que \(\varphi_{1}\eta\varphi_{2}=\psi_{1}\mu\psi_{2}\) por lo cual \(\varphi_{1}\) es tramo inicial de \(\psi_{1}\) o viceversa. Supongamos \(\varphi_{1}\) es tramo inicial propio de \(\psi_{1}\). Ya que en \(\varphi_{1}\) ocurren paréntesis el Lema \(SPar\) en Fórmulas (aplicado a \(\psi_{1}\)) nos dice que \(SPar(\varphi_{1})>0\). Pero (1) del mismo lema (aplicado ahora a \(\varphi_{1}\)) nos dice que \(SPar(\varphi_{1})=0\), lo cual es absurdo. De la misma manera podemos llegar a un absurdo suponiendo que \(\psi_{1}\) es tramo inicial propio de \(\varphi_{1}\), lo cual nos dice que \(\varphi_{1}=\psi_{1}\). O sea que \(\eta=\mu\) y \(\varphi_{2}=\psi_{2}\). Esto nos garantiza que \(\varphi_{1},\varphi_{2}\in F_{k}^{\tau}\cap F^{\tau^{\prime}}\), lo cual ya que \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero nos dice que \(\varphi_{1},\varphi_{2}\in F^{\tau_{\cap}}\). Claramente entonces tenemos que \(\varphi\in F^{\tau_{\cap}}\).
Caso \(\varphi=Qv\varphi_{1}\), con \(Q\in\{\forall,\exists\}\), \(v\in Var\) y \(\varphi_{1}\in F_{k}^{\tau}\). Ya que \(\varphi\in F^{\tau^{\prime}}\)el Teorema de Lectura Única de Fórmulas nos dice que \(\varphi=Q^{\prime}v^{\prime}\varphi_{1}^{\prime}\), con \(Q^{\prime}\in\{\forall,\exists\}\), \(v^{\prime}\in Var\) y \(\varphi_{1}^{\prime}\in F^{\tau^{\prime}}\). Obviamente deberá suceder \(Q=Q^{\prime}\), \(v=v^{\prime}\) y \(\varphi_{1}=\varphi_{1}^{\prime}\). O sea que \(\varphi_{1}\in F_{k}^{\tau}\cap F^{\tau^{\prime}}\), lo cual ya que \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero nos dice que \(\varphi_{1}\in F^{\tau_{\cap}}\). Claramente entonces tenemos que \(\varphi\in F^{\tau_{\cap}}\).
Caso \(\varphi=\neg\varphi_{1}\), con \(\varphi_{1}\in F_{k}^{\tau}\). Es dejado al lector.
3.49 (Lema de Coincidencia). Sean \(\tau\) y \(\tau^{\prime}\) dos tipos cualesquiera y sean \(\mathbf{A}\) y \(\mathbf{A}^{\prime}\) modelos de tipo \(\tau\) y \(\tau^{\prime}\) respectivamente. Supongamos que \(A=A^{\prime}\) y que \(c^{\mathbf{A}}=c^{\mathbf{A}^{\prime}}\), para cada \(c\in\mathcal{C}_{\cap}\), \(f^{\mathbf{A}}=f^{\mathbf{A}^{\prime}}\), para cada \(f\in\mathcal{F}_{\cap}\) y \(r^{\mathbf{A}}=r^{\mathbf{A}^{\prime}}\), para cada \(r\in\mathcal{R}_{\cap}\). Entonces:
adhocprefix(a)adhocsufix Para cada \(t=_{d}t(\vec{v})\in T^{\tau_{\cap}}\) se tiene que \(t^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=t^{\mathbf{A}^{\prime}}[\vec{a}]\), para cada \(\vec{a}\in A^{n}\)
adhocprefix(b)adhocsufix Para cada \(\varphi=_{d}\varphi(\vec{v})\in F^{\tau_{\cap}}\) se tiene que \[\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\text{ si y solo si }\mathbf{A}^{\prime}\models\varphi[\vec{a}]\] para cada \(\vec{a}\in A^{n}\)
adhocprefix(c)adhocsufix Si \(\Sigma\cup\{\varphi\}\subseteq S^{\tau_{\cap}}\), entonces \[(\Sigma,\tau)\models\varphi\text{ sii }(\Sigma,\tau^{\prime})\models\varphi\]
Proof. (a) Lo probaremos usando la Regla de Inducción desde 0. Para cada \(k\in\omega\) sea \(\mathrm{Enu}_{k}\) el siguiente enunciado:
adhocprefix\(\mathrm{Enu}_{k}\):adhocsufix Supongamos \(t=_{d}t(\vec{v})\in T_{k}^{\tau_{\cap}}\) y sean \(\mathbf{A}\) y \(\mathbf{A}^{\prime}\) modelos de tipo \(\tau\) y \(\tau^{\prime}\) respectivamente tales que \(A=A^{\prime}\), \(c^{\mathbf{A}}=c^{\mathbf{A}^{\prime}}\), para cada \(c\in\mathcal{C}_{\cap}\), \(f^{\mathbf{A}}=f^{\mathbf{A}^{\prime}}\), para cada \(f\in\mathcal{F}_{\cap}\) y \(r^{\mathbf{A}}=r^{\mathbf{A}^{\prime}}\), para cada \(r\in\mathcal{R}_{\cap}\). Entonces \(t^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=t^{\mathbf{A}^{\prime}}[\vec{a}]\), para cada \(\vec{a}\in A^{n}\).
Hagamos entonces lo que nos encomienda la Regla de Inducción desde \(0\).
Prueba de que \(\mathrm{Enu}_{0}\) es verdadero. Trivial.
Prueba de que si \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero entonces \(\mathrm{Enu}_{k+1}\) lo es. Supongamos entonces que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\). Supongamos \(t=_{d}t(\vec{v})\in T_{k+1}^{\tau_{\cap}}\) y sean \(\mathbf{A}\) y \(\mathbf{A}^{\prime}\) modelos de tipo \(\tau\) y \(\tau^{\prime}\) respectivamente tales que \(A=A^{\prime}\), \(c^{\mathbf{A}}=c^{\mathbf{A}^{\prime}}\), para cada \(c\in\mathcal{C}_{\cap}\), \(f^{\mathbf{A}}=f^{\mathbf{A}^{\prime}}\), para cada \(f\in\mathcal{F}_{\cap}\) y \(r^{\mathbf{A}}=r^{\mathbf{A}^{\prime}}\), para cada \(r\in\mathcal{R}_{\cap}\). Por el Lema de Lectura Única de Términos Declarados, hay varios casos:
Caso \(t=v_{i}\), con \(i\in\{1,...,n\}\). Sea \(\vec{a}\in A^{n}\). Tenemos que \[\begin{aligned} t^{\mathbf{A}}[\vec{a}] & =a_{i}\\ & =t^{\mathbf{A}^{\prime}}[\vec{a}] \end{aligned}\] Por lo cual \(t^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=t^{\mathbf{A}^{\prime}}[\vec{a}]\), para cada \(\vec{a}\in A^{n}\).
Caso \(t\in\mathcal{C}_{\cap}\). Sea \(\vec{a}\in A^{n}\). Tenemos que \[\begin{aligned} t^{\mathbf{A}}[\vec{a}] & =t^{\mathbf{A}}\\ & =t^{\mathbf{A}^{\prime}}\\ & =t^{\mathbf{A}^{\prime}}[\vec{a}] \end{aligned}\] Por lo cual \(t^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=t^{\mathbf{A}^{\prime}}[\vec{a}]\), para cada \(\vec{a}\in A^{n}\).
Caso \(t=f(t_{1},...,t_{m})\), con \(f\in\mathcal{F}_{\cap}\), \(a_{\cap}(f)=m\) y \(t_{1},...,t_{m}\in T_{k}^{\tau}\). Dado que hemos declarado \(t=_{d}t(v_{1},...,v_{n})\), por la Convención Notacional 3, tenemos declarados también \(t_{1}=_{d}t_{1}(v_{1},...,v_{n}),...,t_{m}=_{d}t_{m}(v_{1},...,v_{n})\). O sea que \(\mathrm{Enu}_{k}\) nos dice que \(t_{i}^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=t_{i}^{\mathbf{A}^{\prime}}[\vec{a}]\), para cada \(\vec{a}\in A^{n}\) y \(i=1,...,m\). Sea \(\vec{a}\in A^{n}\). Tenemos que \[\begin{aligned} t^{\mathbf{A}}[\vec{a}] & =f^{\mathbf{A}}(t_{1}^{\mathbf{A}}[\vec{a}],...,t_{m}^{\mathbf{A}}[\vec{a}])\\ & =f^{\mathbf{A}}(t_{1}^{\mathbf{A}^{\prime}}[\vec{a}],...,t_{m}^{\mathbf{A}^{\prime}}[\vec{a}])\\ & =f^{\mathbf{A}^{\prime}}(t_{1}^{\mathbf{A}^{\prime}}[\vec{a}],...,t_{m}^{\mathbf{A}^{\prime}}[\vec{a}])\\ & =t^{\mathbf{A}^{\prime}}[\vec{a}] \end{aligned}\] Por lo cual \(t^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=t^{\mathbf{A}^{\prime}}[\vec{a}]\), para cada \(\vec{a}\in A^{n}\).
(b) Es dejado al lector.
(c) Supongamos que \((\Sigma,\tau)\models\varphi\). Probaremos que \((\Sigma,\tau^{\prime})\models\varphi\). Sea \(\mathbf{A}^{\prime}\) un modelo de \(\tau^{\prime}\) tal que \(\mathbf{A}^{\prime}\models\Sigma\). Sea \(a\in A^{\prime}\) un elemento fijo. Sea \(\mathbf{A}\) el modelo de tipo \(\tau\) definido de la siguiente manera
adhocprefix-adhocsufix universo de \(\mathbf{A}=\) \(A^{\prime}\)
adhocprefix-adhocsufix \(c^{\mathbf{A}}=c^{\mathbf{A}^{\prime}}\), para cada \(c\in\mathcal{C}_{\cap}\),
adhocprefix-adhocsufix \(f^{\mathbf{A}}=f^{\mathbf{A}^{\prime}}\), para cada \(f\in\mathcal{F}_{\cap}\)
adhocprefix-adhocsufix \(r^{\mathbf{A}}=r^{\mathbf{A}^{\prime}}\), para cada \(r\in\mathcal{R}_{\cap}\)
adhocprefix-adhocsufix \(c^{\mathbf{A}}=a\), para cada \(c\in\mathcal{C}-\mathcal{C}_{\cap}\)
adhocprefix-adhocsufix \(f^{\mathbf{A}}(a_{1},...,a_{a(f)})=a\), para cada \(f\in\mathcal{F}-\mathcal{F}_{\cap}\), \(a_{1},...,a_{a(f)}\in A^{\prime}\)
adhocprefix-adhocsufix \(r^{\mathbf{A}}=\emptyset\), para cada \(r\in\mathcal{R-R}_{\cap}\)
Ya que \(\mathbf{A}^{\prime}\models\Sigma\), (b) nos dice que \(\mathbf{A}\models\Sigma\), lo cual nos dice que \(\mathbf{A}\models\varphi\). Nuevamente por (b) tenemos que \(\mathbf{A}^{\prime}\models\varphi\), con lo cual hemos probado que \((\Sigma,\tau^{\prime})\models\varphi\).
Dejamos al lector la prueba de la reciproca.
3.50 (Tipos Parecidos). Sean \(\tau=(\mathcal{C},\mathcal{F},\mathcal{R},a)\) y \(\tau^{\prime}=(\mathcal{C}^{\prime},\mathcal{F}^{\prime},\mathcal{R}^{\prime},a^{\prime})\) tipos.
adhocprefix(1)adhocsufix Si \(\mathcal{C}\subseteq\mathcal{C}^{\prime}\), \(\mathcal{F}\subseteq\mathcal{F}^{\prime}\), \(\mathcal{R}\subseteq\mathcal{R}^{\prime}\) y \(a^{\prime}|_{\mathcal{F}\cup\mathcal{R}}=a\), entonces \((\Sigma,\tau)\vdash\varphi\) implica \((\Sigma,\tau^{\prime})\vdash\varphi\)
adhocprefix(2)adhocsufix Si \(\mathcal{C}\subseteq\mathcal{C}^{\prime}\), \(\mathcal{F}=\mathcal{F}^{\prime}\), \(\mathcal{R}=\mathcal{R}^{\prime}\) y \(a^{\prime}=a\), entonces \((\Sigma,\tau^{\prime})\vdash\varphi\) implica \((\Sigma,\tau)\vdash\varphi\), cada vez que \(\Sigma\cup\{\varphi\}\subseteq S^{\tau}.\)
Proof. (1) Supongamos \((\Sigma,\tau)\vdash\varphi\). Entonces hay una prueba formal \((\varphi_{1}...\varphi_{n},J_{1}...J_{n})\) de \(\varphi\) en \((\Sigma,\tau)\). Nótese que aplicando varias veces el Lema 3.42 podemos obtener una prueba formal \((\tilde{\varphi}_{1}...\tilde{\varphi}_{n},J_{1}...J_{n})\) de \(\varphi\) en \((\Sigma,\tau)\) la cual cumple que si \(\mathcal{C}_{2}\) es el conjunto de nombres de constante que ocurren en \(\tilde{\varphi}_{1}...\tilde{\varphi}_{n}\) y que no pertenecen a \(\mathcal{C}\), entonces:
adhocprefix-adhocsufix \(\mathcal{C}_{2}\cap\mathcal{C}^{\prime}=\emptyset\)
adhocprefix-adhocsufix \((\mathcal{C}^{\prime}\cup\mathcal{C}_{2},\mathcal{F}^{\prime},\mathcal{R}^{\prime},a^{\prime})\) es un tipo
Pero entonces \((\tilde{\varphi}_{1}...\tilde{\varphi}_{n},J_{1}...J_{n})\) es una prueba formal de \(\varphi\) en \((\Sigma,\tau^{\prime})\), con lo cual \((\Sigma,\tau^{\prime})\vdash\varphi\)
(2) Supongamos \((\Sigma,\tau^{\prime})\vdash\varphi\). Entonces hay una prueba formal \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) de \(\varphi\) en \((\Sigma,\tau^{\prime})\). Veremos que \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) es una prueba formal de \(\varphi\) en \((\Sigma,\tau)\). Ya que \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) es una prueba formal de \(\varphi\) en \((\Sigma,\tau^{\prime})\) hay un conjunto finito \(\mathcal{C}_{1}\), disjunto con \(\mathcal{C}^{\prime}\), tal que \((\mathcal{C}^{\prime}\cup\mathcal{C}_{1},\mathcal{F},\mathcal{R},a)\) es un tipo y cada \(\boldsymbol{\varphi}_{i}\) es una sentencia de tipo \((\mathcal{C}^{\prime}\cup\mathcal{C}_{1},\mathcal{F},\mathcal{R},a)\). Sea \(\widetilde{\mathcal{C}_{1}}=\mathcal{C}_{1}\cup(\mathcal{C}^{\prime}-\mathcal{C})\). Nótese que \(\mathcal{C}\cup\widetilde{\mathcal{C}_{1}}=\mathcal{C}^{\prime}\cup\mathcal{C}_{1}\) por lo cual \((\mathcal{C}\cup\widetilde{\mathcal{C}_{1}},\mathcal{F},\mathcal{R},a)\) es un tipo y cada \(\boldsymbol{\varphi}_{i}\) es una sentencia de tipo \((\mathcal{C}\cup\widetilde{\mathcal{C}_{1}},\mathcal{F},\mathcal{R},a)\). Esto nos dice que \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) cumple (1) de la definición de prueba formal en \((\Sigma,\tau)\). Todos los otros puntos se cumplen en forma directa, excepto los puntos (4)(t) y (4)(u)(i) para los cuales es necesario notar que \(\mathcal{C}\subseteq\mathcal{C}^{\prime}\).
3.51 (Lema del Ínfimo). Sea \(T=(\Sigma,\tau)\) una teoría y supongamos que \(\tau\) tiene una cantidad infinita de nombres de cte que no ocurren en las sentencias de \(\Sigma\). Entonces para cada fórmula \(\varphi=_{d}\varphi(v)\), se tiene que en el álgebra de Lindenbaum \(\mathcal{A}_{T}\): \[[\forall v\varphi(v)]_{T}=\inf(\{[\varphi(t)]_{T}:t\in T_{c}^{\tau}\}).\]
Proof. Haremos primero el caso en que \(v\) no ocurre libremente en \(\varphi\), es decir cuando \(\varphi\) es una sentencia. En este caso tenemos que \(\{[\varphi(t)]_{T}:t\in T_{c}^{\tau}\}=\{[\varphi]_{T}\}\), por lo cual \(\inf(\{[\varphi(t)]_{T}:t\in T_{c}^{\tau}\})=[\varphi]_{T}\). Es decir que debemos probar que \([\forall v\varphi(v)]_{T}=[\varphi]_{T}\). Pero el Axioma Esquema de Cuantificación Vacua nos dice que \((\forall v\varphi\leftrightarrow\varphi)\) es un axioma lógico por lo cual \(T\vdash(\forall v\varphi\leftrightarrow\varphi))\), obteniendo que \([\forall v\varphi(v)]_{T}=[\varphi]_{T}\).
Hagamos ahora el caso en el que \(Li(\varphi)=\{v\}\). Primero veamos que \([\forall v\varphi(v)]_{T}\) es cota inferior del conjunto \(\{[\varphi(t)]_{T}:t\in T_{c}^{\tau}\}\). Por el Lema 3.47 debemos probar que para todo término cerrado \(t\), se da que \(T\vdash(\forall v\varphi(v)\rightarrow\varphi(t))\). Pero esto es fácil ya que \[\begin{array}{cllll} 1. & \forall v\varphi(v) & & & \text{HIPOTESIS}1\\ 2. & \varphi(t) & & & \text{TESIS}1\text{PARTICULARIZACION}(1)\\ 3. & (\forall v\varphi(v)\rightarrow\varphi(t)) & & & \text{CONCLUSION} \end{array}\] es una prueba formal de \((\forall v\varphi(v)\rightarrow\varphi(t))\) en \(T\). Supongamos ahora que \([\psi]_{T}\leq^{T}[\varphi(t)]_{T}\), para todo término cerrado \(t.\) Probaremos que \([\psi]_{T}\leq^{T}[\forall v\varphi(v)]_{T}\). Por hipótesis hay un nombre de cte \(c\in\mathcal{C}\) el cual no ocurre en los elementos de \(\Sigma\cup\{\psi,\varphi(v)\}\). Ya que \([\psi]_{T}\leq^{T}[\varphi(c)]_{T}\), hay una prueba formal \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})=(\boldsymbol{\varphi}_{1}...\boldsymbol{\varphi}_{n},\mathbf{J}_{1}...\mathbf{J}_{n})\) de \(\left(\psi\rightarrow\varphi(c)\right)\) en \(T\). Sean \(c_{1},...,c_{k}\) los nombres de constante auxiliares de \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) (es decir, \((\mathcal{C}\cup\{c_{1},...,c_{k}\},\mathcal{F},\mathcal{R},a))\) es el tipo ambiente de \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\)). Sea \(m\in\mathbf{N}\) tal que \(J_{i}\neq\text{HIPOTESIS}\bar{m}\) para cada \(i=1,...,n\). Nótese que \((\mathcal{C}-\{c\},\mathcal{F},\mathcal{R},a))\) es un tipo y los elementos de \(\Sigma\) son sentencias de este tipo ya que \(c\) no ocurre en las sentencias de \(\Sigma\). O sea que \(T_{r}=(\Sigma,\mathcal{C}-\{c\},\mathcal{F},\mathcal{R},a))\) es una teoría. Veamos que la siguiente es una prueba formal en \(T_{r}\) de \(\left(\psi\rightarrow\forall v\varphi(v)\right)\): \[\begin{array}{rlcl} 1. & \boldsymbol{\varphi}_{1} & & \mathbf{J}_{1}\\ 2. & \boldsymbol{\varphi}_{2} & & \mathbf{J}_{2}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ n. & \boldsymbol{\varphi}_{n}=\left(\psi\rightarrow\varphi(c)\right) & & \mathbf{J}_{n}\\ n+1. & \psi & & \text{HIPOTESIS}\bar{m}\\ n+2. & \varphi(c) & & \text{MODUSPONENS}(\overline{n+1},\bar{n})\\ n+3. & \forall v\varphi(v) & & \text{TESIS}\bar{m}\text{GENERALIZACION}(\overline{n+2})\\ n+4. & \left(\psi\rightarrow\forall v\varphi(v)\right) & & \text{CONCLUSION} \end{array}\] Nótese que nuestra candidata a prueba formal, como objeto matemático es el par \((\boldsymbol{\gamma},\mathbf{K})\) donde \(\boldsymbol{\gamma}\) es la palabra \[\boldsymbol{\varphi}\psi\varphi(c)\forall v\varphi(v)\left(\psi\rightarrow\forall v\varphi(v)\right)\] y \(\mathbf{K}\) es la palabra \[\mathbf{J}\text{HIPOTESIS}\bar{m}\text{MODUSPONENS}(\overline{n+1},\bar{n})\text{TESIS}\bar{m}\text{GENERALIZACION}(\overline{n+2})\text{CONCLUSION}\] Nótese que
adhocprefix(I)adhocsufix \(n(\boldsymbol{\gamma})=n+4=n(\mathbf{K})\)
adhocprefix(II)adhocsufix \(\boldsymbol{\gamma}_{i}=\boldsymbol{\varphi}_{i}\), para \(i\in\{1,...,n\}\), \(\boldsymbol{\gamma}_{n+1}=\psi\), \(\boldsymbol{\gamma}_{n+2}=\varphi(c)\), \(\boldsymbol{\gamma}_{n+3}=\forall v\varphi(v)\) y \(\boldsymbol{\gamma}_{n+4}=(\psi\rightarrow\forall v\varphi(v))\)
adhocprefix(III)adhocsufix \(\boldsymbol{\mathbf{K}}_{i}=\mathbf{J}_{i}\), para \(i\in\{1,...,n\}\), \(\mathbf{J}_{n+1}=\text{HIPOTESIS}\bar{m}\), \(\mathbf{J}_{n+2}=\text{MODUSPONENS}(\overline{n+1},\bar{n})\), \(\mathbf{J}_{n+3}=\text{TESIS}\bar{m}\text{GENERALIZACION}(\overline{n+2})\) y \(\mathbf{J}_{n+4}=\text{CONCLUSION}\)
adhocprefix(IV)adhocsufix \(\mathbf{K}\) es balanceada ya que \(\mathbf{J}\) lo es y \(\mathcal{B}^{\mathbf{K}}=\mathcal{B}^{\mathbf{J}}\cup\{\left\langle n+1,n+3\right\rangle \}\)
Nótese que el tipo \(\tau_{1}\) de la definición de prueba para \((\boldsymbol{\gamma},\mathbf{K})\) puede ser \[\tau_{1}=((\mathcal{C}-\{c\})\cup\{c,c_{1},...,c_{k}\},\mathcal{F},\mathcal{R},a)=(\mathcal{C}\cup\{c_{1},...,c_{k}\},\mathcal{F},\mathcal{R},a))\] (i.e. el tipo ambiente de \((\boldsymbol{\gamma},\mathbf{K})\)). O sea justamente es el tipo ambiente de \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) pero en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) el nombre de cte \(c\) no es auxiliar ya que esta en el tipo de la teoría \(T\) y en cambio \(c\) es un nombre de constante auxiliar de \((\boldsymbol{\gamma},\mathbf{K})\) ya que no pertenece al tipo de la teoría \(T_{r}\). O sea los nombres de constante auxiliares de \((\boldsymbol{\gamma},\mathbf{K})\) son \(c,c_{1},...,c_{k}\). O sea que I y IV nos dicen que \((\boldsymbol{\gamma},\mathbf{K})\) es un par adecuado de tipo \(\tau_{1}\).
Solo nos falta ver que se cumplen (3) y (4) de la definición de prueba formal. Dejamos al lector verificar que se cumple (3). Para chequear que se cumple (4) primero notemos que:
adhocprefix(V)adhocsufix Para \(i,j\in\{1,...,n\}\) se tiene que \(i\) es anterior a \(j\) en \((\boldsymbol{\gamma},\mathbf{K})\) si y solo si \(i\) es anterior a \(j\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) (esto es directo de IV)
adhocprefix(VI)adhocsufix Si \(i,j\in\{1,...,n\}\) entonces \(\boldsymbol{\gamma}_{i}\) es hipótesis de \(\boldsymbol{\gamma}_{j}\) en \((\boldsymbol{\gamma},\mathbf{K})\) si y solo si \(\boldsymbol{\varphi}_{i}\) es hipótesis de \(\boldsymbol{\varphi}_{i}\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) (esto es directo de IV)
adhocprefix(VII)adhocsufix Dadas \(e,d\in\mathcal{C}\cup\{c_{1},...,c_{k}\}\) se tiene que \(e\) depende de \(d\) en \((\boldsymbol{\gamma},\mathbf{K})\) si y solo si \(e\) depende de \(d\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\)
Probemos VII. Sean \(e,d\in\mathcal{C}\cup\{c_{1},...,c_{k}\}\) tales que \(e\) depende directamente de \(d\) en \((\boldsymbol{\gamma},\mathbf{K})\). O sea que hay números \(1\leq l<j\leq n(\boldsymbol{\gamma})=n+4\) tales que
adhocprefix-adhocsufix \(l\) es anterior a \(j\) en \((\boldsymbol{\gamma},\mathbf{K})\)
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{K}_{j}=\alpha\mathrm{ELECCION}(\bar{l})\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\) y \((\boldsymbol{\gamma}_{l},\boldsymbol{\gamma}_{j})\in Elec^{\tau_{1}}\) vía \(e\)
adhocprefix-adhocsufix \(d\) ocurre en \(\boldsymbol{\gamma}_{l}\).
Ya que \(\mathbf{K}_{j}=\alpha\mathrm{ELECCION}(\bar{l})\), III nos dice que \(j\leq n\) y por lo tanto \(l\leq n\). Usando V, III y II obtenemos que
adhocprefix-adhocsufix \(l\) es anterior a \(j\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\)
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{J}_{j}=\alpha\mathrm{ELECCION}(\bar{l})\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\) y \((\boldsymbol{\varphi}_{l},\boldsymbol{\varphi}_{j})\in Elec^{\tau_{1}}\) vía \(e\)
adhocprefix-adhocsufix \(d\) ocurre en \(\boldsymbol{\varphi}_{l}\).
lo cual nos dice que \(e\) depende directamente de \(d\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\). Similarmente podemos probar que si \(e\) depende directamente de \(d\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\), entonces \(e\) depende directamente de \(d\) en \((\boldsymbol{\gamma},\mathbf{K})\). Por supuesto esto ya alcanza para probar VII.
Ahora sí, veamos que se cumple (4) de la definición de prueba formal. Para cada \(i=1,...,n+4\) debemos probar que se cumple alguna de las propiedades (a), (b), (c), ..., (u) de (4) de la definición de prueba. Primero supongamos \(i\in\{1,...,n\}\). Ya que \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) cumple (4) tenemos que se cumple alguna de las propiedades (a), (b), (c), ...., (u), con respecto a la prueba \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\). Por ejemplo supongamos se cumple (f) con respecto a la prueba \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\). Entonces tenemos que \(\mathbf{J}_{i}=\alpha\mathrm{COMMUTATIVIDAD}(\bar{l})\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\), \(l\) anterior a \(i\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) y \((\boldsymbol{\varphi}_{l},\boldsymbol{\varphi}_{i})\in Commut^{\tau_{1}}\). Pero ya que \(\mathbf{K}_{i}=\mathbf{J}_{i}\), \(\boldsymbol{\varphi}_{l}=\boldsymbol{\gamma}_{l}\text{ y }\boldsymbol{\varphi}_{i}=\boldsymbol{\gamma}_{i}\), V nos dice que
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{K}_{i}=\alpha\mathrm{COMMUTATIVIDAD}(\bar{l})\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\), \(l\) anterior a \(i\) en \((\boldsymbol{\gamma},\mathbf{K})\) y \((\boldsymbol{\gamma}_{l},\boldsymbol{\gamma}_{i})\in Commut^{\tau_{1}}\)(recordar que \(\tau_{1}\) es el tipo ambiente de \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) y \((\boldsymbol{\gamma},\mathbf{K})\))
lo cual nos dice que se cumple (f) con respecto a \((\boldsymbol{\gamma},\mathbf{K})\). Supongamos ahora se cumple (t) respecto de la prueba \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\). Es decir \(\mathbf{J}_{i}=\alpha\mathrm{ELECCION}(\bar{l})\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\), \(l\) anterior a \(i\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) y \((\boldsymbol{\varphi}_{l},\boldsymbol{\varphi}_{i})\in Elec^{\tau_{1}}\) vía un nombre de cte \(e\), el cual no pertenece a \(\mathcal{C}\) y no ocurre en \(\boldsymbol{\varphi}_{1},...,\boldsymbol{\varphi}_{i-1}\). Ya que \(\mathbf{K}_{i}=\mathbf{J}_{i}\) y \(\boldsymbol{\gamma}_{j}=\boldsymbol{\varphi}_{j}\), para \(j\in\{1,...,n\}\), V nos dice que
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{K}_{i}=\alpha\mathrm{ELECCION}(\bar{l})\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\), \(l\) anterior a \(i\) en \((\boldsymbol{\gamma},\mathbf{K})\) y \((\boldsymbol{\gamma}_{l},\boldsymbol{\gamma}_{i})\in Elec^{\tau_{1}}\) vía un nombre de cte \(e\), el cual no pertenece a \(\mathcal{C}-\{c\}\) y no ocurre en \(\boldsymbol{\gamma}_{1},...,\boldsymbol{\gamma}_{i-1}\).
O sea que se cumple (t) con respecto a \((\boldsymbol{\gamma},\mathbf{K})\). La prueba de los otros casos es similar, salvo el caso (u). Supongamos entonces que se cumple (u) respecto de la prueba \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) y veamos que entonces también se cumple (u) respecto de \((\boldsymbol{\gamma},\mathbf{K})\). O sea que sabemos que \(\mathbf{J}_{i}=\alpha\mathrm{GENERALIZACION}(\bar{l})\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\), \(l\) anterior a \(i\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) y \((\boldsymbol{\varphi}_{l},\boldsymbol{\varphi}_{i})\in Generaliz^{\tau_{1}}\) vía un nombre de cte \(d\) el cual cumple:
adhocprefix(i)adhocsufix \(d\not\in\mathcal{C}\)
adhocprefix(ii)adhocsufix Para cada \(u\in\{1,...,n\}\), si \(\mathbf{J}_{u}=\alpha\mathrm{ELECCION}(\bar{v})\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\) y \(v\) anterior a \(u\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\), entonces no se da que \((\boldsymbol{\varphi}_{v},\boldsymbol{\varphi}_{u})\in Elec^{\tau_{1}}\) vía \(d\).
adhocprefix(iii)adhocsufix Para cada \(u\in\{1,...,n\}\), si \(\boldsymbol{\varphi}_{u}\) es hipótesis de \(\boldsymbol{\varphi}_{l}\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\), entonces \(d\) no ocurre en \(\boldsymbol{\varphi}_{u}\)
adhocprefix(iv)adhocsufix Ningún nombre de constante que ocurra en \(\boldsymbol{\varphi}_{l}\) depende de \(d\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\)
adhocprefix(v)adhocsufix Para cada \(u\in\{1,...,n\}\), si \(\boldsymbol{\varphi}_{u}\) es hipótesis de \(\boldsymbol{\varphi}_{l}\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\), entonces ningún nombre de constante que ocurra en \(\boldsymbol{\varphi}_{u}\) depende de \(d\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\)
Usando entonces las propiedades ya probadas es fácil ver que \(\mathbf{K}_{i}=\alpha\mathrm{GENERALIZACION}(\bar{l})\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\), \(l\) anterior a \(i\) en \((\boldsymbol{\gamma},\mathbf{K})\) y \((\boldsymbol{\gamma}_{l},\boldsymbol{\gamma}_{i})\in Generaliz^{\tau_{1}}\) vía un nombre de cte \(d\) el cual cumple:
adhocprefix(i)’adhocsufix \(d\not\in\mathcal{C}-\{c\}\)
adhocprefix(ii)’adhocsufix Para cada \(u\in\{1,...,n\}\), si \(\mathbf{K}_{u}=\alpha\mathrm{ELECCION}(\bar{v})\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\) y \(v\) anterior a \(u\) en \((\boldsymbol{\gamma},\mathbf{K})\), entonces no se da que \((\boldsymbol{\gamma}_{v},\boldsymbol{\gamma}_{u})\in Elec^{\tau_{1}}\) vía \(d\).
adhocprefix(iii)’adhocsufix Para cada \(u\in\{1,...,n\}\), si \(\boldsymbol{\gamma}_{u}\) es hipótesis de \(\boldsymbol{\gamma}_{l}\) en \((\boldsymbol{\gamma},\mathbf{K})\), entonces \(d\) no ocurre en \(\boldsymbol{\gamma}_{u}\)
adhocprefix(iv)’adhocsufix Ningún nombre de constante que ocurra en \(\boldsymbol{\gamma}_{l}\) depende de \(d\) en \((\boldsymbol{\gamma},\mathbf{K})\)
adhocprefix(v)’adhocsufix Para cada \(u\in\{1,...,n\}\), si \(\boldsymbol{\gamma}_{u}\) es hipótesis de \(\boldsymbol{\gamma}_{l}\) en \((\boldsymbol{\gamma},\mathbf{K})\), entonces ningún nombre de constante que ocurra en \(\boldsymbol{\gamma}_{u}\) depende de \(d\) en \((\boldsymbol{\gamma},\mathbf{K})\)
Nótese que hemos “casi” probado que se cumple (u) respecto de \((\boldsymbol{\gamma},\mathbf{K})\) ya que deberíamos tener \(n+4\) en lugar de \(n\) en las propiedades (ii)’, (iii)’ y (v)’. Pero nótese que podemos poner \(n+4\) en lugar de \(n\) en dichas propiedades y se seguirán cumpliendo. Por ejemplo si \(\mathbf{K}_{u}=\alpha\mathrm{ELECCION}(\bar{v})\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\), entonces \(u\leq n\) (por como son \(\mathbf{K}_{n+1},...,\mathbf{K}_{n+4}\)) y por lo tanto en (ii)’ es irrelevante reemplazar \(n\) por \(n+4\). Además si \(\boldsymbol{\gamma}_{u}\) es hipótesis de \(\boldsymbol{\gamma}_{l}\) en \((\boldsymbol{\gamma},\mathbf{K})\), entonces \(u\leq l<i\leq n\) por lo cual en (iii)’ y (v)’ es irrelevante reemplazar \(n\) por \(n+4\). Ahora sí hemos probado que se cumple (u) respecto de \((\boldsymbol{\gamma},\mathbf{K})\).
Nos falta ver que para \(i\in\{n+1,n+2,n+3,n+4\}\) se cumple alguna de las propiedades (a), (b), (c), ..., (u) de (4) de la definición de prueba, respecto de \((\boldsymbol{\gamma},\mathbf{K})\). Cuando \(i\in\{n+1,n+2,n+4\}\) es fácil y dejado al lector. Veamos el caso \(i=n+3\). Veremos que se da (u). Es claro que \(\mathbf{K}_{i}=\text{TESIS}\bar{m}\text{GENERALIZACION}(\overline{n+2})\), que \(n+2\) es anterior a \(i\) en \((\boldsymbol{\gamma},\mathbf{K})\) y que \((\boldsymbol{\gamma}_{n+2},\boldsymbol{\gamma}_{i})\in Generaliz^{\tau_{1}}\) vía el nombre de cte \(c\). Nos faltaría ver entonces que:
adhocprefix(i)”adhocsufix \(c\not\in\mathcal{C}-\{c\}\)
adhocprefix(ii)”adhocsufix Para cada \(u\in\{1,...,n+4\}\), si \(\mathbf{K}_{u}=\alpha\mathrm{ELECCION}(\bar{v})\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\) y \(v\) anterior a \(u\) en \((\boldsymbol{\gamma},\mathbf{K})\), entonces no se da que \((\boldsymbol{\gamma}_{v},\boldsymbol{\gamma}_{u})\in Elec^{\tau_{1}}\) vía \(c\).
adhocprefix(iii)”adhocsufix Para cada \(u\in\{1,...,n+4\}\), si \(\boldsymbol{\gamma}_{u}\) es hipótesis de \(\boldsymbol{\gamma}_{n+2}\) en \((\boldsymbol{\gamma},\mathbf{K})\), entonces \(c\) no ocurre en \(\boldsymbol{\gamma}_{u}\)
adhocprefix(iv)”adhocsufix Ningún nombre de constante que ocurra en \(\boldsymbol{\gamma}_{n+2}\) depende de \(c\) en \((\boldsymbol{\gamma},\mathbf{K})\)
adhocprefix(v)”adhocsufix Para cada \(u\in\{1,...,n+4\}\), si \(\boldsymbol{\gamma}_{u}\) es hipótesis de \(\boldsymbol{\gamma}_{n+2}\) en \((\boldsymbol{\gamma},\mathbf{K})\), entonces ningún nombre de constante que ocurra en \(\boldsymbol{\gamma}_{u}\) depende de \(c\) en \((\boldsymbol{\gamma},\mathbf{K})\)
Obviamente se cumple (i)”. Veamos que se cumple (ii)”. Supongamos entonces \(\mathbf{K}_{u}=\alpha\mathrm{ELECCION}(\bar{v})\), con \(u\in\{1,...,n+4\}\), \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\) y \(v\) anterior a \(u\) en \((\boldsymbol{\gamma},\mathbf{K})\). Note que \(u\leq n\) por lo cual también \(v\leq n\). O sea que por las propiedades ya probadas tenemos que \(\mathbf{J}_{u}=\alpha\mathrm{ELECCION}(\bar{v})\), con \(\alpha\in\{\varepsilon\}\cup\{\mathrm{TESIS}\bar{k}:k\in\mathbf{N}\}\) y \(v\) anterior a \(u\) en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\). Pero entonces ya que \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) es una prueba formal, debe darse que \((\boldsymbol{\varphi}_{v},\boldsymbol{\varphi}_{u})\in Elec^{\tau_{1}}\) vía un nombre de cte \(e\), el cual no pertenece a \(\mathcal{C}\) y no ocurre en \(\boldsymbol{\varphi}_{1},...,\boldsymbol{\varphi}_{u-1}\). Ya que \(c\) no es igual a \(e\), tenemos que no se da \((\boldsymbol{\varphi}_{v},\boldsymbol{\varphi}_{u})\in Elec^{\tau_{1}}\) vía \(c\), por lo cual no se da \((\boldsymbol{\gamma}_{v},\boldsymbol{\gamma}_{u})\in Elec^{\tau_{1}}\) vía \(c\). Para probar (iii)” note que si \(\boldsymbol{\gamma}_{u}\) es hipótesis de \(\boldsymbol{\gamma}_{n+2}\) en \((\boldsymbol{\gamma},\mathbf{K})\), entonces \(u=n+1\). O sea que \(\boldsymbol{\gamma}_{u}=\psi\) y claramente entonces \(c\) no ocurre en \(\boldsymbol{\gamma}_{u}\). Para probar (iv)” y (v)” nótese que los nombres de cte que ocurren en \(\boldsymbol{\gamma}_{n+2}\) o en hipótesis de \(\boldsymbol{\gamma}_{n+2}\) en \((\boldsymbol{\gamma},\mathbf{K})\) pertenecen todos a \(\mathcal{C}\), por lo cual no dependen de ningún otro nombre de cte en \((\boldsymbol{\gamma},\mathbf{K})\) ya que no dependen de ningún nombre de cte en \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\).
O sea que ya probamos que \((\boldsymbol{\gamma},\mathbf{K})\) es una prueba por lo cual tenemos que \(T_{r}\vdash\left(\psi\rightarrow\forall v\varphi(v)\right)\). Por el Lema 3.50 tenemos entonces que \(T\vdash\left(\psi\rightarrow\forall v\varphi(v)\right)\), lo cual nos dice que \([\psi]_{T}\leq^{T}[\forall v\varphi(v)]_{T}\).
Para entender la prueba del siguiente resultado es conveniente que el lector repase el final de la Sección Ordenes Naturales sobre \(\Sigma^{*}\) donde dado un orden total \(\leq\) para un alfabeto \(\Sigma\) se define un orden total sobre \(\Sigma^{*}\) el cual extiende a \(\leq\) (y es llamado el orden total de \(\Sigma^{*}\) inducido por \(\leq\)).
3.52 (Lema de Enumeración). Sea \(\tau\) un tipo. Hay una infinitupla \((\gamma_{1},\gamma_{2},...)\in F^{\tau\mathbf{N}}\) tal que:
adhocprefix(1)adhocsufix \(\left\vert Li(\gamma_{j})\right\vert \leq1\), para cada \(j=1,2,...\)
adhocprefix(2)adhocsufix Si \(\left\vert Li(\gamma)\right\vert \leq1\), entonces \(\gamma=\gamma_{j}\), para algún \(j\in\mathbf{N}\)
Proof. Sea \(\Sigma_{\tau}\) el alfabeto finito formado por todos los símbolos que ocurren en alguna palabra de \(\mathcal{C}\cup\mathcal{F}\cup\mathcal{R}\) junto con los símbolos \[\forall\ \ \exists\ \ \lnot\ \ \vee\ \ \wedge\ \ \rightarrow\ \ \leftrightarrow\ \ (\ \ )\ \ ,\ \ \equiv\ \ \mathsf{X}\ \ \mathit{0}\ \ \mathit{1}\ \ ...\ \ \mathit{9}\ \ \mathbf{0}\ \ \mathbf{1}\ \ ...\ \ \mathbf{9}\] Nótese que el conjunto \(F^{\tau}\) es \(\Sigma_{\tau}\)-mixto. Sea \(\leq\) un orden total sobre \(\Sigma_{\tau}\). Sea \(L=\{\alpha\in F^{\tau}:\left\vert Li(\alpha)\right\vert \leq1\}\). Definamos para \(t\in\mathbf{N}\), \[\gamma_{t}=t\mathrm{\text{-}esimo}\text{ }\mathrm{elemento\text{ }de}\text{ }L\text{ }\mathrm{con\text{ }respecto\text{ }al\text{ }orden\text{ }total\text{ }de\text{ }}\Sigma_{\tau}^{*}\text{ }\mathrm{inducido\text{ }por}\text{ }\leq\] Nótese que \[\begin{aligned} \gamma_{1} & =\text{menor }\alpha\in F^{\tau}\text{ tal que }\left\vert Li(\alpha)\right\vert \leq1\\ \gamma_{t+1} & =\text{menor }\alpha\in F^{\tau}\text{ tal que }\left\vert Li(\alpha)\right\vert \leq1\text{ y }\alpha\notin\{\gamma_{1},...,\gamma_{t}\} \end{aligned}\] Claramente entonces la infinitupla \((\gamma_{1},\gamma_{2},...)\) cumple (1) y (2).
Observación: Cuando los conjuntos \(\mathcal{C},\mathcal{F}\text{ y }\mathcal{R}\) son \(\Sigma_{\tau}\)-efectivamente computables y la función \(a:\mathcal{F}\cup\mathcal{R}\rightarrow\mathbf{N}\) es \(\Sigma_{\tau}\)-efectivamente computable (esto sucede por ejemplo cuando los conjuntos \(\mathcal{C},\mathcal{F}\text{ y }\mathcal{R}\) son finitos), el conjunto \(F^{\tau}\) es \(\Sigma_{\tau}\)-efectivamente computable y por supuesto también lo es \(\{\alpha\in F^{\tau}:\left\vert Li(\alpha)\right\vert \leq1\}\). Dejamos al lector convencerse de esto y también de que en tal caso la función \(f:\mathbf{N}\rightarrow F^{\tau}\)dada por \(f(t)=\gamma_{t}\) es \(\Sigma_{\tau}\)-efectivamente computable. También se podría probar, usando las técnicas dadas en la Sección Análisis de Recursividad del Lenguaje de Primer Orden, que si \(\mathcal{C},\mathcal{F}\text{ y }\mathcal{R}\) son conjuntos \(\Sigma_{\tau}\)-p.r. y \(a\) es una función \(\Sigma_{\tau}\)-p.r., entonces \(f\) es \(\Sigma_{\tau}\)-p.r..
Ahora sí, el famoso resultado de Godel.
3.8 (Teorema de Completitud). Sea \(T=(\Sigma,\tau)\) una teoría de primer orden. Si \(T\models\varphi\), entonces \(T\vdash\varphi\).
Proof. Primero probaremos completitud para el caso en que \(\tau\) tiene una cantidad infinita de nombres de cte que no ocurren en las sentencias de \(\Sigma\). Lo probaremos por el absurdo, es decir supongamos que hay una sentencia \(\varphi_{0}\) tal que \(T\models\varphi_{0}\) y \(T\not\vdash\varphi_{0}\). Nótese que ya que \(T\not\vdash\varphi_{0}\), tenemos que \([\varphi_{0}]_{T}\neq1^{T}=\{\varphi\in S^{\tau}:T\vdash\varphi\}\). O sea que \([\lnot\varphi_{0}]_{T}\not=0^{T}\). Por el lema anterior hay una infinitupla \((\gamma_{1},\gamma_{2},...)\in F^{\tau\mathbf{N}}\) tal que:
adhocprefix-adhocsufix \(\left\vert Li(\gamma_{j})\right\vert \leq1\), para cada \(j=1,2,...\)
adhocprefix-adhocsufix Si \(\left\vert Li(\gamma)\right\vert \leq1\), entonces \(\gamma=\gamma_{j}\), para algún \(j\in\mathbf{N}\)
Para cada \(j\in\mathbf{N}\), sea \(w_{j}\in Var\) tal que \(Li(\gamma_{j})\subseteq\{w_{j}\}\). Para cada \(j\), declaremos \(\gamma_{j}=_{d}\gamma_{j}(w_{j})\). Nótese que por el Lema 3.51 tenemos que \(\inf(\{[\gamma_{j}(t)]_{T}:t\in T_{c}^{\tau}\})=[\forall w_{j}\gamma_{j}(w_{j})]_{T}\), para cada \(j=1,2,...\). Por el Teorema de Rasiowa y Sikorski tenemos que hay un filtro primo \(\mathcal{U}\) de \(\mathcal{A}_{T}\), el cual cumple:
adhocprefix(a)adhocsufix \([\lnot\varphi_{0}]_{T}\in\mathcal{U}\)
adhocprefix(b)adhocsufix Para cada \(j\in\mathbf{N}\), \(\{[\gamma_{j}(t)]_{T}:t\in T_{c}^{\tau}\}\subseteq\mathcal{U}\) implica que \([\forall w_{j}\gamma_{j}(w_{j})]_{T}\in\mathcal{U}\)
Ya que la infinitupla \((\gamma_{1},\gamma_{2},...)\) cubre todas las fórmulas con a lo sumo una variable libre, podemos reescribir la propiedad (b) de la siguiente manera
adhocprefix(b)\(^{\prime}\)adhocsufix Para cada \(\varphi=_{d}\varphi(v)\in F^{\tau}\), si \(\{[\varphi(t)]_{T}:t\in T_{c}^{\tau}\}\subseteq\mathcal{U}\) entonces \([\forall v\varphi(v)]_{T}\in\mathcal{U}\)
Definamos sobre \(T_{c}^{\tau}\) la siguiente relación: \[t\bowtie s\text{ si y solo si }[(t\equiv s)]_{T}\in\mathcal{U}\text{.}\] Veamos entonces que:
adhocprefix(1)adhocsufix \(\bowtie\) es de equivalencia.
adhocprefix(2)adhocsufix Para cada \(\varphi=_{d}\varphi(v_{1},...,v_{n})\in F^{\tau}\), \(t_{1},...,t_{n},s_{1},...,s_{n}\in T_{c}^{\tau}\), si \(t_{1}\bowtie s_{1}\), \(t_{2}\bowtie s_{2}\), \(...\), \(t_{n}\bowtie s_{n}\), entonces \([\varphi(t_{1},...,t_{n})]_{T}\in\mathcal{U}\) si y solo si \([\varphi(s_{1},...,s_{n})]_{T}\in\mathcal{U}\).
adhocprefix(3)adhocsufix Para cada \(f\in\mathcal{F}_{n}\), \(t_{1},...,t_{n},s_{1},...,s_{n}\in T_{c}^{\tau}\), \[t_{1}\bowtie s_{1},t_{2}\bowtie s_{2},...,\;t_{n}\bowtie s_{n}\text{ implica }f(t_{1},...,t_{n})\bowtie f(s_{1},...,s_{n}).\]
Probaremos (2). Nótese que \[T\vdash\left((t_{1}\equiv s_{1})\wedge(t_{2}\equiv s_{2})\wedge...\wedge(t_{n}\equiv s_{n})\wedge\varphi(t_{1},...,t_{n})\right)\rightarrow\varphi(s_{1},...,s_{n})\] lo cual nos dice que \[[(t_{1}\equiv s_{1})]_{T}\;\mathsf{i}^{T}\mathsf{\;}[(t_{2}\equiv s_{2})]_{T}\;\mathsf{i}^{T}\mathsf{\;}...\;\mathsf{i}^{T}\mathsf{\;}[(t_{n}\equiv s_{n})]_{T}\;\mathsf{i}^{T}\mathsf{\;}[\varphi(t_{1},...,t_{n})]_{T}\leq^{T}[\varphi(s_{1},...,s_{n})]_{T}\] de lo cual se desprende que \[[\varphi(t_{1},...,t_{n})]_{T}\in\mathcal{U}\text{ implica }[\varphi(s_{1},...,s_{n})]_{T}\in\mathcal{U}\] ya que \(\mathcal{U}\) es un filtro. La otra implicación es análoga.
Para probar (3) podemos tomar \(\varphi=\left(f(v_{1},...,v_{n})\equiv f(s_{1},...,s_{n})\right)\) y aplicar (2).
Definamos ahora un modelo \(\mathbf{A}_{\mathcal{U}}\) de tipo \(\tau\) de la siguiente manera:
adhocprefix-adhocsufix Universo de \(\mathbf{A}_{\mathcal{U}}=T_{c}^{\tau}/\mathrm{\bowtie}\)
adhocprefix-adhocsufix \(c^{\mathbf{A}_{\mathcal{U}}}=c/\mathrm{\bowtie}\), para cada \(c\in\mathcal{C}\).
adhocprefix-adhocsufix \(f^{\mathbf{A}_{\mathcal{U}}}(t_{1}/\mathrm{\bowtie},...,t_{n}/\mathrm{\bowtie})=f(t_{1},...,t_{n})/\mathrm{\bowtie}\), para cada \(f\in\mathcal{F}_{n}\), \(t_{1},...,t_{n}\in T_{c}^{\tau}\;\)
adhocprefix-adhocsufix \(r^{\mathbf{A}_{\mathcal{U}}}=\{(t_{1}/\mathrm{\bowtie},...,t_{n}/\mathrm{\bowtie}):[r(t_{1},...,t_{n})]_{T}\in\mathcal{U}\}\), para cada \(r\in\mathcal{R}_{n}\).
Nótese que la definición de \(f^{\mathbf{A}_{\mathcal{U}}}\) es inambigua por (3). Probaremos las siguientes propiedades básicas:
adhocprefix(4)adhocsufix Para cada \(t=_{d}t(v_{1},...,v_{n})\in T^{\tau}\), \(t_{1},...,t_{n}\in T_{c}^{\tau}\), tenemos que \[t^{\mathbf{A}_{\mathcal{U}}}[t_{1}/\mathrm{\bowtie},...,t_{n}/\mathrm{\bowtie}]=t(t_{1},...,t_{n})/\mathrm{\bowtie}\]
adhocprefix(5)adhocsufix Para cada \(\varphi=_{d}\varphi(v_{1},...,v_{n})\in F^{\tau}\), \(t_{1},...,t_{n}\in T_{c}^{\tau}\), tenemos que \[\mathbf{A}_{\mathcal{U}}\models\varphi[t_{1}/\mathrm{\bowtie},...,t_{n}/\mathrm{\bowtie}]\text{ si y solo si }[\varphi(t_{1},...,t_{n})]_{T}\in\mathcal{U}.\]
Para probar (4) usaremos la Regla de Inducción desde 0. Para cada \(k\in\omega\) sea \(\mathrm{Enu}_{k}\) el siguiente enunciado:
adhocprefix\(\mathrm{Enu}_{k}\):adhocsufix Para cada \(t=_{d}t(v_{1},...,v_{n})\in T_{k}^{\tau}\), \(t_{1},...,t_{n}\in T_{c}^{\tau}\), tenemos que \[t^{\mathbf{A}_{\mathcal{U}}}[t_{1}/\mathrm{\bowtie},...,t_{n}/\mathrm{\bowtie}]=t(t_{1},...,t_{n})/\mathrm{\bowtie}\]
Hagamos entonces lo que nos encomienda la Regla de Inducción desde \(0\).
Prueba de que \(\mathrm{Enu}_{0}\) es verdadero. Trivial.
Prueba de que si \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero entonces \(\mathrm{Enu}_{k+1}\) lo es. Supongamos entonces que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\). Supongamos \(t=_{d}t(v_{1},...,v_{n})\in T_{k+1}^{\tau}\) y sean \(t_{1},...,t_{n}\in T_{c}^{\tau}\). Por el Lema de Lectura Única de Términos Declarados, hay varios casos:
Caso \(t\in\{v_{1},...,v_{n}\}\). Trivial.
Caso \(t\in\mathcal{C}\). Trivial.
Caso \(t=f(s_{1},...,s_{m})\), con \(f\in\mathcal{F}_{m}\), \(m\geq1\) y \(s_{1},...,s_{m}\in T_{k}^{\tau}\). Dado a que hemos declarado \(t=_{d}t(v_{1},...,v_{n})\), por la Convención Notacional 3, tenemos declarados también \(s_{1}=_{d}s_{1}(v_{1},...,v_{n}),...,s_{m}=_{d}s_{m}(v_{1},...,v_{n})\). O sea que \(\mathrm{Enu}_{k}\) nos dice que \(s_{i}^{\mathbf{A}_{\mathcal{U}}}[t_{1}/\mathrm{\bowtie},...,t_{n}/\mathrm{\bowtie}]=s_{i}(t_{1},...,t_{n})/\mathrm{\bowtie}\), para \(i=1,...,m\). Tenemos entonces que \[\begin{aligned} t^{\mathbf{A}_{\mathcal{U}}}[t_{1}/\mathrm{\bowtie},...,t_{n}/\mathrm{\bowtie}] & =f^{\mathbf{A}_{\mathcal{U}}}(s_{1}^{\mathbf{A}_{\mathcal{U}}}[t_{1}/\mathrm{\bowtie},...,t_{n}/\mathrm{\bowtie}],...,s_{m}^{\mathbf{A}_{\mathcal{U}}}[t_{1}/\mathrm{\bowtie},...,t_{n}/\mathrm{\bowtie}])\\ & =f^{\mathbf{A}_{\mathcal{U}}}(s_{1}(t_{1},...,t_{n})/\mathrm{\bowtie},...,s_{m}(t_{1},...,t_{n})/\mathrm{\bowtie})\\ & =f(s_{1}(t_{1},...,t_{n}),...,s_{m}(t_{1},...,t_{n}))/\mathrm{\bowtie}\\ & =t(t_{1},...,t_{n})/\mathrm{\bowtie} \end{aligned}\]
Para probar (5) tambien usaremos la Regla de Inducción desde 0. Para cada \(k\in\omega\) sea \(\mathrm{Enu}_{k}\) el siguiente enunciado:
adhocprefix\(\mathrm{Enu}_{k}\):adhocsufix Para cada \(\varphi=_{d}\varphi(v_{1},...,v_{n})\in F_{k}^{\tau}\), \(t_{1},...,t_{n}\in T_{c}^{\tau}\), tenemos que \[\mathbf{A}_{\mathcal{U}}\models\varphi[t_{1}/\mathrm{\bowtie},...,t_{n}/\mathrm{\bowtie}]\text{ si y solo si }[\varphi(t_{1},...,t_{n})]_{T}\in\mathcal{U}.\]
Hagamos entonces lo que nos encomienda la Regla de Inducción desde \(0\).
Prueba de que \(\mathrm{Enu}_{0}\) es verdadero. Dejada al lector.
Prueba de que si \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero entonces \(\mathrm{Enu}_{k+1}\) lo es. Supongamos entonces que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\). Supongamos \(\varphi=_{d}\varphi(v_{1},...,v_{n})\in F_{k+1}^{\tau}\) y \(t_{1},...,t_{n}\in T_{c}^{\tau}\). Por el Lema de Lectura Única de Fórmulas Declaradas hay varios casos:
Caso \(\varphi=\left(\varphi_{1}\vee\varphi_{2}\right)\), con \(\varphi_{1},\varphi_{2}\in F_{k}^{\tau}\). Nótese que por la Convención Notacional 6, tenemos que \(\varphi_{i}=_{d}\varphi_{i}(v_{1},...,v_{n})\), \(i=1,2\). Ya que \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero tenemos que \[\mathbf{A}_{\mathcal{U}}\models\varphi_{i}[t_{1}/\mathrm{\bowtie},...,t_{n}/\mathrm{\bowtie}]\text{ si y solo si }[\varphi_{i}(t_{1},...,t_{n})]_{T}\in\mathcal{U}\] para \(i=1,2\). Tenemos entonces \[\begin{array}{c} \mathbf{A}_{\mathcal{U}}\models\varphi[t_{1}/\mathrm{\bowtie},...,t_{n}/\mathrm{\bowtie}]\\ \Updownarrow\\ \mathbf{A}_{\mathcal{U}}\models\varphi_{1}[t_{1}/\mathrm{\bowtie},...,t_{n}/\mathrm{\bowtie}]\text{ o }\mathbf{A}_{\mathcal{U}}\models\varphi_{2}[t_{1}/\mathrm{\bowtie},...,t_{n}/\mathrm{\bowtie}]\\ \Updownarrow\\{} [\varphi_{1}(t_{1},...,t_{n})]_{T}\in\mathcal{U}\text{ o }[\varphi_{2}(t_{1},...,t_{n})]_{T}\in\mathcal{U}\\ \Updownarrow\\{} [\varphi_{1}(t_{1},...,t_{n})]_{T}\ \mathsf{s}^{T}\mathsf{\ }[\varphi_{2}(t_{1},...,t_{n})]_{T}\in\mathcal{U}\\ \Updownarrow\\{} [\left(\varphi_{1}(t_{1},...,t_{n})\vee\varphi_{2}(t_{1},...,t_{n})\right)]_{T}\in\mathcal{U}\\ \Updownarrow\\{} [\varphi(t_{1},...,t_{n})]_{T}\in\mathcal{U}. \end{array}\] Caso \(\varphi=\forall v\varphi_{1}\), con \(\varphi_{1}\in F_{k}^{\tau}\) y \(v\in Var-\{v_{1},...,v_{n}\}\). Nótese que por la Convención Notacional 6, tenemos que \(\varphi_{1}=_{d}\varphi_{1}(v_{1},...,v_{n},v)\). Ya que \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero tenemos que para cada \(t\in T_{c}^{\tau}\) \[\mathbf{A}_{\mathcal{U}}\models\varphi_{1}[t_{1}/\mathrm{\bowtie},...,t_{n}/\mathrm{\bowtie},t/\mathrm{\bowtie}]\text{ si y solo si }[\varphi_{1}(t_{1},...,t_{n},t)]_{T}\in\mathcal{U}\] Tenemos entonces \[\begin{array}{c} \mathbf{A}_{\mathcal{U}}\models\varphi[t_{1}/\mathrm{\bowtie},...,t_{n}/\mathrm{\bowtie}]\\ \Updownarrow\\ \mathbf{A}_{\mathcal{U}}\models\varphi_{1}[t_{1}/\mathrm{\bowtie},...,t_{n}/\mathrm{\bowtie},t/\mathrm{\bowtie}]\text{, para todo }t\in T_{c}^{\tau}\\ \Updownarrow\\{} [\varphi_{1}(t_{1},...,t_{n},t)]_{T}\in\mathcal{U}\text{, para todo }t\in T_{c}^{\tau}\\ \Updownarrow\\{} [\forall v\varphi_{1}(t_{1},...,t_{n},v)]_{T}\in\mathcal{U}\\ \Updownarrow\\{} [\varphi(t_{1},...,t_{n})]_{T}\in\mathcal{U}. \end{array}\] Caso \(\varphi=\exists v\varphi_{1}\), con \(\varphi_{1}\in F_{k}^{\tau}\) y \(v\in Var-\{v_{1},...,v_{n}\}\). Nótese que por la Convención Notacional 6, tenemos que \(\varphi_{1}=_{d}\varphi_{1}(v_{1},...,v_{n},v)\). Ya que \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero tenemos que para cada \(t\in T_{c}^{\tau}\) \[\mathbf{A}_{\mathcal{U}}\models\varphi_{1}[t_{1}/\mathrm{\bowtie},...,t_{n}/\mathrm{\bowtie},t/\mathrm{\bowtie}]\text{ si y solo si }[\varphi_{1}(t_{1},...,t_{n},t)]_{T}\in\mathcal{U}\] Tenemos entonces \[\begin{array}{c} \mathbf{A}_{\mathcal{U}}\models\varphi[t_{1}/\mathrm{\bowtie},...,t_{n}/\mathrm{\bowtie}]\\ \Updownarrow\\ \mathbf{A}_{\mathcal{U}}\models\varphi_{1}[t_{1}/\mathrm{\bowtie},...,t_{n}/\mathrm{\bowtie},t/\mathrm{\bowtie}]\text{, para algún }t\in T_{c}^{\tau}\\ \Updownarrow\\{} [\varphi_{1}(t_{1},...,t_{n},t)]_{T}\in\mathcal{U}\text{, para algún }t\in T_{c}^{\tau}\\ \Updownarrow\\ ([\varphi_{1}(t_{1},...,t_{n},t)]_{T})^{\mathsf{c}^{T}}\not\in\mathcal{U}\text{, para algún }t\in T_{c}^{\tau}\\ \Updownarrow\\{} [\lnot\varphi_{1}(t_{1},...,t_{n},t)]_{T}\not\in\mathcal{U}\text{, para algún }t\in T_{c}^{\tau}\\ \Updownarrow\\{} [\forall v\;\lnot\varphi_{1}(t_{1},...,t_{n},v)]_{T}\not\in\mathcal{U}\\ \Updownarrow\\ ([\forall v\;\lnot\varphi_{1}(t_{1},...,t_{n},v)]_{T})^{\mathsf{c}^{T}}\in\mathcal{U}\\ \Updownarrow\\{} [\lnot\forall v\;\lnot\varphi_{1}(t_{1},...,t_{n},v)]_{T}\in\mathcal{U}\\ \Updownarrow\\{} [\varphi(t_{1},...,t_{n})]_{T}\in\mathcal{U}. \end{array}\] Los otros casos son dejados al lector.
Pero ahora nótese que (5) en particular nos dice que para cada sentencia \(\psi\in S^{\tau}\), \(\mathbf{A}_{\mathcal{U}}\models\psi\) si y solo si \([\psi]_{T}\in\mathcal{U}.\) De esta forma llegamos a que \(\mathbf{A}_{\mathcal{U}}\models\Sigma\) y \(\mathbf{A}_{\mathcal{U}}\models\lnot\varphi_{0}\), lo cual contradice la suposición de que \(T\models\varphi_{0}.\)
Ahora supongamos que \(\tau\) es cualquier tipo. Sean \(s_{1}\) y \(s_{2}\) un par de símbolos no pertenecientes a la lista \[\forall\ \ \exists\ \ \lnot\ \ \vee\ \ \wedge\ \ \rightarrow\ \ \leftrightarrow\ \ (\ \ )\ \ ,\ \equiv\ \ \mathsf{X}\ \ \mathit{0}\ \ \mathit{1}\ \ ...\ \ \mathit{9}\ \ \mathbf{0}\ \ \mathbf{1}\ \ ...\ \ \mathbf{9}\] y tales que ninguno ocurra en alguna palabra de \(\mathcal{C}\cup\mathcal{F}\cup\mathcal{R}.\) Si \(T\models\varphi\), entonces usando el Lema de Coincidencia se puede ver que \((\Sigma,(\mathcal{C}\cup\{s_{1}s_{2}s_{1},s_{1}s_{2}s_{2}s_{1},...\},\mathcal{F},\mathcal{R},a))\models\varphi\), por lo cual \[(\Sigma,(\mathcal{C}\cup\{s_{1}s_{2}s_{1},s_{1}s_{2}s_{2}s_{1},...\},\mathcal{F},\mathcal{R},a))\vdash\varphi.\] Pero por Lema 3.50, tenemos que \(T\vdash\varphi.\)
Veamos algunas consecuencias del Teorema de Completitud.
3.7. Toda teoría consistente tiene un modelo.
Proof. Supongamos \((\Sigma,\tau)\) es consistente y no tiene modelos. Ya que no tiene modelos, se da trivialmente que \((\Sigma,\tau)\models\varphi\), para cada \(\varphi\in S^{\tau}\). Obviamente esto dice que \((\Sigma,\tau)\) es inconsistente, lo cual es absurdo.
3.8 (Teorema de Compacidad). Sea \((\Sigma,\tau)\) una teoría.
adhocprefix(a)adhocsufix Si \((\Sigma,\tau)\) es tal que \((\Sigma_{0},\tau)\) tiene un modelo, para cada subconjunto finito \(\Sigma_{0}\subseteq\Sigma\), entonces \((\Sigma,\tau)\) tiene un modelo
adhocprefix(b)adhocsufix Si \((\Sigma,\tau)\models\varphi\), entonces hay un subconjunto finito \(\Sigma_{0}\subseteq\Sigma\) tal que \((\Sigma_{0},\tau)\models\varphi\).
Proof. (a) Veamos que \((\Sigma,\tau)\) es consistente. Supongamos lo contrario, es decir supongamos \((\Sigma,\tau)\vdash\left(\varphi\wedge\lnot\varphi\right)\), para alguna sentencia \(\varphi\). Nótese que entonces hay un subconjunto finito \(\Sigma_{0}\subseteq\Sigma\) tal que la teoría \((\Sigma_{0},\tau)\vdash\left(\varphi\wedge\lnot\varphi\right)\) (\(\Sigma_{0}\) puede ser formado con los axiomas de \(\Sigma\) usados en una prueba formal que atestigüe que \((\Sigma,\tau)\vdash\left(\varphi\wedge\lnot\varphi\right)\)). Pero esto es absurdo ya que por hipótesis dicha teoría \((\Sigma_{0},\tau)\) tiene un modelo (use Corrección). O sea que \((\Sigma,\tau)\) es consistente y entonces el corolario anterior nos dice que tiene un modelo
(b) Si \((\Sigma,\tau)\models\varphi\), entonces por Completitud, \((\Sigma,\tau)\vdash\varphi\). Pero entonces hay un subconjunto finito \(\Sigma_{0}\subseteq\Sigma\) tal que \((\Sigma_{0},\tau)\vdash\varphi\), es decir tal que \((\Sigma_{0},\tau)\models\varphi\) (Corrección).
Dejamos al lector entender que es una consecuencia del Teorema de completitud que el criterio NoEsTeorema es completo, es decir que siempre que una sentencia no sea teorema de una teoría hay un modelo de la misma que hace falsa a dicha sentencia.
Usando los teoremas de corrección y completitud podemos dar una representación semántica del álgebra de Lindenbaum. Sea \(T=(\Sigma,\tau)\) una teoría. Dada \(\varphi\in S^{\tau}\) definamos \[\mathrm{Mod}_{T}(\varphi)=\{\mathbf{A}:\mathbf{A}\text{ es modelo de }T\text{ y }\mathbf{A}\vDash\varphi\}\] Por ejemplo \(\mathrm{Mod}_{Po}(\exists x_{1}\forall x_{2}\leq(x_{1},x_{2}))=\{(A,i):(A,i(\leq))\) es un poset con mínimo\(\}\).
Definamos también \[\mathrm{Mod}_{T}=\{\mathbf{A}:\mathbf{A}\text{ es modelo de }T\}\] Dado \(S\subseteq\mathrm{Mod}_{T}\) definamos \[S^{c}=\mathrm{Mod}_{T}-S\]
3.53. \(\{\mathrm{Mod}_{T}(\varphi):\varphi\in S^{\tau}\}\) es un subuniverso del álgebra de Boole \((\mathcal{P}(\mathrm{Mod}_{T}),\cup,\cap,^{c},\emptyset,\mathrm{Mod}_{T})\)
Proof. Nótese que \[\begin{aligned} \emptyset & =\mathrm{Mod}_{T}(\exists x_{1}\lnot(x_{1}\equiv x_{1}))\\ \mathrm{Mod}_{T} & =\mathrm{Mod}_{T}(\forall x_{1}(x_{1}\equiv x_{1}))\\ \mathrm{Mod}_{T}(\varphi)\cap\mathrm{Mod}_{T}(\psi) & =\mathrm{Mod}_{T}((\varphi\wedge\psi))\\ \mathrm{Mod}_{T}(\varphi)\cup\mathrm{Mod}_{T}(\psi) & =\mathrm{Mod}_{T}((\varphi\vee\psi))\\ \mathrm{Mod}_{T}(\varphi)^{c} & =\mathrm{Mod}_{T}(\lnot\varphi) \end{aligned}\]
3.54. Dadas \(\varphi,\psi\in S^{\tau}\) se tiene:
adhocprefix(1)adhocsufix \([\varphi]_{T}\leq^{T}[\psi]_{T}\) sii \(\mathrm{Mod}_{T}(\varphi)\subseteq\mathrm{Mod}_{T}(\psi)\)
adhocprefix(2)adhocsufix \([\varphi]_{T}=[\psi]_{T}\) sii \(\mathrm{Mod}_{T}(\varphi)=\mathrm{Mod}_{T}(\psi)\)
adhocprefix(3)adhocsufix \([\varphi]_{T}<^{T}[\psi]_{T}\) sii \(\mathrm{Mod}_{T}(\varphi)\subsetneqq\mathrm{Mod}_{T}(\psi)\)
Proof. (1) Dejamos al lector justificar las siguientes equivalencias: \[[\varphi]_{T}\leq^{T}[\psi]_{T}\text{ sii }T\vdash(\varphi\rightarrow\psi)\text{ sii }T\models(\varphi\rightarrow\psi)\text{ sii }\mathrm{Mod}_{T}(\varphi)\subseteq\mathrm{Mod}_{T}(\psi)\] (2) y (3) siguen de (1)
Ya que \(\{\mathrm{Mod}_{T}(\varphi):\varphi\in S^{\tau}\}\) es un subuniverso de \((\mathcal{P}(\mathrm{Mod}_{T}),\cup,\cap,^{c},\emptyset,\mathrm{Mod}_{T})\), tenemos que \((\{\mathrm{Mod}_{T}(\varphi):\varphi\in S^{\tau}\},\cup,\cap,^{c},\emptyset,\mathrm{Mod}_{T})\) es un álgebra de Boole. Nótese que (2) del lema anterior nos asegura que \[\begin{array}{rcl} S^{\tau}/\mathrm{\dashv\vdash}_{T} & \rightarrow & \{\mathrm{Mod}_{T}(\varphi):\varphi\in S^{\tau}\}\\{} [\varphi]_{T} & \rightarrow & \mathrm{Mod}_{T}(\varphi) \end{array}\] define en forma inambigua una función. Tenemos entonces el siguiente
3.9 (Representación Semántica del Álgebra de Lindenbaum). La función \[\begin{array}{rcl} S^{\tau}/\mathrm{\dashv\vdash}_{T} & \rightarrow & \{\mathrm{Mod}_{T}(\varphi):\varphi\in S^{\tau}\}\\{} [\varphi]_{T} & \rightarrow & \mathrm{Mod}_{T}(\varphi) \end{array}\] es un isomorfismo de \(\mathcal{A}_{T}\) en \((\{\mathrm{Mod}_{T}(\varphi):\varphi\in S^{\tau}\},\cup,\cap,^{c},\emptyset,\mathrm{Mod}_{T})\).
Proof. Llamémosle \(f\) a la función del enunciado. Es claro que \(f\) es suryectiva. Además (2) del lema anterior nos dice que \(f\) es inyectiva. Además usando las igualdades de la prueba del Lema 3.53, fácilmente podemos ver que \(f\) es un homomorfismo por lo cual es un isomorfismo.
Una teoría \((\Sigma,\tau)\) será llamada completa cuando para cada \(\varphi\in S^{\tau}\) se dé que \((\Sigma,\tau)\vdash\varphi\) o \((\Sigma,\tau)\vdash\lnot\varphi\). Es poco frecuente que una teoría consistente sea completa y esto lo veremos claro después del siguiente resultado. Necesitaremos la siguiente definición. Sean \(\mathbf{A}\) y \(\mathbf{B}\) dos estructuras de tipo \(\tau\). Diremos que \(\mathbf{A}\) y \(\mathbf{B}\) son elementalmente equivalentes si para cada \(\varphi\in S^{\tau}\) se da que \(\mathbf{A}\models\varphi\) sii \(\mathbf{B}\models\varphi\).
3.2. Sea \((\Sigma,\tau)\) una teoría consistente. Son equivalentes
adhocprefix(1)adhocsufix \((\Sigma,\tau)\) es completa
adhocprefix(2)adhocsufix Todos los modelos de \((\Sigma,\tau)\) son elementalmente equivalentes
adhocprefix(3)adhocsufix Hay una estructura \(\mathbf{A}\) tal que los teoremas de \((\Sigma,\tau)\) son exactamente las sentencias verdaderas en \(\mathbf{A}\)
adhocprefix(4)adhocsufix \(\mathcal{A}_{(\Sigma,\tau)}\) tiene exactamente dos elementos
Proof. Supongamos vale (1). Probaremos (2). Supongamos \(\mathbf{A},\mathbf{B}\) son modelos de \((\Sigma,\tau)\) y supongamos \(\mathbf{A}\models\varphi\). Entonces no puede darse \((\Sigma,\tau)\vdash\lnot\varphi\) (use corrección) por lo cual tenemos que \((\Sigma,\tau)\vdash\varphi\). Ya que \(\mathbf{B}\) es modelo de \((\Sigma,\tau)\) tenemos entonces que \(\mathbf{B}\models\varphi\). Esto prueba que \(\mathbf{A}\) y \(\mathbf{B}\) son elementalmente equivalentes.
Ahora supongamos vale (2). Probaremos (3). Ya que \((\Sigma,\tau)\) es consistente, tiene al menos un modelo. Sea \(\mathbf{A}\) uno de ellos. Por corrección todo teorema es verdadero en \(\mathbf{A}\). Recíprocamente si \(\mathbf{A}\models\varphi\), entonces, por (2), todo modelo de \((\Sigma,\tau)\) satisface \(\varphi\), lo cual nos dice que \(\varphi\) es un teorema.
Obviamente (3) implica que toda sentencia es o un teorema o refutable y esto nos dice que \(0^{(\Sigma,\tau)}\cup1^{(\Sigma,\tau)}=S^{\tau}\). Ya que \(0^{(\Sigma,\tau)}\cap1^{(\Sigma,\tau)}=\emptyset\) puesto que \((\Sigma,\tau)\) es consistente, tenemos que vale (4).
Es trivial que (4) implica (1).
Ya que lo mas común es que una teoría tenga un par de modelos no elementalmente equivalentes, la mayoría de las teorías no son completas.
En esta sección desarrollaremos las propiedades básicas de \(Arit\), una teoría de primer orden la cual modeliza a la aritmética. Esta teoría ha sido paradigmática en el desarrollo de la lógica.
Sea \(\tau_{A}=(\{0,1\},\{+^{2},.^{2}\},\{\leq^{2}\},a)\). Denotemos con \(\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\) a la estructura de tipo \(\tau_{A}\) que tiene a \(\omega\) como universo e interpreta los nombres de \(\tau_{A}\) en la manera usual, es decir \[\begin{array}{l} 0^{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}=0\\ 1^{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}=1\\ \leq^{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}=\{(n,m)\in\omega^{2}:n\leq m\}\\ +^{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}(n,m)=n+m\text{, para cada }n,m\in\omega\\ .^{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}(n,m)=n.m\text{, para cada }n,m\in\omega \end{array}\] Para facilitar la lectura, si \(t,s\in T^{\tau_{A}}\), escribiremos \(t\leq s\) en lugar de \(\mathrm{\leq}(t,s)\), \(t+s\) en lugar de \(+(t,s)\) y \(t.s\) en lugar de \(.(t,s)\). Tambien escribiremos \(t<s\) en lugar de \((t\leq s\wedge\neg(t\equiv s))\).
Sea \(\Sigma\) el conjunto formado por las siguientes sentencias:
adhocprefixadhocsufix \(\forall x_{1}\forall x_{2}\forall x_{3}\;x_{1}+(x_{2}+x_{3})\equiv(x_{1}+x_{2})+x_{3}\)
adhocprefixadhocsufix \(\forall x_{1}\forall x_{2}\;x_{1}+x_{2}\equiv x_{2}+x_{1}\)
adhocprefixadhocsufix \(\forall x_{1}\forall x_{2}\forall x_{3}\;x_{1}.(x_{2}.x_{3})\equiv(x_{1}.x_{2}).x_{3}\)
adhocprefixadhocsufix \(\forall x_{1}\forall x_{2}\;x_{1}.x_{2}\equiv x_{2}.x_{1}\)
adhocprefixadhocsufix \(\forall x_{1}\;x_{1}+0\equiv x_{1}\)
adhocprefixadhocsufix \(\forall x_{1}\;x_{1}.0\equiv0\)
adhocprefixadhocsufix \(\forall x_{1}\;x_{1}.1\equiv x_{1}\)
adhocprefixadhocsufix \(\forall x_{1}\forall x_{2}\forall x_{3}\;x_{1}.(x_{2}+x_{3})\equiv(x_{1}.x_{2})+(x_{1}.x_{3})\)
adhocprefixadhocsufix \(\forall x_{1}\forall x_{2}\forall x_{3}\;(x_{1}+x_{3}\equiv x_{2}+x_{3}\rightarrow x_{1}\equiv x_{2})\)
adhocprefixadhocsufix \(\forall x_{1}\;x_{1}\leq x_{1}\)
adhocprefixadhocsufix \(\forall x_{1}\forall x_{2}\forall x_{3}\;((x_{1}\leq x_{2}\wedge x_{2}\leq x_{3})\rightarrow x_{1}\leq x_{3})\)
adhocprefixadhocsufix \(\forall x_{1}\forall x_{2}\;((x_{1}\leq x_{2}\wedge x_{2}\leq x_{1})\rightarrow x_{1}\equiv x_{2})\)
adhocprefixadhocsufix \(\forall x_{1}\forall x_{2}\;(x_{1}\leq x_{2}\vee x_{2}\leq x_{1})\)
adhocprefixadhocsufix \(\forall x_{1}\forall x_{2}\;(x_{1}\leq x_{2}\leftrightarrow\exists x_{3}\;x_{2}\equiv x_{1}+x_{3})\)
adhocprefixadhocsufix \(0<1\)
Es fácil ver que todas estas sentencias son satisfechas por \(\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\) por lo cual \(\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\) es un modelo de la teoría \((\Sigma,\tau_{A})\). Definamos \[Verd_{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}=\{\varphi\in S^{\tau_{A}}:\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\models\varphi\}\] Es claro que todo teorema de \((\Sigma,\tau_{A})\) pertenece a \(Verd_{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}\) (por que?). Un pregunta interesante es si toda sentencia \(\varphi\in Verd_{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}\) es un teorema de \((\Sigma,\tau_{A})\), es decir puede ser probada en forma elemental partiendo de los axiomas de \(\Sigma\). La respuesta es no y lo explicaremos a continuación. Sea \(\mathbf{Q}^{\geq0}\) la estructura de tipo \(\tau_{A}\) que tiene a \(\{r\in\mathbf{Q}:r\geq0\}\) como universo e interpreta los nombres de \(\tau_{A}\) en la manera usual. Note que \(\mathbf{Q}^{\geq0}\) también es un modelo de \((\Sigma,\tau_{A})\). Pero entonces todo teorema de \((\Sigma,\tau_{A})\) debe ser verdadero en \(\mathbf{Q}^{\geq0}\). Pero la sentencia \(\forall x\ (x\leq1\rightarrow(x\equiv0\vee x\equiv1))\) es falsa en \(\mathbf{Q}^{\geq0}\) por lo cual no es un teorema de \((\Sigma,\tau_{A})\) y sin embargo pertenece a \(Verd_{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}\). Es decir los axiomas de \(\Sigma\) son demasiado generales y deberíamos agregarle axiomas que sean mas característicos de la estructura particular de \(\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\). En esa dirección, a continuación extenderemos el conjunto \(\Sigma\) con axiomas que nos permitirán hacer pruebas por inducción tal como se lo hace en la aritmética básica.
Dada una fórmula \(\psi\in F^{\tau_{A}}\) y variables \(v_{1},...,v_{n+1}\), con \(n\geq0\), tales que \(Li(\psi)\subseteq\{v_{1},...,v_{n+1}\}\) y \(v_{i}\neq v_{j}\) siempre que \(i\neq j\), denotaremos con \(Ind_{\psi,v_{1},...,v_{n+1}}\) a la siguiente sentencia de tipo \(\tau_{A}\) \[\forall v_{1}...\forall v_{n}\ ((\psi(\vec{v},0)\wedge\forall v_{n+1}\ (\psi(\vec{v},v_{n+1})\rightarrow\psi(\vec{v},+(v_{n+1},1))))\rightarrow\forall v_{n+1}\ \psi(\vec{v},v_{n+1}))\] donde suponemos que hemos declarado \(\psi=_{d}\psi(v_{1},...,v_{n+1})\). Nótese que si por ejemplo \(Li(\psi)\subseteq\{x_{1},x_{2},x_{3}\}\), entonces las seis sentencias \[Ind_{\psi,x_{1},x_{2},x_{3}}\ \ Ind_{\psi,x_{1},x_{3},x_{2}}\ \ Ind_{\psi,x_{2},x_{1},x_{3}}\ \ Ind_{\psi,x_{2},x_{3},x_{1}}\ \ Ind_{\psi,x_{3},x_{1},x_{2}}\ \ Ind_{\psi,x_{3},x_{2},x_{1}}\] son todas distintas.
Sea \(\Sigma_{A}\) el conjunto que resulta de agregarle a \(\Sigma\) todas las sentencias de la forma \(Ind_{\psi,v_{1},...,v_{n+1}}\). Nótese que el conjunto \(\Sigma_{A}\) es infinito.
La teoría \((\Sigma_{A},\tau_{A})\) será llamada Aritmética de Peano y la denotaremos con \(Arit\). Es intuitivamente claro que
3.55. \(\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\) es un modelo de \(Arit\)
Proof. Sean \(\psi\in F^{\tau_{A}}\) y \(v_{1},...,v_{n+1}\), con \(n\geq0\), tales que \(Li(\psi)\subseteq\{v_{1},...,v_{n+1}\}\) y \(v_{i}\neq v_{j}\) siempre que \(i\neq j\). Veremos que \(\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\vDash Ind_{\psi,v_{1},...,v_{n+1}}\). Declaremos \(\psi=_{d}\psi(v_{1},...,v_{n},v_{n+1})\). Sea \[\varphi=((\psi(\vec{v},0)\wedge\forall v_{n+1}\ (\psi(\vec{v},v_{n+1})\rightarrow\psi(\vec{v},+(v_{n+1},1)))\rightarrow\forall v_{n+1}\ \psi(\vec{v},v_{n+1}))\] Declaremos \(\varphi=_{d}\varphi(v_{1},...,v_{n})\). Nótese que \(\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\vDash Ind_{\psi,v_{1},...,v_{n+1}}\) si y solo si para cada \(a_{1},...,a_{n}\in\omega\) se tiene que \(\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\vDash\varphi[\vec{a}]\). Sean \(a_{1},...,a_{n}\in\omega\) fijos. Probaremos que \(\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\vDash\varphi[\vec{a}]\). Notar que si \[\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\nvDash(\psi(\vec{v},0)\wedge\forall v_{n+1}\ (\psi(\vec{v},v_{n+1})\rightarrow\psi(\vec{v},+(v_{n+1},1)))[\vec{a}]\] entonces \(\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\vDash\varphi[\vec{a}]\) por lo cual podemos hacer solo el caso en que \[\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\vDash(\psi(\vec{v},0)\wedge\forall v_{n+1}\ (\psi(\vec{v},v_{n+1})\rightarrow\psi(\vec{v},+(v_{n+1},1)))[\vec{a}]\] Para probar que \(\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\vDash\varphi[\vec{a}]\), deberemos probar entonces que \(\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\vDash\forall v_{n+1}\ \psi(\vec{v},v_{n+1})[\vec{a}]\). Sea \(S=\{a\in\omega:\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\vDash\psi(\vec{v},v_{n+1})[\vec{a},a]\}\). Ya que \(\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\vDash\psi(\vec{v},0)[\vec{a}]\), es fácil ver usando el Teorema de Reemplazo para Fórmulas que \(\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\vDash\psi(\vec{v},v_{n+1})[\vec{a},0]\), lo cual nos dice que \(0\in S\). Ya que \(\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\vDash\forall v_{n+1}\ (\psi(\vec{v},v_{n+1})\rightarrow\psi(\vec{v},+(v_{n+1},1))[\vec{a}]\), tenemos que
adhocprefix(1)adhocsufix Para cada \(a\in\omega\), si \(\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\vDash\psi(\vec{v},v_{n+1})[\vec{a},a]\), entonces \(\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\vDash\psi(\vec{v},+(v_{n+1},1))[\vec{a},a]\).
Pero por el Teorema de Reemplazo para Fórmulas, tenemos que \(\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\vDash\psi(\vec{v},+(v_{n+1},1))[\vec{a},a]\) sii \(\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\vDash\psi(\vec{v},v_{n+1})[\vec{a},a+1]\), lo cual nos dice que
adhocprefix(2)adhocsufix Para cada \(a\in\omega\), si \(\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\vDash\psi(\vec{v},v_{n+1})[\vec{a},a]\), entonces \(\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\vDash\psi(\vec{v},v_{n+1})[\vec{a},a+1]\).
Ya que \(0\in S\) y (2) nos dice que \(a\in S\) implica \(a+1\in S\), tenemos que \(S=\omega\). Es decir que para cada \(a\in\omega\), se da que \(\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\vDash\psi(\vec{v},v_{n+1})[\vec{a},a]\) lo cual nos dice que \(\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\vDash\forall v_{n+1}\ \psi(\vec{v},v_{n+1})[\vec{a}]\).
Es rutina probar que \(\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\) satisface los otros 15 axiomas de \(Arit\).
El modelo \(\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\) es llamado el modelo estándar de \(Arit\).
adhocprefixEjercicio:adhocsufix Pruebe que \(\mathbf{Q}^{\geq0}\) no es un modelo de \(Arit\), dando una "propiedad inductiva que no cumpla"
Definamos el mapeo \(\widehat{\ \ \ }:\omega\rightarrow\{(\;)\;,\;+\;0\;1\}^{\ast}\) de la siguiente manera \[\begin{aligned} \widehat{0} & =0\\ \widehat{1} & =1\\ \widehat{n+1} & =+(\widehat{n},1)\text{, para cada }n\geq1 \end{aligned}\]
3.3. Hay un modelo de \(Arit\) el cual no es isomorfo a \(\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\)
Proof. Sea \(\tau=(\{0,1,\blacktriangle\},\{+^{2},.^{2}\},\{\leq^{2}\},a)\) y sea \(\Sigma=\Sigma_{A}\cup\{\lnot(\widehat{n}\equiv\blacktriangle):n\in\omega\}\). Por el Teorema de Compacidad la teoría \((\Sigma,\tau)\) tiene un modelo \(\mathbf{A}=(A,i)\). Ya que \[\mathbf{A}\vDash\lnot(\widehat{n}\equiv\blacktriangle)\text{, para cada }n\in\omega\] tenemos que \[i(\blacktriangle)\neq\widehat{n}^{\mathbf{A}}\text{, para cada }n\in\omega\] Por el Lema de Coincidencia la estructura \(\mathbf{B}=(A,i|_{\{0,1,+,.,\leq\}})\) es un modelo de \(Arit\). Además dicho lema nos garantiza que \(\widehat{n}^{\mathbf{B}}=\widehat{n}^{\mathbf{A}}\), para cada \(n\in\omega\), por lo cual tenemos que \[i(\blacktriangle)\neq\widehat{n}^{\mathbf{B}}\text{, para cada }n\in\omega\] Veamos que \(\mathbf{B}\) no es isomorfo a \(\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\). Supongamos \(F:\omega\rightarrow A\) es un isomorfismo de \(\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\) en \(\mathbf{B}\). Es fácil de probar usando la Regla de Inducción a desde \(0\) que \(F(n)=\widehat{n}^{\mathbf{B}}\), para cada \(n\in\omega\). Pero esto produce un absurdo ya que nos dice que \(i(\blacktriangle)\) no esta en la imagen de \(F\).
adhocprefixEjercicio:adhocsufix Dado un modelo \(\mathbf{A}\) de \(Arit\) y elementos \(a,b\in A\), diremos que \(a\) divide a \(b\) en \(\mathbf{A}\) cuando haya un \(c\in A\) tal que \(b=.^{\mathbf{A}}(c,a).\) Un elemento \(a\in A\) será llamado primo en \(\mathbf{A}\) si \(a\neq1^{\mathbf{A}}\) y sus únicos divisores son \(1^{\mathbf{A}}\) y \(a\). Pruebe que hay un modelo de \(Arit\), \(\mathbf{A}\), en el cual hay infinitos primos no pertenecientes a \(\{\widehat{n}^{\mathbf{A}}:n\in\omega\}\).
3.56. Las siguientes sentencias son teoremas de la aritmética de Peano:
adhocprefix(1)adhocsufix \(\forall x\;0\leq x\)
adhocprefix(2)adhocsufix \(\forall x\;(x\leq0\rightarrow x\equiv0)\)
adhocprefix(3)adhocsufix \(\forall x\forall y\;(x+y\equiv0\rightarrow(x\equiv0\wedge y\equiv0))\)
adhocprefix(4)adhocsufix \(\forall x\;(\lnot(x\equiv0)\rightarrow\exists z\ (x\equiv z+1))\)
adhocprefix(5)adhocsufix \(\forall x\forall y\;(x<y\rightarrow x+1\leq y)\)
adhocprefix(6)adhocsufix \(\forall x\forall y\;(x<y+1\rightarrow x\leq y)\)
adhocprefix(7)adhocsufix \(\forall x\forall y\;(x\leq y+1\rightarrow(x\leq y\vee x\equiv y+1))\)
adhocprefix(8)adhocsufix \(\forall x\forall y\;((x\leq y\wedge y\leq x+1)\rightarrow(x\equiv y\vee x\equiv y+1))\) (use (7))
adhocprefix(9)adhocsufix \(\forall x\forall y\;(\lnot y\equiv0\rightarrow\exists q\exists r\;x\equiv q.y+r\wedge r<y)\)
Proof. (1) es dejada al lector.
(2) \[\begin{array}{lllll} \;1. & x_{0}\leq0 & & & \text{HIPOTESIS}1\\ \;2. & \forall x\;0\leq x & & & \text{TEOREMA}\\ \;3. & 0\leq x_{0} & & & \text{PARTICULARIZACION}(2)\\ \;4. & x_{0}\leq0\wedge0\leq x_{0} & & & \text{CONJUNCIONINTRODUCCION}(1,3)\\ \;5. & \forall x_{1}\forall x_{2}\;((x_{1}\leq x_{2}\wedge x_{2}\leq x_{1})\rightarrow x_{1}\equiv x_{2}) & & & \text{AXIOMAPROPIO}\\ \;6. & \forall x_{2}\;((x_{0}\leq x_{2}\wedge x_{2}\leq x_{0})\rightarrow x_{0}\equiv x_{2}) & & & \text{PARTICULARIZACION}(5)\\ \;7. & ((x_{0}\leq0\wedge0\leq x_{0})\rightarrow x_{0}\equiv0) & & & \text{PARTICULARIZACION}(6)\\ \;8. & x_{0}\equiv0 & & & \text{TESIS}1\text{MODUSPONENS}(4,7)\\ \;9. & x_{0}\leq0\rightarrow x_{0}\equiv0 & & & \text{CONCLUSION}\\ 10. & \forall x\ (x\leq0\rightarrow x\equiv0) & & & \text{GENERALIZACION}(9) \end{array}\]
(3) \[\begin{array}{lllll} \;1. & x_{0}+y_{0}\equiv0 & & & \text{HIPOTESIS}1\\ \;2. & 0\equiv x_{0}+y_{0} & & & \text{COMMUTATIVIDAD}(1)\\ \;3. & \exists x_{3}\ (0\equiv x_{0}+x_{3}) & & & \text{EXISTENCIAL}(2)\\ \;4. & \forall x_{1}\forall x_{2}\;(x_{1}\leq x_{2}\leftrightarrow\exists x_{3}\;x_{2}\equiv x_{1}+x_{3}) & & & \text{AXIOMAPROPIO}\\ \;5. & x_{0}\leq0\leftrightarrow\exists x_{3}\;0\equiv x_{0}+x_{3}) & & & \text{PARTICULARIZACION}^{2}(4)\\ \;6. & x_{0}\leq0 & & & \text{REEMPLAZO}(5,3)\\ \;7. & \forall x\ 0\leq x & & & \text{TEOREMA}\\ \;8. & 0\leq x_{0} & & & \text{PARTICULARIZACION}(7)\\ \;9. & x_{0}\leq0\wedge0\leq x_{0} & & & \text{CONJUNCIONINTRODUCCION}(6,8)\\ 10. & \forall x_{1}\forall x_{2}\;((x_{1}\leq x_{2}\wedge x_{2}\leq x_{1})\rightarrow x_{1}\equiv x_{2}) & & & \text{AXIOMAPROPIO}\\ 11. & ((x_{0}\leq0\wedge0\leq x_{0})\rightarrow x_{0}\equiv0) & & & \text{PARTICULARIZACION}^{2}(10)\\ 12. & x_{0}\equiv0 & & & \text{MODUSPONENS}(9,11)\\ 13. & 0+y_{0}\equiv0 & & & \text{REEMPLAZO}(12,1)\\ 14. & \forall y\ y\equiv0+y & & & \text{TEOREMA}\\ 15. & y_{0}\equiv0+y_{0} & & & \text{PARTICULARIZACION}(14)\\ 16. & y_{0}\equiv0 & & & \text{TRANSITIVIDAD}(15,13)\\ 17. & x_{0}\equiv0\wedge y_{0}\equiv0 & & & \text{TESIS}1\text{CONJUNCIONINTRODUCCION}(12,16)\\ 18. & x_{0}+y_{0}\equiv0\rightarrow(x_{0}\equiv0\wedge y_{0}\equiv0) & & & \text{CONCLUSION}\\ 19. & \forall x\forall y\;(x+y\equiv0\rightarrow(x\equiv0\wedge y\equiv0)) & & & \text{GENERALIZACION}^{2}(18) \end{array}\]
3.57. Sean \(n,m\in\omega\) y sea \(t\in T_{c}^{\tau_{A}}\). Las siguientes sentencias son teoremas de la aritmética de Peano:
adhocprefix(a)adhocsufix \((+(\widehat{n},\widehat{m})\equiv\widehat{n+m})\)
adhocprefix(b)adhocsufix \((.(\widehat{n},\widehat{m})\equiv\widehat{n.m})\)
adhocprefix(c)adhocsufix \(\forall x\;(x\leq\widehat{n}\rightarrow(x\equiv\widehat{0}\vee x\equiv\widehat{1}\vee...\vee x\equiv\widehat{n}))\)
adhocprefix(d)adhocsufix \((t\equiv\widehat{t^{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}})\)
3.58. Si \(\varphi\) es una sentencia atómica o negación de atómica y \(\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\models\varphi\), entonces \(Arit\vdash\varphi\).
Proof. Hay cuatro casos.
Caso \(\varphi=(t\equiv s)\), con \(t,s\) términos cerrados.
Ya que \(\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\models\varphi\), tenemos que \(t^{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}=s^{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}\) y por lo tanto \(\widehat{t^{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}}=\widehat{s^{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}}\). Por el lema anterior tenemos que \(Arit\vdash(t\equiv\widehat{t^{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}}),(s\equiv\widehat{s^{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}})\) lo cual, ya que \(\widehat{t^{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}}\) y \(\widehat{s^{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}}\) son el mismo término nos dice por la regla de transitividad que \(Arit\vdash(t\equiv s)\).
Caso \(\varphi=(t\leq s)\), con \(t,s\) términos cerrados.
Ya que \(\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\models\varphi\), tenemos que \(t^{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}\leq s^{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}\) y por lo tanto hay un \(k\in\omega\) tal que \(t^{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}+k=s^{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}\). Se tiene entonces que \(\widehat{t^{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}+k}=\widehat{s^{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}}\). Por el lema anterior tenemos que \(Arit\vdash+(\widehat{t^{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}},\widehat{k})\equiv\widehat{t^{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}+k}\) lo cual nos dice que \[Arit\vdash+(\widehat{t^{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}},\widehat{k})\equiv\widehat{s^{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}}\] Pero el lema anterior nos dice que \[Arit\vdash(t\equiv\widehat{t^{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}}),(s\equiv\widehat{s^{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}})\] y por lo tanto la regla de reemplazo nos asegura que \(Arit\vdash+(t,\widehat{k})\equiv s\). Ya que \[\forall x_{1}\forall x_{2}\;(x_{1}\leq x_{2}\leftrightarrow\exists x_{3}\;x_{2}\equiv x_{1}+x_{3})\] es un axioma de \(Arit\), tenemos que \(Arit\vdash(t\leq s)\).
Caso \(\varphi=\lnot(t\equiv s)\), con \(t,s\) términos cerrados.
Caso \(\varphi=\lnot(t\leq s)\), con \(t,s\) términos cerrados.
El siguiente lema muestra que en \(Arit\) se pueden probar ciertas sentencias las cuales nos servirán para emular la Regla de Inducción Completa.
3.59. Sea \(\varphi=_{d}\varphi(\vec{v},v)\in F^{\tau_{A}}\). Supongamos \(v\) es sustituible por \(w\) en \(\varphi\) y \(w\notin\{v_{1},...,v_{n}\}\). Entonces: \[Arit\vdash\forall\vec{v}((\varphi(\vec{v},0)\wedge\forall v(\forall w(w<v\rightarrow\varphi(\vec{v},w))\rightarrow\varphi(\vec{v},v)))\rightarrow\forall v\varphi(\vec{v},v))\]
Proof. Sea \(\tilde{\varphi}=\forall w(w\leq v\rightarrow\varphi(\vec{v},w))\). Notar que \(Li(\tilde{\varphi})\subseteq\{v_{1},...,v_{n},v\}\). Declaremos \(\tilde{\varphi}=_{d}\tilde{\varphi}(\vec{v},v)\). Para hacer la prueba formal usaremos el axioma \(Ind_{\tilde{\varphi},v_{1},...,v_{n},v}\). Salvo por el uso de algunos teoremas simples y el uso simultaneo de las reglas de particularización y generalización, la siguiente es la prueba formal buscada. \[\begin{array}{lllll} \;1. & (\varphi(\vec{c},0)\wedge\forall v(\forall w(w<v\rightarrow\varphi(\vec{c},w))\rightarrow\varphi(\vec{c},v)) & & & \text{HIPOTESIS}1\\ \;2. & \;\;\;w_{0}\leq0 & & & \text{HIPOTESIS}2\\ \;3. & \;\;\;\forall x\;(x\leq0\rightarrow x\equiv0) & & & \text{TEOREMA}\\ \;4. & \;\;\;w_{0}\leq0\rightarrow w_{0}\equiv0 & & & \text{PARTICULARIZACION}(3)\\ \;5. & \;\;\;w_{0}\equiv0 & & & \text{MODUSPONENS}(2,4)\\ \;6. & \;\;\;\varphi(\vec{c},0) & & & \text{CONJUNCIONELIMINACION}(1)\\ \;7. & \;\;\;\varphi(\vec{c},w_{0}) & & & \text{TESIS}2\text{REEMPLAZO}(5,6)\\ \;8. & w_{0}\leq0\rightarrow\varphi(\vec{c},w_{0}) & & & \text{CONCLUSION}\\ \;9. & \tilde{\varphi}(\vec{c},0) & & & \text{GENERALIZACION}(8)\\ 10. & \;\;\;\tilde{\varphi}(\vec{c},v_{0}) & & & \text{HIPOTESIS}3\\ 11. & \;\;\;\;\;\;w_{0}<v_{0}+1 & & & \text{HIPOTESIS}4\\ 12. & \;\;\;\;\;\;\forall x,y\;x<y+1\rightarrow x\leq y & & & \text{TEOREMA}\\ 13. & \;\;\;\;\;\;w_{0}<v_{0}+1\rightarrow w_{0}\leq v_{0} & & & \text{PARTICULARIZACION}(12)\\ 14. & \;\;\;\;\;\;w_{0}\leq v_{0} & & & \text{MODUSPONENS}(11,13)\\ 15. & \;\;\;\;\;\;w_{0}\leq v_{0}\rightarrow\varphi(\vec{c},w_{0}) & & & \text{PARTICULARIZACION}(10)\\ 16. & \;\;\;\;\;\;\varphi(\vec{c},w_{0}) & & & \text{TESIS}4\text{MODUSPONENS}(14,15)\\ 17. & \;\;\;w_{0}<v_{0}+1\rightarrow\varphi(\vec{c},w_{0}) & & & \text{CONCLUSION}\\ 18. & \;\;\;\forall w\;w<v_{0}+1\rightarrow\varphi(\vec{c},w) & & & \text{GENERALIZACION}(17)\\ 19. & \;\;\;\forall v(\forall w(w<v\rightarrow\varphi(\vec{c},w))\rightarrow\varphi(\vec{c},v)) & & & \text{CONJUNCIONELIMINACION}(1)\\ 20. & \;\;\;(\forall w(w<v_{0}+1\rightarrow\varphi(\vec{c},w))\rightarrow\varphi(\vec{c},v_{0}+1)) & & & \text{PARTICULARIZACION}(19)\\ 21. & \;\;\;\varphi(\vec{c},v_{0}+1) & & & \text{MODUSPONENS}(18,20)\\ 22. & \;\;\;\;\;\;w_{0}\leq v_{0}+1 & & & \text{HIPOTESIS}5\\ 23. & \;\;\;\;\;\;\forall x,y\;x\leq y+1\rightarrow(x\leq y\vee x\equiv y+1) & & & \text{TEOREMA}\\ 24. & \;\;\;\;\;\;w_{0}\leq v_{0}+1\rightarrow(w_{0}\leq v_{0}\vee w_{0}\equiv v_{0}+1) & & & \text{PARTICULARIZACION}(23)\\ 25. & \;\;\;\;\;\;(w_{0}\leq v_{0}\vee w_{0}\equiv v_{0}+1) & & & \text{MODUSPONENS}(22,24)\\ 26. & \;\;\;\;\;\;w_{0}\leq v_{0}\rightarrow\varphi(\vec{c},w_{0}) & & & \text{PARTICULARIZACION}(10)\\ 27. & \;\;\;\;\;\;\;\;\;w_{0}\equiv v_{0}+1 & & & \text{HIPOTESIS}6\\ 28. & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\varphi(\vec{c},w_{0}) & & & \text{TESIS}6\text{REEMPLAZO}(21,27)\\ 29. & \;\;\;w_{0}\equiv v_{0}+1\rightarrow\varphi(\vec{c},w_{0}) & & & \text{CONCLUSION}\\ 30. & \;\;\;\;\;\;\varphi(\vec{c},w_{0}) & & & \text{TESIS}5\text{DISJUNCIONELIM}(25,26,29)\\ 31. & \;\;\;w_{0}\leq v_{0}+1\rightarrow\varphi(\vec{c},w_{0}) & & & \text{CONCLUSION}\\ 32. & \;\;\;\tilde{\varphi}(\vec{c},v_{0}+1) & & & \text{TESIS}3\text{GENERALIZACION}(31)\\ 33. & \tilde{\varphi}(\vec{c},v_{0})\rightarrow\tilde{\varphi}(\vec{c},v_{0}+1) & & & \text{CONCLUSION}\\ 34. & \forall v\tilde{\varphi}(\vec{c},v)\rightarrow\tilde{\varphi}(\vec{c},v+1) & & & \text{GENERALIZACION}(33)\\ 35. & \tilde{\varphi}(\vec{c},0)\wedge\forall v\tilde{\varphi}(\vec{c},v)\rightarrow\tilde{\varphi}(\vec{c},v+1) & & & \text{CONJUNCIONINTRODUCCION}(9,34)\\ 36. & Ind_{\tilde{\varphi},v_{1},...,v_{n},v} & & & \text{AXIOMAPROPIO}\\ 37. & (\tilde{\varphi}(\vec{c},0)\wedge\forall v(\tilde{\varphi}(\vec{c},v)\rightarrow\tilde{\varphi}(\vec{c},v+1))\rightarrow\forall v\tilde{\varphi}(\vec{c},v) & & & \text{PARTICULARIZACION}(36)\\ 38. & \forall v\tilde{\varphi}(\vec{c},v) & & & \text{MODUSPONENS}(35,37)\\ 39. & \tilde{\varphi}(\vec{c},v_{0}) & & & \text{PARTICULARIZACION}(38)\\ 40. & v_{0}\leq v_{0}\rightarrow\varphi(\vec{c},v_{0}) & & & \text{PARTICULARIZACION}(39)\\ 41. & \forall x\;x\leq x & & & \text{AXIOMAPROPIO}\\ 42. & v_{0}\leq v_{0} & & & \text{PARTICULARIZACION}(41)\\ 43. & \varphi(\vec{c},v_{0}) & & & \text{MODUSPONENS}(40,42)\\ 44. & \forall v\varphi(\vec{c},v) & & & \text{TESIS}1\text{GENERALIZACION}(43)\\ 45. & (\varphi(\vec{c},0)\wedge\forall v(\forall w(w<v\rightarrow\varphi(\vec{c},w))\rightarrow\varphi(\vec{c},v)))\rightarrow\forall v\varphi(\vec{c},v) & & & \text{CONCLUSION}\\ 46. & \forall\vec{v}((\varphi(\vec{v},0)\wedge\forall v(\forall w(w<v\rightarrow\varphi(\vec{v},w))\rightarrow\varphi(\vec{v},v)))\rightarrow\forall v\varphi(\vec{v},v)) & & & \text{GENERALIZACION}(45) \end{array}\]
Dados \(t,s\in T^{\tau}\), con \(t\approx s\) denotaremos la siguiente sentencia de tipo \(\tau\): \[\forall x_{1}...\forall x_{n}\;(t\equiv s)\] donde \(n\) es el menor \(j\) tal que \(\{x_{1},...,x_{j}\}\) contiene a todas las variables que ocurren en \(t\) y \(s\). Nótese que este \(n\) es \(0\) cuando \(t\) y \(s\) son término cerrados, es decir que \(t\approx s\) denota a la sentencia \((t\equiv s)\), cuando \(t,s\in T_{c}^{\tau}\). Las sentencias \(t\approx s\), con \(t,s\in T^{\tau}\), serán llamadas identidades de tipo \(\tau\). Nótese que \(\mathbf{A}\models t\approx s\) sii \(t^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=s^{\mathbf{A}}[\vec{a}]\), para cada \(\vec{a}\in A^{\mathbf{N}}\). También, si \(t=_{d}t(x_{1},...,x_{m})\) y \(s=_{d}s(x_{1},...,x_{m})\), entonces dado una \(\tau\)-álgebra \(\mathbf{A}\), tenemos que \(\mathbf{A}\models t\approx s\) sii \(t^{\mathbf{A}}\left[a_{1},...,a_{m}\right]=s^{\mathbf{A}}\left[a_{1},...,a_{m}\right]\), para cada \((a_{1},...,a_{m})\in A^{m}\). (Independientemente de que \(m\) sea el menor \(j\) tal que \(\{x_{1},...,x_{j}\}\) contiene a las variables que ocurren en \(t\) y \(s\).)
Una teoría de primer orden \((\Sigma,\tau)\) será llamada ecuacional si \(\tau\) es un tipo algebraico y cada elemento de \(\Sigma\) es una identidad de tipo \(\tau\). Por supuesto, el Teorema de Completitud de Godel nos garantiza que si \(T\) es una teoría ecuacional y \(T\vDash t\approx s\), entonces hay una prueba formal de \(t\approx s\) en \(T\). Sin embargo, en dicha prueba formal puede haber sentencias las cuales no sean identidades. Una pregunta interesante es la siguiente:
Pregunta: ¿Hay una noción de "prueba ecuacional" la cual sea:
Correcta: si hay una prueba ecuacional de \(t\approx s\) en \(T\), entonces \(t\approx s\) es verdadera en cada modelo de \(T\)
Completa: si \(T\vDash t\approx s\), entonces hay una prueba ecuacional de \(t\approx s\) en \(T\)?
En esta sección veremos que, tal como lo probo Birkhoff, esto es posible y que la noción de prueba ecuacional que se puede dar es muy natural y simple, es decir si sabemos que en una teoría todos los axiomas son identidades, entonces a los fines de probar identidades las pruebas de primer orden clásicas pueden ser reemplazadas por pruebas con un formato mucho mas amigable.
Primero introducimos una serie de conjuntos los cuales poseen información deductiva ecuacional básica. Sea \[TransEc^{\tau}=\{(t\approx s,s\approx p,t\approx p):t,s,p\in T^{\tau}\}\] Diremos que \(\varphi\) se deduce de \(\psi_{1}\)y \(\psi_{2}\) por la regla de transitividad ecuacional, respecto a \(\tau\) para expresar que \((\psi_{1},\psi_{2},\varphi)\in TransEc^{\tau}\).
Sea \[SimEc^{\tau}=\{(t\approx s,s\approx t):t,s\in T^{\tau}\}\] Diremos que \(\varphi\) se deduce de \(\psi_{1}\) por la regla de simetría ecuacional, respecto a \(\tau\) para expresar que \((\psi_{1},\varphi)\in SimEc^{\tau}\).
Sea \[\begin{array}{c} SubsEc^{\tau}=\{(t\approx s,t(p_{1},...,p_{n})\approx s(p_{1},...,p_{n})):t=_{d}t(x_{1},...,x_{n})\\ s=_{d}s(x_{1},...,x_{n})\ \mathrm{y}\ p_{1},...,p_{n}\in T^{\tau}\} \end{array}\] Nótese que si \(t=_{d}t(x_{1},...,x_{n})\in T^{\tau}\) y \(p_{1},...,p_{n}\in T^{\tau}\), el Teorema de Reemplazo para Términos nos garantiza que \(t(p_{1},...,p_{n})\) es un término. Diremos que \(\varphi\) se deduce de \(\psi_{1}\) por la regla de substitución ecuacional, respecto a \(\tau\) para expresar que \((\psi_{1},\varphi)\in SubsEc^{\tau}\).
Sea \[\begin{array}{c} ReempEc^{\tau}=\{(t\approx s,r\approx\tilde{r}):t,s,r\in T^{\tau}\ \text{\textrm{y}}\ \tilde{r}=\mathrm{resultado}\\ \mathrm{de\ reemplazar\ algunas\ ocurrencias\ de\ }t\ \mathrm{en\ }r\ \mathrm{por\ }s\} \end{array}\] Nótese que la definición de \(\tilde{r}\) es inambigua ya que por (e) del Lema de Ocurrencias de Términos en Términos tenemos que las distintas ocurrencias de \(t\) en \(r\) son disjuntas. Además (f) del mismo lema nos garantiza que \(\tilde{r}\) es un término. Diremos que \(\varphi\) se deduce de \(\psi_{1}\) por la regla de reemplazo ecuacional, respecto a \(\tau\) para expresar que \((\psi_{1},\varphi)\in ReempEc^{\tau}\).
La identidad \(x_{1}\approx x_{1}\) será llamada axioma lógico ecuacional de tipo \(\tau\). Nótese que dicha identidad no es ni mas ni menos que la sentencia \(\forall x_{1}(x_{1}\equiv x_{1})\) la cual es universalmente válida.
Dada una teoría ecuacional \((\Sigma,\tau)\) y una identidad \(p\approx q\) de tipo \(\tau\), una prueba ecuacional de \(p\approx q\) en \((\Sigma,\tau)\) será una palabra \(\boldsymbol{\varphi}\in S^{\tau+}\) tal que
adhocprefix(1)adhocsufix Cada \(\boldsymbol{\varphi}_{k}\), con \(k=1,...,n(\boldsymbol{\varphi})\), es una identidad de tipo \(\tau\) y \(\boldsymbol{\varphi}_{n(\boldsymbol{\varphi})}=p\approx q\)
adhocprefix(2)adhocsufix Para cada \(k=1,...,n(\boldsymbol{\varphi})\), se da alguna de las siguientes
adhocprefix(a)adhocsufix \(\boldsymbol{\varphi}_{k}=x_{1}\approx x_{1}\)
adhocprefix(b)adhocsufix \(\boldsymbol{\varphi}_{k}\in\Sigma\)
adhocprefix(c)adhocsufix hay \(i,j<k\) tales que \(\boldsymbol{\varphi}_{k}\) se deduce por la regla de transitividad ecuacional a partir de \(\boldsymbol{\varphi}_{i}\) y \(\boldsymbol{\varphi}_{j}\)
adhocprefix(d)adhocsufix hay \(i<k\) tal que \(\boldsymbol{\varphi}_{k}\) se deduce por la regla de simetría ecuacional a partir de \(\boldsymbol{\varphi}_{i}\)
adhocprefix(e)adhocsufix hay \(i<k\) tal que \(\boldsymbol{\varphi}_{k}\) se deduce por la regla de substitución ecuacional a partir de \(\boldsymbol{\varphi}_{i}\)
adhocprefix(f)adhocsufix hay \(i<k\) tal que \(\boldsymbol{\varphi}_{k}\) se deduce por la regla de reemplazo ecuacional a partir de \(\boldsymbol{\varphi}_{i}\)
Escribiremos \((\Sigma,\tau)\vdash_{ec}p\approx q\) cuando haya una prueba ecuacional de \(p\approx q\) en \((\Sigma,\tau)\).
Para probar que el concepto de prueba ecuacional es correcto nos hará falta el siguiente lema.
3.60. Todas las reglas introducidas en la sección anterior son universales en el sentido que si \(\varphi\) se deduce de \(\psi_{1},...,\psi_{k}\) por alguna de estas reglas, entonces \(\left((\psi_{1}\wedge...\wedge\psi_{k})\rightarrow\varphi\right)\) es una sentencia universalmente válida.
Proof. Veamos que la regla de reemplazo es universal. Usaremos la Regla de Inducción desde 0. Para cada \(k\in\omega\) sea \(\mathrm{Enu}_{k}\) el siguiente enunciado:
adhocprefix\(\mathrm{Enu}_{k}\):adhocsufix Sean \(t,s\in T^{\tau}\) y \(r\in T_{k}^{\tau}\). Sea \(\tilde{r}\) el resultado de reemplazar algunas (posiblemente \(0\)) ocurrencias de \(t\) en \(r\) por \(s.\) Sea \(\mathbf{A}\) una \(\tau\)-álgebra tal que \(t^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=s^{\mathbf{A}}[\vec{a}]\), para cada \(\vec{a}\in A^{\mathbf{N}}\). Entonces \(r^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=\tilde{r}^{\mathbf{A}}[\vec{a}]\), para cada \(\vec{a}\in A^{\mathbf{N}}\).
Hagamos entonces lo que nos encomienda la Regla de Inducción desde \(0\).
Prueba de que \(\mathrm{Enu}_{0}\) es verdadero. Supongamos \(t,s\in T^{\tau}\) y \(r\in T_{0}^{\tau}\). Sea \(\tilde{r}\) el resultado de reemplazar algunas (posiblemente \(0\)) ocurrencias de \(t\) en \(r\) por \(s.\) Sea \(\mathbf{A}\) una \(\tau\)-álgebra tal que \(t^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=s^{\mathbf{A}}[\vec{a}]\), para cada \(\vec{a}\in A^{\mathbf{N}}\). Si reemplazamos \(0\) ocurrencias de \(t\) en \(r\) para obtener \(\tilde{r}\) es claro que \(\tilde{r}=r\) por lo cual se cumple la conclusión de \(\mathrm{Enu}_{0}\). Si efectivamente reemplazamos alguna ocurrencia de \(t\) en \(r\) para obtener \(\tilde{r}\), los ítems (a) y (b) del Lema de Ocurrencias de Términos en Términos nos dicen que \(t\) debe ser igual a \(r\) por lo cual \(\tilde{r}=s\). Pero entonces es claro que \(r^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=\tilde{r}^{\mathbf{A}}[\vec{a}]\), para cada \(\vec{a}\in A^{\mathbf{N}}\) ya que \(r=t\) y por hipótesis \(t^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=s^{\mathbf{A}}[\vec{a}]\), para cada \(\vec{a}\in A^{\mathbf{N}}\).
Prueba de que si \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero entonces \(\mathrm{Enu}_{k+1}\) lo es. Supongamos entonces que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\). Sean \(t,s\in T^{\tau}\) y \(r\in T_{k+1}^{\tau}\). Sea \(\tilde{r}\) el resultado de reemplazar algunas (posiblemente \(0\)) ocurrencias de \(t\) en \(r\) por \(s.\) Sea \(\mathbf{A}\) una \(\tau\)-álgebra tal que \(t^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=s^{\mathbf{A}}[\vec{a}]\), para cada \(\vec{a}\in A^{\mathbf{N}}\). Por definición de \(T_{k+1}^{\tau}\) hay dos casos.
Caso \(r\in T_{k}^{\tau}\). Trivial ya que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\).
Caso \(r=f(r_{1},...,r_{n})\), con \(r_{1},...,r_{n}\in T_{k}^{\tau}\) y \(f\in\mathcal{F}_{n}\). Si \(t=r\) es claro que vale la conclusón de \(\mathrm{Enu}_{k+1}\). Supongamos entonces que \(t\neq r\). Por (c) del Lema de Ocurrencias de Términos en Términos tenemos que las ocurrencias de \(t\) en \(r\) suceden dentro de los \(r_{i}\). O sea que \(\tilde{r}=f(\tilde{r}_{1},...,\tilde{r}_{n})\), donde cada \(\tilde{r}_{i}\) es el resultado de reemplazar algunas ocurrencias de \(t\) en \(r_{i}\) por \(s\). Por \(\mathrm{Enu}_{k}\) tenemos que \(r_{i}^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=\tilde{r}_{i}^{\mathbf{A}}[\vec{a}]\), para \(i=1,...,n\). O sea que para \(\vec{a}\in A^{\mathbf{N}}\) se tiene que: \[\begin{array}{cclll} r^{\mathbf{A}}[\vec{a}] & = & f(r_{1},...,r_{n})^{\mathbf{A}}[\vec{a}]\\ & = & f^{\mathbf{A}}(r_{1}^{\mathbf{A}}[\vec{a}],...,r_{n}^{\mathbf{A}}[\vec{a}])\\ & = & f^{\mathbf{A}}(\tilde{r}_{1}^{\mathbf{A}}[\vec{a}],...,\tilde{r}_{n}^{\mathbf{A}}[\vec{a}])\\ & = & f(\tilde{r}_{1},...,\tilde{r}_{n})^{\mathbf{A}}[\vec{a}]\\ & = & \tilde{r}^{\mathbf{A}}[\vec{a}] \end{array}\] lo cual nos dice que \(\mathrm{Enu}_{k+1}\) es verdadero.
Veamos que la regla de substitución es universal. Supongamos \(\mathbf{A}\models t\approx s\), con \(t=_{d}t(x_{1},...,x_{n})\) y \(s=_{d}s(x_{1},...,x_{n})\). Veremos que entonces \(\mathbf{A}\models t(p_{1},...,p_{n})\approx s(p_{1},...,p_{n})\). Sea \(m\) el menor elemento de \(\omega\) tal que podamos hacer las declaraciones \(p_{i}=_{d}p_{i}(x_{1},...,x_{m})\), para cada \(i=1,...,n.\) Notar que \(t(p_{1},...,p_{n})\approx s(p_{1},...,p_{n})\) es la sentencia \[\forall x_{1}...\forall x_{m}(t(p_{1},...,p_{n})\equiv s(p_{1},...,p_{n}))\] Por (b) del Teorema de Reemplazo para Términos, podemos hacer las declaraciones \[\begin{aligned} t(p_{1},...,p_{n}) & =_{d}t(p_{1},...,p_{n})(x_{1},...,x_{m})\\ s(p_{1},...,p_{n}) & =_{d}s(p_{1},...,p_{n})(x_{1},...,x_{m}) \end{aligned}\] O sea que \(\mathbf{A}\models t(p_{1},...,p_{n})\approx s(p_{1},...,p_{n})\) si y solo si \(t(p_{1},...,p_{n})^{\mathbf{A}}\left[\vec{a}\right]=s(p_{1},...,p_{n})^{\mathbf{A}}\left[\vec{a}\right]\), para cada \(\vec{a}\in A^{m}\). Pero por (c) del mismo teorema tenemos que \[\begin{array}{rcl} t(p_{1},...,p_{n})^{\mathbf{A}}\left[\vec{a}\right] & = & t^{\mathbf{A}}\left[p_{1}^{\mathbf{A}}\left[\vec{a}\right],...,p_{n}^{\mathbf{A}}\left[\vec{a}\right]\right]\\ & = & s^{\mathbf{A}}\left[p_{1}^{\mathbf{A}}\left[\vec{a}\right],...,p_{n}^{\mathbf{A}}\left[\vec{a}\right]\right]\\ & = & s(p_{1},...,p_{n})^{\mathbf{A}}\left[\vec{a}\right] \end{array}\] para cada \(\vec{a}\in A^{m}\), lo cual nos dice que \(\mathbf{A}\models t(p_{1},...,p_{n})\approx s(p_{1},...,p_{n})\).
3.10 (Teorema de Corrección Ecuacional). Si \((\Sigma,\tau)\vdash_{ec}p\approx q\), entonces \((\Sigma,\tau)\models p\approx q\).
Proof. Sea \(\boldsymbol{\varphi}\) una prueba ecuacional de \(p\approx q\) en \((\Sigma,\tau)\). Probaremos que \((\Sigma,\tau)\models p\approx q\). Sea \(\mathbf{A}\) una \(\tau\)-álgebra la cual es un modelo de \((\Sigma,\tau)\). Probaremos que \(\mathbf{A}\models p\approx q\). Usaremos la Regla de Inducción Completa desde 1 hasta \(n(\boldsymbol{\varphi})\). Para cada \(k\in\{1,...,n(\boldsymbol{\varphi})\}\) sea \(\mathrm{Enu}_{k}\) el siguiente enunciado:
adhocprefix\(\mathrm{Enu}_{k}\):adhocsufix \(\mathbf{A}\models\boldsymbol{\varphi}_{k}\)
Ya que \(\boldsymbol{\varphi}_{n(\boldsymbol{\varphi})}=p\approx q\) tenemos que \(\mathrm{Enu}_{n(\boldsymbol{\varphi})}=\mathbf{A}\models p\approx q\). Hagamos entonces lo que nos encomienda la Regla de Inducción Completa desde \(1\) hasta \(n(\boldsymbol{\varphi}).\)
Prueba de que \(\mathrm{Enu}_{1}\) es verdadero. Nótese que por la definición de prueba ecuacional, \(\boldsymbol{\varphi}_{1}=x_{1}\approx x_{1}\) o \(\boldsymbol{\varphi}_{1}\in\Sigma\). En los dos casos es claro que \(\mathbf{A}\models\boldsymbol{\varphi}_{1}\) por lo que \(\mathrm{Enu}_{1}\) es verdadero.
Prueba de que para cada \(k\in\{1,...,n(\boldsymbol{\varphi})-1\}\), si \(\mathrm{Enu}_{j}\) es verdadero para \(j\in\{1,...,k\}\), entonces \(\mathrm{Enu}_{k+1}\) lo es. Supongamos entonces que \(\mathrm{Enu}_{j}\) es verdadero para \(j\in\{1,...,k\}\). Probaremos que \(\mathbf{A}\models\boldsymbol{\varphi}_{k+1}\). Por la definición de prueba ecuacional tenemos que se da alguna de las siguientes
adhocprefix(a)adhocsufix \(\boldsymbol{\varphi}_{k+1}=x_{1}\approx x_{1}\)
adhocprefix(b)adhocsufix \(\boldsymbol{\varphi}_{k+1}\in\Sigma\)
adhocprefix(c)adhocsufix hay \(i,j<k+1\) tales que \(\boldsymbol{\varphi}_{k+1}\) se deduce por la regla de transitividad ecuacional a partir de \(\boldsymbol{\varphi}_{i}\) y \(\boldsymbol{\varphi}_{j}\)
adhocprefix(d)adhocsufix hay \(i<k+1\) tal que \(\boldsymbol{\varphi}_{k+1}\) se deduce por la regla de simetría ecuacional a partir de \(\boldsymbol{\varphi}_{i}\)
adhocprefix(e)adhocsufix hay \(i<k+1\) tal que \(\boldsymbol{\varphi}_{k+1}\) se deduce por la regla de substitución ecuacional a partir de \(\boldsymbol{\varphi}_{i}\)
adhocprefix(f)adhocsufix hay \(i<k+1\) tal que \(\boldsymbol{\varphi}_{k+1}\) se deduce por la regla de reemplazo ecuacional a partir de \(\boldsymbol{\varphi}_{i}\)
Supongamos por ejemplo se da (c). Ya que \(i,j\in\{1,...,k\}\) tenemos que \(\mathrm{Enu}_{i}\) y \(\mathrm{Enu}_{j}\) son verdaderos. Es decir \(\mathbf{A}\models\boldsymbol{\varphi}_{i}\) y \(\mathbf{A}\models\boldsymbol{\varphi}_{j}\). El lema anterior entonces nos garantiza que \(\mathbf{A}\models\boldsymbol{\varphi}_{k+1}\). Dejamos al lector los otros casos.
Para probar que el concepto de prueba ecuacional es completo nos harán falta algunos resultados básicos que tienen interés por si mismos.
Dado un tipo algebraico \(\tau\), hay una forma natural de definir un álgebra \(\mathbf{T}^{\tau}\) cuyo universo es \(T^{\tau}\), de la siguiente manera
adhocprefix(1)adhocsufix \(c^{\mathbf{T}^{\tau}}=c\), para cada \(c\in\mathcal{C}\)
adhocprefix(2)adhocsufix \(f^{\mathbf{T}^{\tau}}(t_{1},...,t_{n})=f(t_{1},...,t_{n})\), para todo \(t_{1},...,t_{n}\in T^{\tau}\), \(f\in\mathcal{F}_{n}\).
Llamaremos a \(\mathbf{T}^{\tau}\) el álgebra de términos de tipo \(\tau\). Veamos un ejemplo. Supongamos \(\tau=(\emptyset,\{f\},\emptyset,\{(f,1)\}).\) Entonces el universo de \(\mathbf{T}^{\tau}\) es \[\{x_{1},f(x_{1}),f(f(x_{1})),...\}\cup\{x_{2},f(x_{2}),f(f(x_{2})),...\}\cup...\]
La función que interpreta a \(f\) en \(\mathbf{T}^{\tau}\) es la que a cada elemento del conjunto anterior le asigna el primer elemento que esta a su derecha. Nótese entonces que \(\mathbf{T}^{\tau}\) resulta isomorfa al álgebra \(\mathbf{A}\) definida por \[\begin{aligned} A & =\mathbf{N}\times\mathbf{N}\\ f^{\mathbf{A}}(n,m) & =(n,m+1) \end{aligned}\]
3.61. Dados \(t_{1},...,t_{n}\in T^{\tau}\), con \(n\in\omega\) y \(t=_{d}t(x_{1},...,x_{n})\in T^{\tau}\), se tiene que \(t^{\mathbf{T}^{\tau}}[t_{1},...,t_{n}]=t(t_{1},...,t_{n})\).
Proof. Usaremos la Regla de Inducción desde 0. Para cada \(k\in\omega\) sea \(\mathrm{Enu}_{k}\) el siguiente enunciado:
adhocprefix\(\mathrm{Enu}_{k}\):adhocsufix Dados \(t_{1},...,t_{n}\in T^{\tau}\), con \(n\in\omega\) y \(t=_{d}t(x_{1},...,x_{n})\in T_{k}^{\tau}\), se tiene que \(t^{\mathbf{T}^{\tau}}[t_{1},...,t_{n}]=t(t_{1},...,t_{n})\).
Hagamos entonces lo que nos encomienda la Regla de Inducción desde \(0\).
Prueba de que \(\mathrm{Enu}_{0}\) es verdadero. Hay dos casos
Caso \(t=_{d}t(x_{1},...,x_{n})=c\in\mathcal{C}\). Entonces tenemos \[\begin{array}{cll} t^{\mathbf{T}^{\tau}}[t_{1},...,t_{n}] & = & c^{\mathbf{T}^{\tau}}\\ & = & c\\ & = & t(t_{1},...,t_{n}) \end{array}\] Caso \(t=_{d}t(x_{1},...,x_{n})=x_{i}\), para algún \(i\). Entonces tenemos \[\begin{array}{cll} t^{\mathbf{T}^{\tau}}[t_{1},...,t_{n}] & = & t_{i}\\ & = & t(t_{1},...,t_{n}) \end{array}\] Prueba de que si \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero entonces \(\mathrm{Enu}_{k+1}\) lo es. Supongamos entonces que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\). Sean \(t_{1},...,t_{n}\in T^{\tau}\) y \(t=_{d}t(x_{1},...,x_{n})\in T_{k+1}^{\tau}\). Por definicion de \(T_{k+1}^{\tau}\) hay dos casos.
Caso \(t=_{d}t(x_{1},...,x_{n})\in T_{k}^{\tau}\). Trivial ya que podemos aplicar \(\mathrm{Enu}_{k}\).
Caso \(t=f(s_{1},...,s_{m})\), con \(f\in\mathcal{F}_{m}\), \(m\geq1\) y \(s_{1},...,s_{m}\in T_{k}^{\tau}\). Por la Convención Notacional 3, tenemos declarados también \(s_{1}=_{d}s_{1}(x_{1},...,x_{n}),...,s_{m}=_{d}s_{m}(x_{1},...,x_{n})\). O sea que \(\mathrm{Enu}_{k}\) nos dice que \[s_{i}^{\mathbf{T}^{\tau}}[t_{1},...,t_{n}]=s_{i}(t_{1},...,t_{n}),\text{ }i=1,...,m\] Tenemos entonces que \[\begin{array}{lll} t^{\mathbf{T}^{\tau}}[t_{1},...,t_{n}] & = & f(s_{1},...,s_{m})^{\mathbf{T}^{\tau}}[t_{1},...,t_{n}]\\ & = & f^{\mathbf{T}^{\tau}}(s_{1}^{\mathbf{T}^{\tau}}[t_{1},...,t_{n}],...,s_{m}^{\mathbf{T}^{\tau}}[t_{1},...,t_{n}])\\ & = & f^{\mathbf{T}^{\tau}}(s_{1}(t_{1},...,t_{n}),...,s_{m}(t_{1},...,t_{n}))\\ & = & f(s_{1}(t_{1},...,t_{n}),...,s_{m}(t_{1},...,t_{n}))\\ & = & t(t_{1},...,t_{n}) \end{array}\] por lo cual vale \(\mathrm{Enu}_{k+1}\).
El álgebra de términos tiene la siguiente propiedad fundamental:
3.62 (Universal Mapping Property). Si \(\mathbf{A}\) es cualquier \(\tau\)-álgebra y \(F:Var\rightarrow A\), es una función cualquiera, entonces \(F\) puede ser extendida a un homomorfismo \(\bar{F}:\mathbf{T}^{\tau}\rightarrow\mathbf{A}\).
Proof. Definamos \(\bar{F}\) de la siguiente manera: \[\bar{F}(t)=t^{\mathbf{A}}[(F(x_{1}),F(x_{2}),...)]\] Es claro que \(\bar{F}\) extiende a \(F\). Veamos que es un homomorfismo. Dada \(c\in\mathcal{C}\), tenemos que \[\begin{array}{lll} \bar{F}(c^{\mathbf{T}^{\tau}}) & = & \bar{F}(c)\\ & = & c^{\mathbf{A}}[(F(x_{1}),F(x_{2}),...)]\\ & = & c^{\mathbf{A}} \end{array}\] Dados \(f\in\mathcal{F}_{n}\), \(t_{1},...,t_{n}\in T^{\tau}\) tenemos que \[\begin{array}{lll} \bar{F}(f^{\mathbf{T}^{\tau}}(t_{1},...,t_{n})) & = & \bar{F}(f(t_{1},...,t_{n}))\\ & = & f(t_{1},...,t_{n})^{\mathbf{A}}[(F(x_{1}),F(x_{2}),...)]\\ & = & f^{\mathbf{A}}(t_{1}^{\mathbf{A}}[(F(x_{1}),F(x_{2}),...)],...,t_{n}^{\mathbf{A}}[(F(x_{1}),F(x_{2}),...)])\\ & = & f^{\mathbf{A}}(\bar{F}(t_{1}),...,\bar{F}(t_{n})) \end{array}\] con lo cual hemos probado que \(\bar{F}\) es un homomorfismo
3.11 (Teorema de Completitud Ecuacional). Sea \((\Sigma,\tau)\) una teoría ecuacional. Si \((\Sigma,\tau)\models p\approx q\), entonces \((\Sigma,\tau)\vdash_{ec}p\approx q.\)
Proof. Supongamos \((\Sigma,\tau)\models p\approx q.\) Sea \(\theta\) la siguiente relación binaria sobre \(T^{\tau}\): \[\theta=\{(t,s):(\Sigma,\tau)\vdash_{ec}t\approx s\}.\] Dejamos al lector probar que \(\theta\) es una congruencia de \(\mathbf{T}^{\tau}\). Veamos que
adhocprefix(*)adhocsufix \(t^{\mathbf{T}^{\tau}/\theta}[t_{1}/\theta,...,t_{n}/\theta]=t(t_{1},...,t_{n})/\theta\), para todo \(t_{1},...,t_{n}\), \(t=_{d}t(x_{1},...,x_{n})\)
Por Corolario 3.2 tenemos que \[t^{\mathbf{T}^{\tau}/\theta}[t_{1}/\theta,...,t_{n}/\theta]=t^{\mathbf{T}^{\tau}}[t_{1},...,t_{n}]/\theta\] Pero por Lema 3.61 tenemos que \(t^{\mathbf{T}^{\tau}}[t_{1},...,t_{n}]=t(t_{1},...,t_{n})\) por lo cual (*) es verdadera.
Veamos que \(\mathbf{T}^{\tau}/\theta\models\Sigma.\) Sea \(t\approx s\) un elemento de \(\Sigma\), con \(t=_{d}t(x_{1},...,x_{n})\) y \(s=_{d}s(x_{1},...,x_{n}).\) Veremos que \(\mathbf{T}^{\tau}/\theta\models t\approx s\), es decir veremos que \[t^{\mathbf{T}^{\tau}/\theta}[t_{1}/\theta,...,t_{n}/\theta]=s^{\mathbf{T}^{\tau}/\theta}[t_{1}/\theta,...,t_{n}/\theta]\] para todo \(t_{1}/\theta,...,t_{n}/\theta\in T^{\tau}/\theta\). Nótese que \[(\Sigma,\tau)\vdash_{ec}t(t_{1},...,t_{n})\approx s(t_{1},...,t_{n})\] por lo cual \(t(t_{1},...,t_{n})/\theta=s(t_{1},...,t_{n})/\theta.\) Por (*) tenemos entonces \[t^{\mathbf{T}^{\tau}/\theta}[t_{1}/\theta,...,t_{n}/\theta]=t(t_{1},...,t_{n})/\theta=s(t_{1},...,t_{n})/\theta=s^{\mathbf{T}^{\tau}/\theta}[t_{1}/\theta,...,t_{n}/\theta],\] lo cual nos dice que \(\mathbf{T}^{\tau}/\theta\) satisface la identidad \(t\approx s.\)
Ya que \(\mathbf{T}^{\tau}/\theta\models\Sigma\), por hipótesis tenemos que \(\mathbf{T}^{\tau}/\theta\models p\approx q.\) Es decir que si \(p=_{d}p(x_{1},...,x_{n})\) y \(q=_{d}q(x_{1},...,x_{n})\) tenemos que \(p^{\mathbf{T}^{\tau}/\theta}[t_{1}/\theta,...,t_{n}/\theta]=q^{\mathbf{T}^{\tau}/\theta}[t_{1}/\theta,...,t_{n}/\theta]\), para todo \(t_{1},...,t_{n}\in T^{\tau}\). En particular, tomando \(t_{i}=x_{i}\), \(i=1,...,n\) tenemos que \[p^{\mathbf{T}^{\tau}/\theta}[x_{1}/\theta,...,x_{n}/\theta]=q^{\mathbf{T}^{\tau}/\theta}[x_{1}/\theta,...,x_{n}/\theta]\] lo cual por (*) nos dice que \(p/\theta=q/\theta\), produciendo \((\Sigma,\tau)\vdash_{ec}p\approx q\).
3.9. Sea \((\Sigma,\tau)\) una teoría ecuacional. Si \((\Sigma,\tau)\vdash p\approx q\), entonces \((\Sigma,\tau)\vdash_{ec}p\approx q\).
Sea \[Verd_{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}=\{\varphi\in S^{\tau_{A}}:\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\models\varphi\}.\] Nótese que por el Teorema de Corrección tenemos que todo teorema de \(Arit\) pertenece a \(Verd_{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}\). Como puede notarse a medida que uno se va familiarizando con la teoría \(Arit\), todos los resultados clásicos de la aritmética los cuales pueden ser enunciados por medio de una sentencia de \(Verd_{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}\) son en realidad teoremas de \(Arit\). Sin embargo Godel probo en su famoso Teorema de Incompletitud (1931) que hay una sentencia de \(Verd_{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}\) la cual no es un teorema de \(Arit\). Por años nadie fue capaz de dar una sentencia de \(Verd_{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}\) la cual tenga un genuino interés aritmético y la cual no sea un teorema de \(Arit\). Recién en 1977 Paris y Harrington dieron el primer ejemplo de una tal sentencia. Una ves sabido que los axiomas de \(Arit\) no son suficientemente poderosos como para probar toda sentencia verdadera en \(\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\), una pregunta interesante es
adhocprefix-adhocsufix Hay un conjunto "razonable" de axiomas \(\Gamma\subseteq Verd_{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}\) tal que toda sentencia de \(Verd_{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}\) es un teorema de \((\Gamma,\tau_{A})\)
Una respuesta negativa a este problema también es dada por el Teorema de Incompletitud de Godel. En esta sección daremos una prueba basada en las ideas de la computabilidad.
En esta sección estudiaremos la recursividad de la sintaxis de \(\tau_{A}\). Los resultados obtenidos valen para un tipo cualquiera y hemos elegido a \(\tau_{A}\) solo para facilitar la exposición.
Analizaremos la recursividad del concepto de prueba formal en una teoría de la forma \((\Sigma,\tau_{A})\), donde \(\Sigma\) es un conjunto recursivamente enumerable. Para hacer mas concreto el tratamiento supondremos que los nombres de constante auxiliares en las pruebas formales estarán siempre en el conjunto \[Aux=\{\triangle\Box\triangle,\triangle\Box\Box\triangle,\triangle\Box\Box\Box\triangle,...\}\] Esto no afectara nuestro análisis ya que es claro que toda prueba formal de una teoría de la forma \((\Sigma,\tau_{A})\) puede ser reemplazada por una que sus nombres de constante auxiliares estén en \(Aux\). Es decir que las sentencias involucradas en las pruebas formales que consideraremos serán sentencias de tipo \(\tau_{A}^{e}\) donde \[\tau_{A}^{e}=(\{0,1\}\cup Aux,\{+^{2},.^{2}\},\{\leq^{2}\},a)\] Sea \(\mathcal{A}\) el alfabeto formado por los siguientes símbolos \[\forall\ \ \exists\ \ \lnot\ \ \vee\ \ \wedge\ \ \rightarrow\ \ \leftrightarrow\ \ (\ \ )\ \ ,\ \ \equiv\ \ 0\ \ 1\ \ +\ \ .\ \ \leq\ \ \triangle\ \ \Box\ \ \mathsf{X}\ \ \mathit{0}\ \ \mathit{1}\ \ ...\ \ \mathit{9}\ \ \mathbf{0}\ \ \mathbf{1}\ \ ...\ \ \mathbf{9}\] Nótese que los símbolos del alfabeto \(\mathcal{A}\) son justamente los símbolos que ocurren en las fórmulas y términos de tipo \(\tau_{A}^{e}\), es decir que \(T^{\tau_{A}^{e}}\) y \(F^{\tau_{A}^{e}}\) son conjuntos \(\mathcal{A}\)-mixtos. Mas aun tenemos:
3.63. Los conjuntos \(T^{\tau_{A}^{e}}\), \(F^{\tau_{A}^{e}}\), \(T^{\tau_{A}}\) y \(F^{\tau_{A}}\) son \(\mathcal{A}\)-recursivos.
Proof. Nótese que los conjuntos \(T^{\tau_{A}^{e}}\), \(F^{\tau_{A}^{e}}\), \(T^{\tau_{A}}\) y \(F^{\tau_{A}}\) son \(\mathcal{A}\)-efectivamente computables (justifique). Entonces la Tesis de Church nos garantiza que dichos conjuntos son \(\mathcal{A}\)-recursivos.
En realidad dichos conjuntos son \(\mathcal{A}\)-recursivos primitivos. Veamos por ejemplo que \(T^{\tau_{A}^{e}}\) es \(\mathcal{A}\)-recursivo primitivo. Fijemos un orden total \(\leq\) sobre \(\mathcal{A}\). Sea \(P=\lambda x[\ast^{\leq}(x)\in T^{\tau_{A}^{e}}]\). Nótese que \(P(0)=0\) y \(P(x+1)=1\) si y solo si se da alguna de las siguientes
adhocprefix-adhocsufix \(\ast^{\leq}(x+1)\in\{0,1\}\cup Aux\)
adhocprefix-adhocsufix \((\exists u,v\in\omega)\ast^{\leq}(x+1)=+(\ast^{\leq}(u),\ast^{\leq}(v))\wedge(P^{\downarrow}(x))_{u+1}\wedge(P^{\downarrow}(x))_{v+1}\)
adhocprefix-adhocsufix \((\exists u,v\in\omega)\ast^{\leq}(x+1)=\mathrm{.}(\ast^{\leq}(u),\ast^{\leq}(v))\wedge(P^{\downarrow}(x))_{u+1}\wedge(P^{\downarrow}(x))_{v+1}\)
Por el Lema 4.37 tenemos que \(P\) es \(\mathcal{A}\)-p.r., por lo cual \(\chi_{T^{\tau_{A}^{e}}}^{\mathcal{A}^{\ast}}=P\circ\#^{\leq}\) lo es. Nótese que \[t\in T^{\tau_{A}}\text{ sii }t\in T^{\tau_{A}^{e}}\wedge\triangle\text{ no ocurre en }t\wedge\Box\text{ no ocurre en }t\] por lo cual \(T^{\tau_{A}}\) es \(\mathcal{A}\)-p.r.
Recordemos que en la Sección Variables Libres definimos cuando \("v\mathit{\ ocurre\ libremente\ en\ }\varphi\mathit{\ a\ partir\ de\ }i"\), para el caso en que \(v\in Var\), \(\varphi\in F^{\tau}\) y \(i\in\{1,...,\left\vert \varphi\right\vert \}\). Extendamos esta definición diciendo que cuando \(v\in Var\), \(\varphi\in F^{\tau}\) y \(i\in\omega-\{1,...,\left\vert \varphi\right\vert \}\), se da que \(v\mathit{\ no\ ocurre\ libremente\ en\ }\varphi\mathit{\ a\ partir\ de\ }i\).
3.64. Los siguientes predicados son \(\mathcal{A}\)-r.
adhocprefix(1)adhocsufix \("v\) ocurre libremente en \(\varphi\) a partir de \(i":\omega\times Var\times F^{\tau_{A}^{e}}\rightarrow\omega\)
adhocprefix(2)adhocsufix \("v\in Li(\varphi)":Var\times F^{\tau_{A}^{e}}\rightarrow\omega\)
adhocprefix(3)adhocsufix \("v\) es sustituible por \(t\) en \(\varphi":Var\times T^{\tau_{A}^{e}}\times F^{\tau_{A}^{e}}\rightarrow\omega\)
Proof. Nótese que los predicados dados en (1), (2) y (3) son \(\mathcal{A}\)-efectivamente computables (justifique). Entonces la Tesis de Church nos garantiza que dichos predicados son \(\mathcal{A}\)-recursivos.
En realidad dichos predicados son \(\mathcal{A}\)-p.r.. Veamos por ejemplo que \(P:\omega\times Var\times F^{\tau_{A}^{e}}\rightarrow\omega\), dado por \[P(i,v,\varphi)=\left\{ \begin{array}{ccl} 1 & & \text{si }v\mathit{\ }\text{ocurre libremente en}\mathit{\ }\varphi\text{ a partir de }i\\ 0 & & \text{caso contrario} \end{array}\right.\] es \(\mathcal{A}\)-p.r.. Sea \(R:\mathbf{N}\times Var\rightarrow\omega\) el predicado dado por \(R(x,v)=1\) si y solo si \(\ast^{\leq}((x)_{1})\in F^{\tau_{A}^{e}}\) y \(v\mathit{\ }\)ocurre libremente en\(\mathit{\ }\ast^{\leq}((x)_{1})\) a partir de \((x)_{2}\). Sea \(\bar{R}=R\cup C_{0}^{1,1}|_{\{0\}\times Var}\). \(\mathrm{Nex}=\{\wedge,\vee,\rightarrow,\leftrightarrow\}\). Nótese que \(F_{0}^{\tau_{A}^{e}}\) es \(\mathcal{A}\)-p.r. ya que \[F_{0}^{\tau_{A}^{e}}=F^{\tau_{A}^{e}}\cap(\mathcal{A}-\{\forall,\exists,\lnot,\vee,\wedge,\rightarrow,\leftrightarrow\})^{\ast}\] Nótese que \(\bar{R}(0,v)=0\), para cada \(v\in Var\) y que \(\bar{R}(x+1,v)=1\) si y solo si \((x+1)_{2}\geq1\) y se da alguna de las siguientes:
adhocprefix-adhocsufix \(\ast^{\leq}((x+1)_{1})\in F_{0}^{\tau_{A}^{e}}\wedge v\) ocurre en \(\ast^{\leq}((x+1)_{1})\) a partir de \((x+1)_{2}\)
adhocprefix-adhocsufix \((\exists\varphi_{1},\varphi_{2}\in F^{\tau_{A}^{e}})(\exists\eta\in\mathrm{Nex})\ast^{\leq}((x+1)_{1})=(\varphi_{1}\eta\varphi_{2})\wedge\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left((\bar{R}^{\downarrow}(x,v))_{\left\langle \#^{\leq}(\varphi_{1}),(x+1)_{2}-1\right\rangle +1}=1\vee(\bar{R}^{\downarrow}(x,v))_{\left\langle \#^{\leq}(\varphi_{2}),(x+1)_{2}-\left\vert (\varphi_{1}\eta\right\vert \right\rangle +1}=1\right)\)
adhocprefix-adhocsufix \((\exists\varphi_{1}\in F^{\tau_{A}^{e}})\ast^{\leq}((x+1)_{1})=\lnot\varphi_{1}\wedge(\bar{R}^{\downarrow}(x,v))_{\left\langle \#^{\leq}(\varphi_{1}),(x+1)_{2}-1\right\rangle +1}=1\)
adhocprefix-adhocsufix \((\exists\varphi_{1}\in F^{\tau_{A}^{e}})(\exists w\in Var)(Q\in\{\forall,\exists\})\;w\neq v\wedge\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ast^{\leq}((x+1)_{1})=Qw\varphi_{1}\wedge(\bar{R}^{\downarrow}(x,v))_{\left\langle \#^{\leq}(\varphi_{1}),(x+1)_{2}-\left\vert (Qw\right\vert \right\rangle +1}=1\)
Es decir que por el Lema 4.37 tenemos que \(\bar{R}\) es \(\mathcal{A}\)-p.r.. Nótese que para \((i,v,\varphi)\in\omega\times Var\times F^{\tau_{A}^{e}}\), tenemos \(P(i,v,\varphi)=\bar{R}(\left\langle \#^{\leq}(\varphi),i\right\rangle ,v)\). Ahora es fácil obtener la función \(P\) haciendo composiciones adecuadas con \(\bar{R}\).
Dados \(v\in Var\) y \(t,s\in T^{\tau_{A}^{e}}\), usaremos \(\downarrow_{v}^{t}(s)\) para denotar el resultado de reemplazar simultáneamente cada ocurrencia de \(v\) en \(s\) por \(t\). Similarmente, si \(\varphi\in F^{\tau_{A}^{e}}\), usaremos \(\downarrow_{v}^{t}(\varphi)\) para denotar el resultado de reemplazar simultáneamente cada ocurrencia libre de \(v\) en \(\varphi\) por \(t\).
3.65. Las funciones \(\lambda svt[\downarrow_{v}^{t}(s)]\) y \(\lambda\varphi vt[\downarrow_{v}^{t}(\varphi)]\) son \(\mathcal{A}\)-r.
Proof. Nótese que las funciones \(\lambda svt[\downarrow_{v}^{t}(s)]\) y \(\lambda\varphi vt[\downarrow_{v}^{t}(\varphi)]\) son \(\mathcal{A}\)-efectivamente computables (justifique). Entonces la Tesis de Church nos garantiza que dichas funciones son \(\mathcal{A}\)-recursivas.
En realidad son \(\mathcal{A}\)-p.r.. Veamos por ejemplo que \(\lambda svt[\downarrow_{v}^{t}(s)]\) es \(\mathcal{A}\)-p.r.. Sea \(\leq\) un orden total sobre \(\mathcal{A}\). Sea \(h:\omega\times Var\times T^{\tau_{A}^{e}}\rightarrow\omega\) dada por \[h(x,v,t)=\left\{ \begin{array}{ccc} \#^{\leq}(\downarrow_{v}^{t}(\ast^{\leq}(x))) & & \text{si }\ast^{\leq}(x)\in T^{\tau_{A}^{e}}\\ 0 & & \text{caso contrario} \end{array}\right.\] Sea \(P:\mathbf{N}\times\omega\times Var\times T^{\tau_{A}^{e}}\times\mathcal{A}^{\ast}\rightarrow\omega\) tal que \(P(A,x,v,t,\alpha)=1\) si y solo si se da alguna de las siguientes
adhocprefix-adhocsufix \(\ast^{\leq}(x+1)\notin T^{\tau_{A}^{e}}\wedge\alpha=\varepsilon\)
adhocprefix-adhocsufix \(\ast^{\leq}(x+1)=v\wedge\alpha=t\)
adhocprefix-adhocsufix \(\ast^{\leq}(x+1)\in(\{0,1\}\cup Aux)-\{v\}\wedge\alpha=\ast^{\leq}(x+1)\)
adhocprefix-adhocsufix \((\exists r,s\in T^{\tau_{A}^{e}})\ast^{\leq}(x+1)=+(r,s)\wedge\alpha=+(\ast^{\leq}((A)_{\#^{\leq}(r)+1}),\ast^{\leq}((A)_{\#^{\leq}(s)+1}))\)
adhocprefix-adhocsufix \((\exists r,s\in T^{\tau_{A}^{e}})\ast^{\leq}(x+1)=\mathrm{.}(r,s)\wedge\alpha=\mathrm{.}(\ast^{\leq}((A)_{\#^{\leq}(r)+1}),\ast^{\leq}((A)_{\#^{\leq}(s)+1}))\)
Sea \(\bar{P}=P\cup C_{0}^{2,2}|_{\{0\}\times\omega\times Var\times T^{\tau_{A}^{e}}\times\mathcal{A}^{\ast}}\). Nótese que \(\bar{P}(h^{\downarrow}(x,v,t),x,v,t,\alpha)=1\) si y solo si ya sea \(\ast^{\leq}(x+1)\notin T^{\tau_{A}^{e}}\) y \(\alpha=\varepsilon\) o \(\ast^{\leq}(x+1)\in T^{\tau_{A}^{e}}\) y \(\alpha=\mathrm{\downarrow}_{v}^{t}(\ast^{\leq}(x+1))\). Tenemos entonces \[\begin{aligned} h(0,v,t) & =0\\ h(x+1,v,t) & =\#^{\leq}(\min_{\alpha}^{\leq}\bar{P}(h^{\downarrow}(x,v,t),x,v,t,\alpha)), \end{aligned}\] por lo cual el Lema 4.37 nos dice que \(h\) es \(\mathcal{A}\)-p.r. Ahora es fácil obtener la función \(\lambda svt[\downarrow_{v}^{t}(s)]:T^{\tau_{A}^{e}}\times Var\times T^{\tau_{A}^{e}}\rightarrow T^{\tau_{A}^{e}}\) haciendo composiciones adecuadas con \(h\).
3.66. El predicado \(R:\mathcal{A}^{4}\rightarrow\omega\), dado por \[R(\alpha,\beta,\gamma,\zeta)=\left\{ \begin{array}{cccl} \begin{array}{c} 1\\ \;\ \end{array} & & & \begin{array}{cl} \text{si }\beta= & \text{resultado de reemplazar una}\\ & \text{ocurrencia de }\gamma\text{ en }\alpha\text{ por }\zeta \end{array}\\ 0 & & & \text{ caso contrario} \end{array}\right.\] es \(\mathcal{A}\)-r..
Proof. Nótese que el predicado \(R\) es \(\mathcal{A}\)-efectivamente computable. Entonces la Tesis de Church nos garantiza que \(R\) es \(\mathcal{A}\)-recursivo.
En realidad \(R\) es \(\mathcal{A}\)-p.r. y esto puede verse fácilmente ya que \(R(\alpha,\beta,\gamma,\zeta)=1\) sii existen \(\alpha_{1},\alpha_{2}\) tales que \(\alpha=\alpha_{1}\gamma\alpha_{2}\) y \(\beta=\alpha_{1}\zeta\alpha_{2}\).
3.67. Los conjuntos \(ModPon^{\tau_{A}^{e}}\), \(Elec^{\tau_{A}^{e}}\), \(Reem^{\tau_{A}^{e}}\), \(ConjInt^{\tau_{A}^{e}}\), \(ConjElim^{\tau_{A}^{e}}\), \(EquivInt^{\tau_{A}^{e}}\), \(DisjElim^{\tau_{A}^{e}}\), \(DisjInt^{\tau_{A}^{e}}\), \(EquivElim^{\tau_{A}^{e}}\), \(Generaliz^{\tau_{A}^{e}}\), \(Commut^{\tau_{A}^{e}}\), \(Trans^{\tau_{A}^{e}}\), \(Exist^{\tau_{A}^{e}}\), \(Evoc^{\tau_{A}^{e}}\), \(Absur^{\tau_{A}^{e}}\), \(DivPorCas^{\tau_{A}^{e}}\), \(Partic^{\tau_{A}^{e}}\) son \(\mathcal{A}\)-r..
Proof. Dejamos al lector una prueba vía la Tesis de Church. En realidad dichos conjuntos son \(\mathcal{A}\)-p.r.. Veremos, por ejemplo que \(Reem^{\tau_{A}^{e}}\) es \(\mathcal{A}\)-p.r.. Basta con ver que \(Reem1^{\tau_{A}^{e}}\) y \(Reem2^{\tau_{A}^{e}}\) lo son. Veremos que \(Reem2^{\tau_{A}^{e}}\) es \(\mathcal{A}\)-p.r.. Sea \(Q:F^{\tau_{A}^{e}}\times F^{\tau_{A}^{e}}\times F^{\tau_{A}^{e}}\rightarrow\omega\) el predicado tal que \(Q(\psi,\varphi,\sigma)=1\) si y solo si
adhocprefix adhocsufix \((\exists\alpha\in(\forall Var)^{\ast})(\exists\psi_{1},\psi_{2}\in F^{\tau_{A}^{e}})\ \psi=\alpha(\psi_{1}\leftrightarrow\psi_{2})\wedge\)
adhocprefix adhocsufix \(\ \ \ \ \ Li(\psi_{1})=Li(\psi_{2})\wedge\left((\forall v\in Var)\ v\notin Li(\psi_{1})\vee v\text{ ocurre en }\alpha\right)\)
adhocprefix adhocsufix \(\left((\forall v\in Var)\ v\text{ no ocurre en }\alpha\vee v\in Li(\psi_{1})\right)\wedge R(\varphi,\sigma,\psi_{1},\psi_{2})\)
(\(R\) es el predicado dado por el Lema 3.66). Es fácil ver que \(Q\) es \(\mathcal{A}\)-p.r. y que \(\chi_{Reem2^{\tau_{A}^{e}}}^{\mathcal{A}^{4}}=Q|_{S^{\tau_{A}^{e}}\times S^{\tau_{A}^{e}}\times S^{\tau_{A}^{e}}}\).
3.68. El predicado \("\psi\) se deduce de \(\varphi\) por generalización con constante \(c\), con respecto a \(\tau_{A}^{e}":S^{\tau_{A}^{e}}\times S^{\tau_{A}^{e}}\times Aux\rightarrow\omega\) es \(\mathcal{A}\)-r..
Proof. Es claro que el predicado en cuestión es \(\mathcal{A}\)-efectivamente computable (justifique). Por la Tesis de Church tenemos entonces que dicho predicado es \(\mathcal{A}\)-r.
Para probar que en realidad dicho predicado es \(\mathcal{A}\)-p.r., nótese que: \(\psi\) se deduce de \(\varphi\) por generalización con constante \(c\) si y solo si hay una fórmula \(\gamma\) y una variable \(v\) tales que
adhocprefix-adhocsufix \(Li(\gamma)=\{v\}\)
adhocprefix-adhocsufix \(c\) no ocurre en \(\gamma\)
adhocprefix-adhocsufix \(\varphi=\mathrm{\downarrow}_{v}^{c}(\gamma)\wedge\psi=\forall v\gamma\)
3.69. El predicado \("\psi\) se deduce de \(\varphi\) por elección con constante \(e\), con respecto a \(\tau_{A}^{e}":S^{\tau_{A}^{e}}\times S^{\tau_{A}^{e}}\times Aux\rightarrow\omega\) es \(\mathcal{A}\)-r..
Proof. Es claro que el predicado en cuestión es \(\mathcal{A}\)-efectivamente computable (justifique). Por la Tesis de Church tenemos entonces que dicho predicado es \(\mathcal{A}\)-r.
Dejamos al lector probar que en realidad dicho predicado es \(\mathcal{A}\)-p.r.
Recordemos que \[AxLog^{\tau_{A}^{e}}=\{\varphi\in S^{\tau_{A}^{e}}:\varphi\text{ es un axioma logico de tipo }\tau_{A}^{e}\}\]
3.70. \(AxLog^{\tau_{A}^{e}}\) es \(\mathcal{A}\)-r..
Proof. Es claro que el conjunto en cuestión es \(\mathcal{A}\)-efectivamente computable (justifique). Por la Tesis de Church tenemos entonces que dicho conjunto es \(\mathcal{A}\)-r.
Dejamos al lector probar que en realidad dicho conjunto es \(\mathcal{A}\)-p.r. La prueba es completamente análoga a la prueba de que \(\mathrm{Ins}^{\Sigma}\) es un conjunto \((\Sigma\cup\Sigma_{p})\)-p.r. (Lema 4.47)
3.71. Sea \(\Sigma\) un alfabeto finito. Sea \(S\subseteq\Sigma^{\ast}\) un conjunto \(\Sigma\)-r.. El conjunto \(S^{+}\) es \(\Sigma\)-r.
Proof. Ya que \(S\) es \(\Sigma\)-r., tenemos que \(S\) es \(\Sigma\)-efectivamente computable. Es fácil ver que entonces \(S^{+}\) es \(\Sigma\)-efectivamente computable. Por la Tesis de Church tenemos entonces que \(S\) es \(\Sigma\)-recursivo.
Ya que \(\alpha\in S^{+}\) si y solo si \[(\exists z\in\mathbf{N})(\forall i\in\mathbf{N})_{i\leq Lt(z)}\ast^{\leq}((z)_{i})\in S\wedge\alpha=\mathrm{\subset}_{i=1}^{Lt(z)}\ast^{\leq}((z)_{i})\] se puede probar también este lema sin usar la Tesis de Church. Dejamos al lector los detalles.
Recordemos que dada \(\boldsymbol{\varphi}\in S^{\tau_{A}^{e}+}\), usamos \(n(\boldsymbol{\varphi})\) y \(\boldsymbol{\varphi}_{1},...,\boldsymbol{\varphi}_{n(\boldsymbol{\varphi})}\) para denotar los únicos \(n\) y \(\varphi_{1},...,\varphi_{n}\) tales que \(\boldsymbol{\varphi}=\varphi_{1}...\varphi_{n}\) (la unicidad es garantizada en Lema 3.40). Extendamos esta notación definiendo \(\boldsymbol{\varphi}_{i}=\varepsilon\) para \(i=0\) o \(i>n(\boldsymbol{\varphi})\).
3.72. Las funciones \[\begin{array}{ccc} S^{\tau_{A}^{e}+} & \rightarrow & \omega\\ \boldsymbol{\varphi} & \rightarrow & n(\boldsymbol{\varphi}) \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{array}{ccc} \omega\times S^{\tau_{A}^{e}+} & \rightarrow & S^{\tau_{A}^{e}}\cup\{\varepsilon\}\\ (i,\boldsymbol{\varphi}) & \rightarrow & \boldsymbol{\varphi}_{i} \end{array}\] son \(\mathcal{A}\)-r.
Proof. Es claro que la funciones en cuestión son \(\mathcal{A}\)-efectivamente computables (justifique). Por la Tesis de Church tenemos entonces que son \(\mathcal{A}\)-r.
Dejamos al lector probar que en realidad dicho conjunto es \(\mathcal{A}\)-p.r. La prueba es completamente análoga a la prueba de que \(\lambda\mathcal{P}\left[n(\mathcal{P})\right]\) y \(\lambda i\mathcal{P}\left[I_{i}^{\mathcal{P}}\right]\) son funciones \((\Sigma\cup\Sigma_{p})\)-p.r. (Lema 4.49)
Recordemos que dada \(\mathbf{J}\in Just^{+}\), usamos \(n(\mathbf{J})\) y \(\mathbf{J}_{1},...,\mathbf{J}_{n(\mathbf{J})}\) para denotar los únicos \(n\) y \(J_{1},...,J_{n}\) tales que \(\mathbf{J}=J_{1}...J_{n}\) (la unicidad es garantizada en Lema 3.39). Extendamos esta notación definiendo \(\mathbf{J}_{i}=\varepsilon\) para \(i=0\) o \(i>n(\mathbf{J})\).
Sea \(\mathcal{B}\) el alfabeto que consiste en todos los símbolos que ocurren en alguna palabra de \(Just\). Es decir \(\mathcal{B}\) consiste de los símbolos \[(\ )\ ,\ 0\ 1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6\ 7\ 8\ 9\ \mathrm{A}\ \mathrm{B\ C\ D}\mathrm{\ E\ G\ H\ I\ J\ L\ M\ N\ O\ P\ Q\ R\ S\ T\ U\ V\ X\ Z}\]
3.73. \(Just\) es \(\mathcal{B}\)-r. Las funciones \[\begin{array}{ccc} Just^{+} & \rightarrow & \omega\\ \mathbf{J} & \rightarrow & n(\mathbf{J}) \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{array}{ccc} \omega\times Just^{+} & \rightarrow & Just\cup\{\varepsilon\}\\ (i,\mathbf{J}) & \rightarrow & \mathbf{J}_{i} \end{array}\] son \(\mathcal{B}\)-r.
Proof. Es claro que la funciones en cuestión son \(\mathcal{B}\)-efectivamente computables (justifique). Por la Tesis de Church tenemos entonces que son \(\mathcal{B}\)-r.
3.74. El predicado \("\left\langle i,j\right\rangle \in\mathcal{B}^{\mathbf{J}}":\omega\times\omega\times Just^{+}\rightarrow\omega\) es \(\mathcal{B}\)-r
Proof. Es claro que dicho predicado es \(\mathcal{B}\)-efectivamente computable (justifique). Por la Tesis de Church tenemos entonces que es \(\mathcal{B}\)-r.
3.75. El conjunto \(\{\mathbf{J}\in Just^{+}:\mathbf{J}\) es balanceada\(\}\) es \(\mathcal{B}\)-r.
Proof. Es claro que dicho conjunto es \(\mathcal{B}\)-efectivamente computable (justifique). Por la Tesis de Church tenemos entonces que es \(\mathcal{B}\)-r.
3.76. Los predicados \[\begin{array}{rcl} \omega\times S^{\tau_{A}^{e}}\times S^{\tau_{A}^{e}+}\times Just^{+} & \rightarrow & \omega\\ (i,\varphi,\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J}) & \rightarrow & \left\{ \begin{array}{ccl} 1 & & \text{si }(\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\text{ es adecuado y }\varphi\text{ es hipotesis de }\boldsymbol{\varphi}_{i}\text{ en }(\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\\ 0 & & \text{caso contrario} \end{array}\right. \end{array}\] \[\begin{array}{rcl} \omega\times\omega\times S^{\tau_{A}^{e}+}\times Just^{+} & \rightarrow & \omega\\ (i,\varphi,\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J}) & \rightarrow & \left\{ \begin{array}{ccl} 1 & & \text{si }(\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\text{ es adecuado y }i\text{ es anterior a }j\text{ en }(\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\\ 0 & & \text{caso contrario} \end{array}\right. \end{array}\] son \((\mathcal{A}\cup\mathcal{B})\)-r..
Proof. Es claro que los predicados en cuestión son \((\mathcal{A}\cup\mathcal{B})\)-efectivamente computables (justifique). Por la Tesis de Church tenemos entonces que dichos predicados son \((\mathcal{A}\cup\mathcal{B})\)-r.
3.77. El predicado \[\begin{array}{rcl} Aux\times Aux\times S^{\tau_{A}^{e}+}\times Just^{+} & \rightarrow & \omega\\ (e,d,\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J}) & \rightarrow & \left\{ \begin{array}{ccl} 1 & & \text{si }(\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\text{ es adecuado y }e\text{ depende de }d\text{ en }(\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\\ 0 & & \text{caso contrario} \end{array}\right. \end{array}\] es \((\mathcal{A}\cup\mathcal{B})\)-r..
Proof. Es claro que el predicado en cuestión es \((\mathcal{A}\cup\mathcal{B})\)-efectivamente computable (justifique). Por la Tesis de Church tenemos entonces que dicho predicado es \((\mathcal{A}\cup\mathcal{B})\)-r.
Dada una teoría de la forma \((\Sigma,\tau_{A})\), diremos que una prueba formal \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) de \(\varphi\) en \((\Sigma,\tau_{A})\) es normal si solo usa nombres de ctes auxiliares de \(Aux\), es decir si \(\boldsymbol{\varphi}\in S^{\tau_{A}^{e}+}\). Definamos \[Pruebas_{(\Sigma,\tau_{A})}=\{(\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J}):\exists\varphi\ (\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\text{ es una prueba normal de }\varphi\text{ en }(\Sigma,\tau_{A})\}\]
3.78. Sea \((\Sigma,\tau_{A})\) una teoría tal que \(\Sigma\) es \(\mathcal{A}\)-r.e. (resp. \(\mathcal{A}\)-recursivo). Entonces \(Pruebas_{(\Sigma,\tau_{A})}\) es \((\mathcal{A}\cup\mathcal{B})\)-r.e. (resp. \((\mathcal{A}\cup\mathcal{B})\)-recursivo).
Proof. Supongamos que \(\Sigma\) es \(\mathcal{A}\)-r.e.. Claramente entonces \(\Sigma\) es \(\mathcal{A}\)-efectivamente computable por lo cual hay una función \(g:\omega\rightarrow\Sigma\) la cual es \(\mathcal{A}\)-efectivamente computable y suryectiva. Sea \(\leq\) un orden total sobre \(\mathcal{A}\cup\mathcal{B}\). A continuación describimos como hacer un procedimiento efectivo que enumere a \(Pruebas_{(\Sigma,\tau_{A})}\). Dejamos al lector completar los detalles. Dada una prueba formal \((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J})\) cualquiera, definamos \[Ax((\boldsymbol{\varphi},\mathbf{J}))=\{\boldsymbol{\varphi}_{i}:\text{existe }\alpha\text{ tal que }\mathbf{J}_{i}=\alpha\mathrm{AXIOMAPROPIO}\}\]
Etapa 1
Si \(x=0\), detenerse y dar como salida \(((0\equiv0),\mathrm{AXIOMALOGICO})\). En caso contrario ir a Etapa 2
Etapa 2.
Si \((\ast^{\leq}((x)_{1}),\ast^{\leq}((x)_{2}))\) es una prueba formal y \(Ax((\ast^{\leq}((x)_{1}),\ast^{\leq}((x)_{2})))\subseteq\{g(0),...,g((x)_{3})\}\), entonces detenerse y dar como salida \((\ast^{\leq}((x)_{1}),\ast^{\leq}((x)_{2}))\). Caso contrario detenerse y dar como salida \(((0\equiv0),\mathrm{AXIOMALOGICO})\)
Por la Tesis de Church tenemos entonces que \(Pruebas_{(\Sigma,\tau_{A})}\) es \((\mathcal{A}\cup\mathcal{B})\)-r.e.
Dada una teoría \((\Sigma,\tau_{A})\), definamos \[Teo_{(\Sigma,\tau_{A})}=\{\varphi\in S^{\tau_{A}}:(\Sigma,\tau_{A})\vdash\varphi\}\]
3.4. Si \((\Sigma,\tau_{A})\) es una teoría tal que \(\Sigma\) es \(\mathcal{A}\)-r.e., entonces \(Teo_{(\Sigma,\tau_{A})}\) es \(\mathcal{A}\)-r.e.
Proof. Como se vio en el lema anterior, tenemos que \(Pruebas_{(\Sigma,\tau_{A})}\) es \((\mathcal{A}\cup\mathcal{B})\)-efectivamente enumerable. Es fácil ahora, usando un procedimiento efectivo que enumere a \(Pruebas_{(\Sigma,\tau_{A})}\), diseñar un procedimiento efectivo que enumere a \(Teo_{(\Sigma,\tau_{A})}\). Es decir que \(Teo_{(\Sigma,\tau_{A})}\) es \(\mathcal{A}\)-efectivamente enumerable, lo cual por la Tesis de Church nos dice que es \(\mathcal{A}\)-r.e.
A continuación daremos una prueba que no usa la Tesis de Church. Ya que \(Pruebas_{(\Sigma,\tau_{A})}\) es \((\mathcal{A}\cup\mathcal{B})\)-r.e. (lema anterior) tenemos que hay una función \(F:\omega\rightarrow S^{\tau_{A}^{e}+}\times Just^{+}\) la cual cumple que \(p_{1}^{0,2}\circ F\) y \(p_{2}^{0,2}\circ F\) son \((\mathcal{A}\cup\mathcal{B})\)-r. y además \(I_{F}=Pruebas_{(\Sigma,\tau_{A})}\). Sea \[\begin{array}{rcl} g:S^{\tau_{A}^{e}+} & \rightarrow & S^{\tau_{A}^{e}}\\ \boldsymbol{\varphi} & \rightarrow & \boldsymbol{\varphi}_{n(\boldsymbol{\varphi})} \end{array}\] Por lemas anteriores \(g\) es \(\mathcal{A}\)-r.. Nótese que \(I_{(g\circ p_{1}^{0,2}\circ F)}=Teo_{(\Sigma,\tau_{A})}\), lo cual dice que \(Teo_{(\Sigma,\tau_{A})}\) es \((\mathcal{A}\cup\mathcal{B})\)-r.e. (Teorema 4.12). Por Independencia del Alfabeto tenemos que \(Teo_{(\Sigma,\tau_{A})}\) es \(\mathcal{A}\)-r.e..
Una función \(f\) es llamada numérica si hay un \(n\in\omega\) tal que \(f:D_{f}\subseteq\omega^{n}\rightarrow\omega\). Nótese que cuando \(f\) es no vacía, \(n\) esta determinado por \(f\). Una función numérica \(f:D_{f}\subseteq\omega^{n}\rightarrow\omega\) será llamada representable si hay una fórmula \(\varphi=_{d}\varphi(v_{1},...,v_{n},v)\in F^{\tau_{A}}\), la cual cumpla
adhocprefix(R)adhocsufix \(\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\models\varphi\left[k_{1},...,k_{n},k\right]\mathrm{\ si\ y\ solo\ si\ }(k_{1},...,k_{n})\in D_{f}\text{ y }f(k_{1},...,k_{n})=k\), cualesquiera sean \(k_{1},...,k_{n},k\in\omega\).
En tal caso diremos que la fórmula \(\varphi\) representa a la función \(f\), con respecto a la declaración \(\varphi=_{d}\varphi(v_{1},...,v_{n},v)\). Nótese que cuando \((k_{1},...,k_{n})\notin D_{f}\) entonces deberá suceder que \(\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\nvDash\varphi\left[k_{1},...,k_{n},k\right]\), cualquiera sea \(k\in\omega\). Nótese esta definición de función representable para el caso \(f=\emptyset\) tiene a priori cierta ambigüedad ya que cualesquiera sea \(n\in\omega\) tenemos que \(\emptyset:\emptyset\subseteq\omega^{n}\rightarrow\omega\). De todas maneras, cualesquiera sea el \(n\) elegido, siempre podemos tomar \(\varphi=_{d}\varphi(v_{1},...,v_{n},v)=\neg(v\equiv v)\) la cual es claro que cumpe (R) para \(f=\emptyset\). Es decir que la función \(\emptyset\) es representable y además cualquier fórmula insatisfacible la representa.
Cabe destacar que una fórmula \(\varphi\) puede representar a \(f\), con respecto a una declaración y con respecto a otra declaración puede no representarla. Por ejemplo la fórmula \((x_{3}\equiv x_{1}+x_{2})\) representa a la operación suma con respecto a las declaraciones \(\varphi=_{d}\varphi(x_{1},x_{2},x_{3})\) y \(\varphi=_{d}\varphi(x_{2},x_{1},x_{3})\) pero con respecto a la declaración \(\varphi=_{d}\varphi(x_{3},x_{2},x_{1})\) no representa a dicha operación. Para dar otro ejemplo, tomemos \(\varphi=(x_{5}\equiv1)\). Entonces
adhocprefix-adhocsufix Con respecto a la declaración \(\varphi=_{d}\varphi(x_{2},x_{5})\) la fórmula \(\varphi\) representa a la función con dominio \(\omega\) y valor constantemente 1
adhocprefix-adhocsufix Con respecto a la declaración \(\varphi=_{d}\varphi(x_{10},x_{5})\) la fórmula \(\varphi\) representa a la función con dominio \(\omega\) y valor constantemente 1
adhocprefix-adhocsufix Con respecto a la declaración \(\varphi=_{d}\varphi(x_{2},x_{6},x_{5})\) la fórmula \(\varphi\) representa a la función con dominio \(\omega^{2}\) y valor constantemente 1
A continuación veremos que toda función recursiva clásica es representable. Repasemos un poco el cocepto de función recursiva clásica. Una función numérica \(f\) sera llamada total cuando \(D_{f}=\omega^{n}\), para algún \(n\in\omega\). Sea \(C_{0}^{0}:\{\lozenge\}\rightarrow\omega\) dada por \(C_{0}^{0}(\lozenge)=0\). Para \(1\leq j\leq n\) sea \(p_{j}^{n}:\omega^{n}\rightarrow\omega\) dada por \(p_{j}^{n}(x_{1},...,x_{n})=x_{j}\). Nótese que cuando tenemos un alfabeto fijado, \(C_{0}^{0}=C_{0}^{0,0}\) y \(p_{j}^{n}=p_{j}^{n,0}\).
Definamos los conjuntos \(\mathrm{R}_{0}^{\#}\subseteq\mathrm{R}_{1}^{\#}\subseteq\mathrm{R}_{2}^{\#}\subseteq...\subseteq\mathrm{R}^{\#}\) de la siguiente manera \[\begin{array}{lll} \mathrm{R}_{0}^{\#} & = & \left\{ Suc,Pred,C_{0}^{0}\right\} \cup\left\{ p_{j}^{n}:1\leq j\leq n\right\} \\ \mathrm{R}_{k+1}^{\#} & = & \mathrm{R}_{k}^{\#}\cup\left\{ f\circ[f_{1},...,f_{r}]:f,f_{1},...,f_{r}\in\mathrm{R}_{k}^{\#}\text{, }r\geq1\right\} \cup\\ & & \;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ R(f,g):R(f,g)\text{ está definida y }f,g\in\mathrm{R}_{k}^{\#}\right\} \cup\\ & & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ M(P):M(P)\text{ está definida, }P\text{ es un predicado total y }P\in\mathrm{R}_{k}^{\#}\right\} \\ & & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\ \mathrm{R}^{\#} & = & \bigcup_{k\geq0}\mathrm{R}_{k}^{\#} \end{array}\] Una función será llamada recursiva clásica si y solo si pertenece a \(\mathrm{R}^{\#}\). Cabe destacar que el conjunto \(\mathrm{R}^{\emptyset}\) de las funciones \(\emptyset\)-recursivas contiene propiamente al conjunto \(\mathrm{R}^{\#}\). Por ejemplo \(C_{\varepsilon}^{1,1}\) es \(\emptyset\)-recursiva pero no es recursiva clásica.
Para probar que toda función recursiva clásica es representable será clave una función introducida por Godel. Sea \[\beta=\lambda xyi[R(x,y(i+1)+1)]\] donde \[\begin{array}[t]{rll} R:\omega\times\mathbf{N} & \rightarrow & \omega\\ (x,y) & \rightarrow & \text{resto de la division de }x\text{ por }y \end{array}\] Nótese que \(D_{\beta}=\omega^{3}\). Esta función, conocida como la función \(\beta\) de Godel, es representable ya que por ejemplo la fórmula \[\varphi=\exists x_{5}\;(x_{1}\equiv x_{5}.(x_{2}.(x_{3}+1)+1)+x_{4}\wedge x_{4}<x_{2}.(x_{3}+1)+1)\] la representa, con respecto a la declaración \(\varphi=_{d}\varphi(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\). Ahora veremos un lema que muestra que la función \(\beta\) tiene una propiedad sorprendente en el sentido de que cualquier sucesión finita de elementos de \(\omega\) es producida por \(\beta\) si fijamos adecuadamente sus dos primeras entradas. Dados \(x,y\in\omega\), diremos que \(x\) e \(y\) son coprimos cuando \(1\) sea el único elemento de \(\omega\) que divide a ambos. Nótese que \(x\) e \(y\) no son son coprimos sii existe un número primo \(p\in\omega\) que los divide a ambos.
3.79. Cualesquiera sean \(z_{0},...,z_{n}\in\omega\), \(n\geq0\), hay \(x,y\in\omega\), tales que \(\beta(x,y,i)=z_{i}\), \(i=0,...,n\)
Proof. Dados \(x,y,m\in\omega\) con \(m\geq1\), usaremos \(x\equiv y(m)\) para expresar que \(x\) es congruente a \(y\) modulo \(m\), es decir para expresar que \(x-y\) es divisible por \(m\). Usaremos en esta prueba el Teorema Chino del Resto:
adhocprefix-adhocsufix Dados \(m_{0},...,m_{n},z_{0},...,z_{n}\in\omega\) tales que \(m_{0},...,m_{n}\) son coprimos de a pares, hay un \(x\in\omega\) tal que \(R(x,m_{i})=R(z_{i},m_{i})\), para \(i=0,...,n\).
Sea \(y=\max(z_{0},...,z_{n},n)!\). Sean \(m_{i}=y(i+1)+1\), \(i=0,...,n\). Veamos que \(m_{0},...,m_{n}\) son coprimos de a pares. Supongamos \(p\) divide a \(m_{i}\) y a \(m_{j}\) con \(i<j\). Entonces \(p\) divide a \(m_{j}-m_{i}=y(j-i)\) y ya que \(p\) no puede dividir a \(y\), tenemos que \(p\) divide a \(j-i\). Pero ya que \(j-i<n\) tenemos que \(p<n\) lo cual es absurdo ya que implicaría que \(p\) divide \(y\).
Por el Teorema Chino del Resto hay un \(x\) tal que \(R(x,m_{i})=R(z_{i},m_{i})\), para \(i=0,...,n\). Ya que \(z_{i}<m_{i}\), tenemos que \(R(z_{i},m_{i})=z_{i}\), para \(i=0,...,n\) por lo que \[\beta(x,y,i)=R(x,y(i+1)+1)=R(x,m_{i})=z_{i}\text{, }i=0,...,n\]
Los tres lemas siguientes garantizan que los constructores de recursión primitiva, composición y minimización preservan la representabilidad.
3.80. Supongamos \(f:S_{1}\times...\times S_{n}\rightarrow\omega\) y \(g:\omega\times\omega\times S_{1}\times...\times S_{n}\rightarrow\omega\) son representables, con \(S_{1},...,S_{n}\subseteq\omega\) y \(n\geq0\). Entonces \(R(f,g):\omega\times S_{1}\times...\times S_{n}\rightarrow\omega\) lo es.
Proof. Nótese que para \(t,x_{1},...,x_{n},z\in\omega\), las siguientes son equivalentes
adhocprefix(1)adhocsufix \(R(f,g)(t,\vec{x})=z\)
adhocprefix(2)adhocsufix Hay \(z_{0},...,z_{t}\in\omega\) tales que \[\begin{aligned} z_{0} & =f(\vec{x})\\ z_{i+1} & =g(z_{i},i,\vec{x})\text{, }i=0,...,t-1\\ z_{t} & =z \end{aligned}\]
adhocprefix(3)adhocsufix Hay \(x,y\in\omega\) tales que \[\begin{aligned} \beta(x,y,0) & =f(\vec{x})\\ \beta(x,y,i+1) & =g(\beta(x,y,i),i,\vec{x})\text{, }i=0,...,t-1\\ \beta(x,y,t) & =z \end{aligned}\]
Sean \(\varphi_{\beta}\), \(\varphi_{f}\) y \(\varphi_{g}\) fórmulas que representen a las funciones \(\beta\), \(f\) y \(g\), con respecto a las declaraciones \[\begin{aligned} \varphi_{\beta} & =_{d}\varphi_{\beta}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\\ \varphi_{f} & =_{d}\varphi_{f}(x_{1},...,x_{n},x_{n+1})\\ \varphi_{g} & =_{d}\varphi_{g}(x_{1},...,x_{n+2},x_{n+3}) \end{aligned}\] respectivamente. Sean \(v_{1},...,v_{n+1},v\), \(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4},z_{1},z_{2}\) variables todas distintas y tales que cada una de las variables libres de \(\varphi_{\beta}\), \(\varphi_{f}\) y \(\varphi_{g}\) es sustituible por cada una de las variables \(v_{1},...,v_{n+1},v\), \(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4},z_{1},z_{2}\). Sea \(\varphi_{R(f,g)}\) la siguiente fórmula
adhocprefixadhocsufix \(\exists z_{1},z_{2}\;(\exists y_{1}\varphi_{\beta}(z_{1},z_{2},0,y_{1})\wedge\varphi_{f}(v_{2},...,v_{n+1},y_{1}))\wedge\)
adhocprefixadhocsufix \(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \varphi_{\beta}(z_{1},z_{2},v_{1},v)\wedge\forall y_{2}(y_{2}<v_{1}\rightarrow\exists y_{3},y_{4}\;\varphi_{\beta}(z_{1},z_{2},y_{2}+1,y_{3})\wedge\)
adhocprefixadhocsufix \(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varphi_{\beta}(z_{1},z_{2},y_{2},y_{4})\wedge\varphi_{g}(y_{4},y_{2},v_{2},...,v_{n+1},y_{3}))\)
Es fácil usando \((1)\Leftrightarrow(3)\) ver que la fórmula \(\varphi_{R(f,g)}\) representa a \(R(f,g)\), con respecto a la declaración \(\varphi_{R(f,g)}=_{d}\varphi_{R(f,g)}(v_{1},...,v_{n+1},v)\).
3.81. Supongamos \(f,f_{1},...,f_{r}\), con \(r\in\mathbf{N}\), son representables. Entonces \(f\circ[f_{1},...,f_{r}]\) lo es.
3.82. Sea \(n\in\mathbf{N}\). Supongamos \(P:\omega^{n}\rightarrow\omega\) es representable. Entonces \(M(P)\) lo es.
3.5. Si \(h\) es recursiva clásica, entonces \(h\) es representable.
Proof. Usaremos la Regla de Inducción desde 0. Para cada \(k\in\omega\) sea \(\mathrm{Enu}_{k}\) el siguiente enunciado:
adhocprefix\(\mathrm{Enu}_{k}\):adhocsufix Si \(h\in\mathrm{R}_{k}^{\#}\), entonces \(h\) es representable.
Hagamos entonces lo que nos encomienda la Regla de Inducción desde \(0\).
Prueba de que \(\mathrm{Enu}_{0}\) es verdadero. Fácil.
Prueba de que si \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero entonces \(\mathrm{Enu}_{k+1}\) lo es. Supongamos entonces que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\). Sea \(h\in\mathrm{R}_{k+1}^{\#}\). Por la definición de \(\mathrm{R}_{k+1}^{\#}\) hay 4 casos.
Caso \(h\in\mathrm{R}_{k}^{\#}\). Trivial ya que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\).
Caso \(h=R(f,g)\), con \(f,g\in\mathrm{R}_{k}^{\#}\). Sigue directo de \(\mathrm{Enu}_{k}\) y el primero de los tres lemas anteriores.
Caso \(h=f\circ[f_{1},...,f_{r}]\), con \(r\in\mathbf{N}\) y \(f,f_{1},...,f_{r}\in\mathrm{R}_{k}^{\#}\). Sigue directo de \(\mathrm{Enu}_{k}\) y el tercero de los tres lemas anteriores.
Nuestra estrategia será probar que \(Verd_{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}\) no es \(\mathcal{A}\)-r.e. lo cual contrastará con el hecho ya probado de que \(Teo_{(\Sigma,\tau_{A})}\) es \(\mathcal{A}\)-r.e., para cada teoría \((\Sigma,\tau_{A})\) tal que \(\Sigma\) es \(\mathcal{A}\)-r.e.. Necesitaremos varios lemas. El primero consiste en dar una predicado representable el cual codifique al predicado \("\)el programa \(\mathcal{P}\) se detiene luego de \(t\) pasos, partiendo del estado \(((0,0,...),(\mathcal{P},\varepsilon,...))"\).
3.83. Hay un predicado \(P:\omega\times\omega\rightarrow\omega\) el cual es representable y tal que el predicado \(Q=\lambda x\left[(\exists t\in\omega)P(t,x)\right]:\omega\rightarrow\omega\) no es \(\emptyset\)-recursivo.
Proof. Sea \(\Sigma=\Sigma_{p}\). Recordemos que el predicado \[P_{1}=\lambda t\mathcal{P}\left[i^{0,1}(t,\mathcal{P},\mathcal{P})=n(\mathcal{P})+1\right]\] es \(\Sigma_{p}\)-p.r. ya que la función \(i^{0,1}\) lo es. Nótese que el dominio de \(P_{1}\) es \(\omega\times\mathrm{Pro}^{\Sigma_{p}}\). Por Lema 4.64 tenemos que \[AutoHalt^{\Sigma_{p}}=\lambda\mathcal{P}\left[(\exists t\in\omega)\;P_{1}(t,\mathcal{P})\right]\] no es \(\Sigma_{p}\)-recursivo. Sea \(\leq\) un orden total sobre \(\Sigma_{p}\). Definamos \(P:\omega\times\omega\rightarrow\omega\) de la siguiente manera \[P(t,x)=\left\{ \begin{array}{ccc} P_{1}(t,\ast^{\leq}(x)) & \text{si} & \ast^{\leq}(x)\in\mathrm{Pro}^{\Sigma_{p}}\\ 0 & \text{si} & \ast^{\leq}(x)\notin\mathrm{Pro}^{\Sigma_{p}} \end{array}\right.\] Por el Lema de División por Casos tenemos que \(P\) es \(\Sigma_{p}\)-p.r.. Ya que \(P\) es \(\Sigma_{p}\)-recursivo y es una función numérica, el Lema 4.42 nos dice que \(P\) es recursiva clásica lo cual por la Proposición 3.5 nos dice que \(P\) es representable. Sea \(Q=\lambda x\left[(\exists t\in\omega)P(t,x)\right]\). Nótese que \[AutoHalt^{\Sigma_{p}}=Q\circ\#^{\leq}\mathrm{|}_{\mathrm{Pro}^{\Sigma_{p}}}\] lo cual dice que \(Q\) no es \(\Sigma_{p}\)-recursivo ya que de serlo, el predicado \(AutoHalt^{\Sigma_{p}}\) lo sería. Por Independencia del Alfabeto tenemos entonces que \(Q\) no es \(\emptyset\)-recursivo.
3.10. No toda función representable es \(\emptyset\)-recursiva
Proof. Dejamos como ejercicio para el lector probar que el predicado \(Q\) del lema anterior es representable, lo cual completa la prueba de este corolario ya que \(Q\) no es \(\emptyset\)-recursivo.
Recordemos que para \(\alpha\in\Sigma^{\ast}\), definimos \[^{\curvearrowright}\alpha=\left\{ \begin{array}{lll} \left[\alpha\right]_{2}...\left[\alpha\right]_{\left\vert \alpha\right\vert } & \text{si} & \left\vert \alpha\right\vert \geq2\\ \varepsilon & \text{si} & \left\vert \alpha\right\vert \leq1 \end{array}\right.\]
3.84. Si \(Verd_{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}\) es \(\mathcal{A}\)-r.e., entonces es \(\mathcal{A}\)-r.
Proof. Supongamos \(Verd_{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}\) es \(\mathcal{A}\)-r. e. Sea \(f:\omega\rightarrow Verd_{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}\) una función suryectiva y \(\mathcal{A}\)-r. Sea \(g:S^{\tau_{A}}\rightarrow S^{\tau_{A}}\), dada por \[g(\varphi)=\left\{ \begin{array}{ccc} ^{\curvearrowright}\varphi & \;\; & \text{si }\left[\varphi\right]_{1}=\lnot\\ \lnot\varphi & \;\; & \text{caso contrario} \end{array}\right.\] Notar que \(g\) es \(\mathcal{A}\)-p.r. por lo cual \(g\circ f\) es \(\mathcal{A}\)-r. Ya que \(I_{g\circ f}=S^{\tau_{A}}-Verd_{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}\) (justifique), tenemos que \(S^{\tau_{A}}-Verd_{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}\) es \(\mathcal{A}\)-r. e., por lo cual \[\mathcal{A}^{\ast}-Verd_{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}=(\mathcal{A}^{\ast}-S^{\tau_{A}})\cup(S^{\tau_{A}}-Verd_{\mathbf{\omega}})\] lo es. Es decir que \(Verd_{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}\) y su complemento son \(\mathcal{A}\)-r.e. por lo cual \(Verd_{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}\) es \(\mathcal{A}\)-r.
Ahora podemos probar el importante resultado anunciado.
3.6. \(Verd_{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}\) no es \(\mathcal{A}\)-r.e.
Proof. Por el Lema 3.83 hay un predicado representable, \(P:\omega\times\omega\rightarrow\omega\) tal que el predicado \(Q=\lambda x\left[(\exists t\in\omega)P(t,x)\right]:\omega\rightarrow\omega\) no es \(\emptyset\)-recursivo. Nótese que \(Q\) tampoco es \(\mathcal{A}\)-recursivo. Ya que \(P\) es representable, hay una fórmula \(\varphi=_{d}\varphi(v_{1},v_{2},v)\in F^{\tau_{A}}\) la cual cumple \[\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\models\varphi\left[t,x,k\right]\text{ si y solo si }P(t,x)=k\] cualesquiera sean \(t,x,k\in\omega.\) Sea \(\psi=\varphi(v_{1},v_{2},1)\). Declaremos \(\psi=_{d}\psi(v_{1},v_{2})\). Tenemos entonces \[\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\models\psi\left[t,x\right]\text{ si y solo si }P(t,x)=1\] cualesquiera sean \(t,x\in\omega.\) Sea \(\psi_{0}=\exists v_{1}\ \psi(v_{1},v_{2})\). Declaremos \(\psi_{0}=_{d}\psi_{0}(v_{2})\). Tenemos entonces \[\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\models\psi_{0}\left[x\right]\text{ si y solo si }Q(x)=1\] cualesquiera sea \(x\in\omega\). Por el Teorema de Reemplazo para Términos tenemos que para \(x\in\omega\), \[\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\models\psi_{0}\left[x\right]\text{ si y solo si }\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\models\psi_{0}(\widehat{x})\] (justifique), por lo cual \[\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\models\psi_{0}(\widehat{x})\text{ si y solo si }Q(x)=1\] cualesquiera sea \(x\in\omega\). Ya que \(\psi_{0}(\widehat{x})\) es una sentencia, \[\psi_{0}(\widehat{x})\in Verd_{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}\text{ si y solo si }Q(x)=1\] Sea \(h:\omega\rightarrow\mathcal{A}^{\ast}\), dada por \(h(x)=\psi_{0}(\widehat{x})\). Es fácil ver que \(h\) es \(\mathcal{A}\)-recursiva. Ya que \(Q=\chi_{Verd_{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}}^{\mathcal{A}^{\ast}}\circ h\) y \(Q\) no es \(\mathcal{A}\)-recursivo, tenemos que \(\chi_{Verd_{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}}^{\mathcal{A}^{\ast}}\) no es \(\mathcal{A}\)-recursiva, es decir que \(Verd_{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}\) es un conjunto no \(\mathcal{A}\)-recursivo. El lema anterior nos dice entonces que es \(Verd_{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}\) no es \(\mathcal{A}\)-r.e..
Ahora sí, estamos en condiciones de probar fácilmente el famoso resultado de Godel.
3.12 (Teorema de Incompletitud). Si \(\Sigma\subseteq Verd_{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}\) es \(\mathcal{A}\)-r.e., entonces \(Teo_{(\Sigma,\tau_{A})}\subsetneq Verd_{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}\)
Proof. Ya que \(\mathbf{\boldsymbol{\omega}}\) es un modelo de \((\Sigma,\tau_{A})\), por el Teorema de Corrección, tenemos que \(Teo_{(\Sigma,\tau_{A})}\subseteq Verd_{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}\). Ya que \(Teo_{(\Sigma,\tau_{A})}\) es \(\mathcal{A}\)-r.e (Proposición 3.4) y \(Verd_{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}\) no lo es, tenemos que \(Teo_{(\Sigma,\tau_{A})}\neq Verd_{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}\).
3.11. Existe \(\varphi\in S^{\tau_{A}}\) tal que \(Arit\nvdash\varphi\) y \(Arit\nvdash\lnot\varphi\).
Proof. Dejamos al lector la prueba de que el conjunto \(\Sigma_{A}\) es \(\mathcal{A}\)-r.e.. Una ves probado esto, podemos aplicar el teorema a la teoría \(Arit=(\Sigma_{A},\tau_{A})\), lo cual nos dice que \(Teo_{Arit}\subsetneq Verd_{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}\). Sea \(\varphi\in Verd_{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}-Teo_{Arit}\). O sea que \(Arit\nvdash\varphi\) y \(\varphi\in Verd_{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}\). Ya que \(\lnot\varphi\notin Verd_{\mathbf{\boldsymbol{\omega}}}\), tenemos que \(\lnot\varphi\notin Teo_{Arit}\), es decir \(Arit\nvdash\lnot\varphi\).
Bibliografía
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